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公开课直线与平面垂直的判定(一)


2.3.1直线与平面垂直的判定
授课教师: 张 敏

知识探究(一):直线与平面垂直的定义

思考1:将一本书打开直立在桌面上,观
察书脊(想象成一条直线)与桌面的位置 关系呈什么状态?此时书脊与每页书和桌 面的交线的位置关系如何?

思考2:田径场地面上竖立的旗杆与地面
的位置关系给人

以什么感觉?

思考3:如图,在阳光下观察直立于地面的

旗杆及它在地面的影子,随着时间的变化,影 子BC的位置在移动,在各时刻旗杆AB所在直 线与影子BC所在直线的位置关系如何?
A

B

A

C m B

一、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直, (文字语言) 则称直线 l 与平面 ? 互相垂直.

记作:l ⊥?

(符号表示)

直线与平面垂直的图形语言

l

l

?

?

?

?

注:画直线与平面垂直时,要把直线画成和表示 平面的平行四边形一边垂直.

一、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直, (文字语言) 则称直线 l 和平面 ? 互相垂直. 记作: l ⊥? (符号语言)

垂足

l
P

平面? 的垂线 直线 l 的垂面

?

(图形语言)

直线与平面垂直的意义
l ? ?

? m ? ?

?
l

l ?m
线面垂直

线线垂直

定 义 的 双 重 功 效

?

m

?

练习1.已知下列命题:
①如果直线 l 与平面α内的一条直线垂 直,则 l⊥α; ②如果直线 l 与平面α 内的两条直线垂 直,则 l⊥α; ③如果直线 l 与平面α 内的无数条直线 垂直,则 l⊥α; ④如果直线 l⊥α ,则直线 l 与平面α 内的所有直线都垂直.

其中正确命题的序号是



小组探究:如图,将一块三角形纸片ABC
沿折痕AD折起,把翻折后的纸片竖起放置在 桌面上,使BD、DC与桌面接触, (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂 A A 直?

B

D

C

B

D C

A

B A

D

C

线不在多
B C D

重在相交

?

?

问题3:(1)(如图3)把AD、BD、CD抽象为直线 l 、 m 、 n ,把桌面抽象为平面 ? ,直线 l 与平面 ? 垂直的条件是什么? (2)(如图4)若?内两条相交直线 m、n与l无公 共点且 l ⊥ m 、 l ⊥ n ,直线 l 还垂直平面 ? 吗?由此 你能给出判定直线与平面垂直的方法吗? l
O

?

m

m

l
O

α

n (图3)

α

n (图4)

二、直线与平面垂直的判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则 这条直线垂直于这个平面.

线线垂直

线面垂直
l

?

m

P

n

已知:a // b ,a ? ?求证: 例1、

b ??

a
?
n m

b

例1 如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,

AB=BC,求证VB⊥AC
证明:取AC中点O,连接VO和BO ∵VA=VC,BA=BC ∴VO⊥AC,BO⊥AC, 即AC⊥OV,AC⊥OB 又OV?平面VOB,OB?平面VOB 且0V∩OB=O C ∴AC⊥平面VOB 又VB?平面VOB ∴AC⊥VB,即VB⊥AC

V
?

A

O B

探究:侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, (1)试判断直线BD与平面 A 1 AC 是否垂直? 直线BD与 AC 1垂直吗? (2)当底面四边形ABCD满足什么条件时,有 A A1C⊥B1D1,说明理由 .1 D1 B1 AC⊥BD C1 A D B C

1.知识回顾:本节课我们学习了哪些知识? 你有什么收获?
2.本节课掌握了什么思想方法?

无限问题

有限问题
线面垂直

线线垂直
转化思想、类比思想

P74 习题2.3

B组:2,4.

谢谢!


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