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湖南省衡阳市八中2013届高三第三次教学质量检测数学理试题


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湖南省衡阳市八中 2013 届高三第三次教学质量检测
理科数学试题
(考试内容:集合、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何) 考生注意:本试卷共 150 分;考试时间为 120 分钟 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分) 1.已知全集 U ? R ,

集合 M ? x 2 ? 4 ? 0 ,则 CU M =(
x

7.将一根钢管锯成三段,焊接成一个面积为 1m 2 ,形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的钢 管供选用,其中最合理(够用且最省)的是( ..... A、 4.7 m B、 4.8m ) C、 4.9m D、 5m

8.设 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c ,又 k 是一个常数,已知当 k ? 0 或 k ? 4 时, f ( x) ? k ? 0 只有一 个实根, 当 0 ? k ? 4 时, f ( x) ? k ? 0 有三个相异实根,现给出下列命题:

?

?



(1) f ( x) ? 4 ? 0 和 f ?( x) ? 0 有且只有一个相同的实根.

A. x x ? 2

?

?

B. x x ? 2

?

?

C. x x ? 2

?

?

D. x x ? 2

?

?

(2) f ( x) ? 0 和 f ?( x) ? 0 有且只有一个相同的实根. (3) f ( x) ? 3 ? 0 的任一实根大于 f ( x) ? 1 ? 0 的任一实根.

2.若复数 Z 1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则 A. 1 ? 3i

Z2 ?( Z1

) C. ? 1 ? 3i D. 3 ? i

B. 2 ? i

(4) f ( x) ? 5 ? 0 的任一实根小于 f ( x) ? 2 ? 0 的任一实根. 其中错误命题的个数为( .... A.4 ) C.2 D.1

3.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2a n ? 2 , 则 a 2 等于 ( A. 4 )

B.3

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分) B.2 C.1 D. ? 2 9. )

4.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( A. 12? C. 57? B. 45? D. 81?
3 2

?(
0

1

x ? 3)dx ?

.

e x ? e? x e x ? e? x 10.设 f ( x) ? , g ( x) ? , 2 2
第4题

5.对任意 x ? R ,函数 f ( x) ? ax ? ax ? 7 x 不存在极值点的充要条件是( ... A、 0 ? a ? 21 B、 0 ? a ? 21 C、 a ? 0 或 a ? 21



计算可知 f (1) g (3) ? g (1) f (3) ? g (4) ? 0 ,

D、 a ? 0 或 a ? 21 )

f (3) g (2) ? g (3) f (2) ? g (5) ? 0 ,
并由此概括出关于函数 f ( x) 和 g ( x) 的一个等式,使上面的两个等式是 你写出的等式的特例,这个等式是_____________________________

6.在 ?ABC 中, AB ? 4, AC ? 5 , AB ? BC ? 2 ,则 BC ? ( A.

3

B.

5

C.

7

D.

3

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? x ? y ≥ 2, ? 11. 已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 2,则目标函数 z ? 2 x ? y ?0 ≤ y ≤ 3, ?
的最小值为 .

(2)求函数 f (x) 的增区间。

12. 已知如图所示圆锥的母线长为 6 ,底面半径为 1,现有一只蚂蚁 从底面圆的 A 点出发,绕圆锥侧面一圈后回到点 A, 则这只蚂蚁爬过的最短距离为 . A

13.已知 a ? (cos x,2) , b ? (2 sin x,3) , a // b ,则 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 14.已知 ?ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则该三角形的形状为 15.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,则下列四个命题: ① P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A ? D1 PC 的体积不变; ② P 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; ③ P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P ? AD1 ? C 的大小不变; ④ M 是平面 A1 B1C1 D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点, M 点的轨迹是 则 过 D1 点的直线 其中真命题的编号是 ... (写出所有真命题的编号)

?

?

?

?

17. (本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 (2a ? c) BA ? BC ? cCB ? CA. (1)求角 B 的大小; (2)若 | BA ? BC |?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

6 ,求 ?ABC 面积的最大值.
C
D

H
B

P

A
18. (本小题满分 12 分)

第 18 题

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 sin x(sin x ? 3 cos x) ? 5 (1)求函数 f (x) 的最小正周期以及最大值和最小值;

如图所示, ABCD 是边长为 a 的正方形, ?ABP 是以角 B 为直角的等腰三角形. (1) H 为 BD 上一点,且 AH ? 平面 PDB ,求证:平面 ABCD ? 平面 APB ; (2)若 PC ?

3a ,求二面角 A ? PD ? B 的余弦值.

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(Ⅰ)若该同学恰好在第36 个月(即毕业后三年)还清贷款,求x 的值; (Ⅱ) 当x = 50时, 该同学将在第几个月还清最后一笔贷款?他当月工资的余额是否能满足每月 3000元的基本生活费? (参考数据: 1.0518 ? 2.406,1.0519 ? 2.526,1.05 20 ? 2.653,1.05 21 ? 2.786 )

20. (本小题满分13分) 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 3 , a n a n ?1 ? 2a n ?1 ? 1 . (1)求 a 2 , a3 , a 4 ; (2)求证:数列 ?

? 1 ? ? 是等差数列,并求出 ?a n ? 的通项公式。 ? an ? 1 ?

(3)若 bn ? (2n ? 1)2 n a n ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 19. (本小题满分13分) 国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款,旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期 间所需的学费、住宿费及生活费。每一年度申请总额不超过6000 元。某大学2012届毕业生在本 科期间共申请了24000 元助学贷款,并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清。 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元,第13个月开始,每月工资比前一个月增加 5% 直到4000 元。该同学计划前12个月每个月还款额为500,第13个月开始,每月还款额比前 一月多x 元。 21.(本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? ax ?

b ? 2 ln x, f (1) ? 0 . x

(1)若函数 f(x)在其定义域内为单调函数,求 a 的取值范围;

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1 ) ? n 2 ? 1 ,已 an ? n ? 1

(2)若函数 f(x)的图象在 x = 1 处的切线的斜率为 0,且 an ?1 ? f ?( 知 a1 ? 4 ,求证: a n ? 2n ? 2 ;

(1)

T?

2? ? ? ,最小值为-7,最大值为 1 2

(2) 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

2 1 1 1 1 (3)在(2)的条件下,试比较 与 的大小,并说明 ? ? ??? 5 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? an
你的理由.

3? ,k ? Z 2 ? x ? k? ? 2? , k ? Z} 3

解得单调增区间为 {x | k? ?

?
6

17.(1)由题意,条件可化为: (2a ? c)ac cos B ? cab cos C ,即 (2a ? c) cos B ? b cos C 由正弦定理得: (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C 即: 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? sin A 又? sin A ? 0

? cos B ?

衡阳市八中 2013 届高三第三次教学质量检测 数学(理科)参考答案
选择题: 填空题: 9. C C A C A B C D (2)由题意,即 b ?

1 ? , 即B ? 2 3

6 ,由余弦定理得: b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? ac

由基本不等式可知: 6 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac

? ac ? 6

11 3

故S ? 10.

f (a ) g (b) ? f (b) g (a ) ? g (a ? b) ? 0

1 1 3 3 3 3 3 当三角形 ABC 为正三角形时,最大面积为 ac sin B ? ? 6 ? ? 2 2 2 2 2

11. 14. 解答题:

?5

12.

6
15.

13.

?

8 25

钝角三角形

①③④

(12 分+ 12 分+ 12 分+ 13 分+ 13 分+ 13 分)

16.解: f ( x) ? ?4 sin( 2 x ?

?
6

)?3

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18 .

B , 且 垂 直 于 平 面 ABP 的 直 线 为 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 B ? xyz , 易 得

B(0, 0, 0), A(a, 0, 0), P(0, a, 0),
由 AB ? BC , AB ? BP, BC ? BP ? B 知 AB ? 平面 BPC , 又由 BC ? BP ? a, PC ? 可得 C (0, ?

3a , ?CBP ? 120 °

a 3 a 3 , a), D(a, ? , a) 2 2 2 2
?

则平面 PBD 的法向量为 n ? (? 3, 0, 2), 平面 APD 的法向量为 m ? ( 3, 3,1) 故 cos ? n, m ?? ?

??

? ??

1 7 1 . 7

即二面角 A ? PD ? B 的余弦值为

? ?DEG ∽?DFB ?

3 7 3 2 DG EG DE 3 a, DG ? a ? ? ? ,? EG ? 20 5 DB FB DF 5 13 a 5

在 ?ADG 中, AG ?

DH 2 ? AD 2 ? 2 AD ? DH ? cos 450 ?
AE 2 ? EG 2 ? AG 2 1 ? , 2 AE ? EG 7

在 ?AEG 中, cos ?AEG ?

1 即二面角 A ? PD ? B 的余弦值为 . 7
(Ⅱ )解法二:如图,以 BA 为 x 轴, BP 为 y 轴,以过

z
C
D

y

H
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P

x

A

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19 .

?

1 1 ? ?1 a n ? 1 a n ?1 ? 1

? 1 ? 1 ?? ? 是以 为首项,为公差的等差数列 2 ? a n ? 1?


2 2n ? 1 1 1 1 ?1 ? ? ? n ? 1 ? n ? ? an ? 2n ? 1 2n ? 1 an ? 1 2 2
(3) bn ? (2n ? 1)2 n 利用错项相减的办法解得: Tn ? (2n ? 1)2 n ?1 ? 2

21.解:(1) f (1) ? a ? b ? 0 ? a ? b,? f ( x) ? ax ?

a a 2 ? 2 ln x ,? f ?( x) ? a ? 2 ? . x x x

要使函数 f(x)在定义域 (0,??) 内为单调函数,则在 (0,??) 内 f ?(x) 恒大于 0 或恒小于 0, 当 a ? 0时,f ?( x) ? ?

2 ? 0 在 (0,??) 内恒成立; x

当 a ? 0时, 要使 f ?( x) ? a ( 当 a ? 0时, ?( x) ? a ? f

1 1 2 1 1 ? ) ? a ? ? 0 恒成立,则 a ? ? 0 ,解得 a ? 1 , x a a a

a 2 ? ? 0 恒成立, x2 x

所以 a 的取值范围为 ?1,?? ? ? ?? ?,0? .

5 7 9 20.解: (1) a 2 ? , a3 ? , a 4 ? 3 5 7
(2)证明:由题设可知 a n ? 0且a n ? 1, n ? N

(2)根据题意得: f ?(1) ? 0, 即a ? a ? 2 ? 0, 得a ? 1,? f ?( x) ? ( 于是 an ?1 ? f ?(

1 ? 1) 2 , x

1 2 ) ? n 2 ? 1 ? (an ? n) 2 ? n 2 ? 1 ? an ? 2nan ? 1 , an ? n ? 1

? a n a n ?1 ? 2a n ?1 ? 1 ? ?a n ?1 ? 1? ? ?a n ? 1? ? ?a n ?1 ? 1??a n ? 1?

用数学归纳法证明如下:

a 当 n ? 1时, 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ,不等式成立;
假设当 n ? k 时,不等式 a k ? 2k ? 2 成立,即 a k ? 2k ? 2 也成立,

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当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? a k (a k ? 2k ) ? 1 ? (2k ? 2) ? 2 ? 1 ? 4k ? 5 ? 2(k ? 1) ? 2 , 所以当 n ? k ? 1 ,不等式也成立, 综上得对所有 n ? N * 时,都有 a n ? 2n ? 2 . (3) 由(2)得 an ? an ?1[an ?1 ? 2(n ? 1)] ? 1 ? an ?1[2(n ? 1) ? 2 ? 2n ? 2] ? 1 ? 2an ?1 ? 1 , 于是 a n ? 1 ? 2(a n ?1 ? 1) (n ? 2) , 所以 a2 ? 1 ? 2(a1 ? 1), a3 ? 1 ? 2(a2 ? 1) ? , an ? 1 ? 2( an ?1 ? 1) , 累乘得: a n ? 1 ? 2 n ?1 (a1 ? 1), 则

1 1 1 ? n ?1 ? (n ? 2) , 1 ? an 2 1 ? a1

所以

1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 ? ??? ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? n ) ? 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a n 1 ? a1 2 2 5 5 2 2

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