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2012年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题


2012 年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题

一.填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分) 1.已知非空集合 A ? ?1, 2,?, 2012? ,且满足:当 a ? A 时,有 2013 ? a ? A ,则符合题意的集 合 A 共有 2.已知 P ? a, b ? 关于直线 l 的对称点为 P? ? b ? 1, a ? 1? ,则园

C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 0 关于 直线 l 对称的园 C? 的标准方程为 3.已知分段函数 f ? x ? ? ? 的取值范围是程 4.设 a , b 分别是方 log513 x ? x ? 2012 ? 0 和 513x ? x ? 2012 ? 0 的根,则 a ? b ? 5.已知四面体 A ? BCD 中, AB ? CD ? 2 13, BC ? AD ? 41, AC ? BD ? 61, 则该四 面体的体积是 6.定义 A * B ? ?

?3? x , x ? 0 ? , f ? ? x a? 有且仅有三个实数解, 若 x ? 则实数 a ? f ? x ? 1? , x ? 0 ?

?C ? A? ? C ? B ? , C ? A? ? C ? B ? ? ,已知 A ? ?1,2? , B ? x | x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,其 C ? B ? ? C ? A? , C ? A? ? C ? B ? ? ?

?

?

中 C ? A ? 表示集合 A 中元素的个数,若 A* B ?1 ,由 a 的所有可能值构成的集合是 S ,那么

C ?S ? ?
7.已知正三棱锥 P ? ABC 的侧棱长为 3 ? 1 ,底面边长为 2 , Q 是侧棱 PA 的中点, 一条折线从点 A 出发,绕侧面一周到点 Q ,则这条折线长度的最小值是 8. 已 知 函 数 y ? f ? x ? 的 定 义 域 是 D , 若 对 于 任 意 的 x1 , x2 ? D , 当 x1 ? x2 时 , 都 有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称函数 f ? x ? 在 D 上为非减函数,设函数 y ? f ? x ? 在 ?0,1? 上为非减函数,满
?x? 1 ?1? ? 1 ? 足条件:? f (0) ? 0 ;? f ? ? ? f ? x ? ;? f ?1 ? x ? ? 1 ? f ? x ? , 则 f ? ? ? f ? ?? ?3? 2 ? 3? ? 2012 ?
9.(选做题). (必修 3) 6 个产品中有 4 个正品和 2 个次品,现每次取出一个作检查(检查完后不放回), 在 直到 2 个次品都找到为止,则恰好经过 4 次检查将 2 个次品全部找到的概率是

4 15 (必修 4)如图 1 所示,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,P 是以 A 为圆心,AB 为半径的圆

1

弧 BD 上的任意一点,设向量 AC ? ? DE ? ? AP ? ?, ? ? R ? , 则 ? ? ? 的最小值是

??? ?

??? ?

??? ?

1 2

10.已知 m ? N ,且函数 f ? x ? ? 2x ? m 10 ? x ? m ? 10 存在整数零点,则符合题意的一切

m 的取值构成的集合是

?0,3,14,30?

二、(本题满分 20 分) 如图 2 所示, KL 和 KN 是 ? C 的两条切线,其中, L, N 为切点.在 KN 的延长线上取一点 M , ?KML 的外接圆与 ? C 的另一交点为 P , ML 和 ? C 的另一交点 为 R ,延长 PR 交 MK 于 T .过 N 作 NQ ? ML 于 Q ,连接 QP . 证明:(1) ?MTR ∽ ?PTM ; (2) ?MPQ ? 2?KML. 三.(本题满分 20 分) 如图 3 所示,已知单位正方体 ABCD ? EFGH 的棱长 AD 和 BC 上分 别有动点 Q,P..若直线 PQ 和 BD 交于点 N,直线 GQ 和平面 BDE 交与点 M,BE 的中点是 S,设 AQ= x ? ? ? x ??? ,MN=y.(1)求证:D,M,S 三点共线;(2)求 y 的最小值关于 x 的解析式.

四、 (本题满分 20 分) (必修 3)函数 f ? x ? ? log 2 4 ? 16 ? x 2 . (1)求函数的值域; (2)

?

?

2

若在区间 ? ?4,1? 上随机取一个数 a,求方程 f 2 ? x ? ? af ? x ? ? 1 ? 0 有实数根的概率。

? ?? (必修 4)已知对于任意的 x ? ? 0, ? ,sin x ? x 恒成立,利用此结论证明: (1)存在唯一 ? 2? ? ?? 的实数对 ? c, d ? ,其中 c, d ? ? 0, ? ,使 sin(cosc)=c,cos(sind)=d 成立; (2)在(1)的条件下 ? 2?
证明:c<d。

?1, x ? 0 ? 五、 (本题满分 20 分)函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0 , f ( x) ? x3 ? x ? log 2 ( x 2 ? 1 ? x). ??1, x ? 0 ?
(1)求证:函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数; (2)对于任意实数 a, b(a ? b ? 0) ,求

? f ? a ? ? f ?b? ? sgn ? ? . 的值。 3 3 ? a ?b ?

????? ??

? x ? 2? ? ? y ? 2?
2

2

? 10

? ??, 2?

2012

40

3

15 ? 5 2

65 128

证明:(1) 连接 PL. 因为 KL 为切线,所以 ?KLM ? ?RPL. ? ?TMP ? 180? ? ?KLP ? 180? ? ?KLM ? ?PLM ? 180? ? ?RPL ? ?PLR ? ?LRP ? ?TRM ; ?MTR ? ?PTM .??MTR ∽ ?MTP. (2)连接 TQ ,由(1)知, ?MTR ∽ ?PTM ; ?TM 2 ? TR ? TP. 由于 TN 为 ? C 的切线,则

TN 2 ? TR ? TP,?TM ? TN . ? NQ ? ML, ?T 是 ?MNQ 的斜边中点,?TQ2 ? TN 2 ? TR? TP
? ?TRQ ∽ ?TPQ ? ?TPQ ? ?TQR ? ?KML ? ?MPQ ? 2?KML.

3

证明: (1)连接 AF, DG.因为点 Q 在边 AD 上,所以直线 GQ 在平面 ADGF 内.又因为直线 GQ 和平面 BDE 交与点 M,所以 M 是平面 ADGF 和平面 BDE 的交点.而 BE 的中点是 S,故 S 是 AF 的中点,所以 S 是平面 ADGF 和平面 BDE 的交点.显然 D 是平面 ADGF 和平面 BDE 的 交点,因此 D,M,S 三点共线.

(2)过 M 作 MN ? ? BD 于 N? ,连接 QN? 并延长交直线 BC 于点 P? ,取点 P? 为 P, 点 N? 为 N,此时 y=MN 最小。连接 DS(经过点 M )并延长交 GF 的延长线于 T,连接 TE, 则 TE // BD。记 E(也就是 T)到直线 BD 的距离为 d。由于 ?BDE 是边长为 ? 的正三角形, 故d ? 2?

6 ?1 ? x ? 3 6 MN DM 1 ? x DM 1 ? x ? ,? ? ? ?y? ? ,? ? 0 ? x ? 1? 。 2 2 d DT 3 ? x 2 ?3 ? x ? MT 2

解: ?1? ? 2,3? 。 (2)设 f(x)=t, t 2 ? at ? 1 ? 0 在 ? 2,3? 上有实根。 则 由于两根之积为 1, 故该方程在 ? 2,3?

10 5 ? 1 10 5 上仅有一根。设 g ? t ? ? t 2 ? at ? 1 ,? g ? 2? g ? 3? ? 0, ? ? a ? ? 。故概率是 3 2 ? . 5 6 3 2
? ?? 证明: (1)构造函数 f ( x) ? sin(cos x) ? x, g ( x) ? cos(sin x) ? x, x ? ? 0, ? . ? 2?

? ? ? ? f (0) ? sin1 ? 0, f ( 2 ) ? ? 2 ? 0 ? ?? ? ,因此由零点定理知:存在 c, d ? ? 0, ? , ?? ?? ? ? 2? ? g (0) ? 1 ? 0, g ? ? ? cos1 ? ? 0 ? ? 2 ?2? ?
? ?? f (c) ? 0, g (d ) ? 0. 由复合函数的单调性知 f ( x), g ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减。 因此存在唯 ? 2?

? ?? 一的实数对 ? c, d ? ,其中 c, d ? ? 0, ? ,使 sin(cos c) ? c,cos(sin d ) ? d . ? 2?
4

? ?? ? ?? (2)? cos(sin d ) ? d ,?sin(cos(sin d )) ? sin d . ? d ? ? 0, ? ,? sin d ? ? 0,1? ? ? 0, ? , 由(1) ? 2? ? 2?
中的唯一性知, c ? sin d . 而 sin d ? d , 因此 c ? d .

解: (1)? x 2 ? 1 ? x ? x,? f ( x) 的定义域是 R。

? f ( ? x) ? ? ? x ? ? ? ? x ? ? log 2
3

? ? x ? x ? log 2
3

? ?

x2 ? 1 ? x

??

?

??x?

2

?1 ? ??x?

x2 ? 1 ? x

?

?

x2 ? 1 ? x 1 x ?1 ? x
2

? ? x 3 ? x ? log 2 ? ? x 3 ? x ? log 2

?

x2 ? 1 ? x

? ? ? ? f ( x)
?
x2 ? 1 ? x

? f ( x) 是定义在 R 是的奇函数。

? f ( x) ? x 3 ? x ? log 2 ? x ? ? x ? log ?
(2)

?
因此 f ( x) 在 ?0,?? ? 上显然递增。由于

( x ? ? 1 ? x)( x ? ? 1 ? x)

? x ? ? x ? log ?

?

x? ? 1 ? x x? ? 1 ? x .

?

f ( x) 是定义在 R 的奇函数,因此函数 f ( x) 在 R 上是递增的。

?

a3 ? b 3 2 b ? ?b 2 ? ? a ? ab ? b2 ? ? a ? ? ? ?0 a?b 2? ? ?

2

? f ? a ? ? f ?b ? ? ? f ? a ? ? f ?b ? ? ?sgn ? ? ? sgn ? ?. ? ? a?b ? a ?b ? ? ?

? a ? b ? 0 ? a ? ?b ? f ? a ? ? f ? ?b ? ? f ? a ? ? ? f ? b ? ? f ? a ? ? f ? b ? ? 0; a ? b ? 0 ? a ? ?b ? f ? a ? ? f ? ?b ? ? f ? a ? ? ? f ? b ? ? f ? a ? ? f ? b ? ? 0. ? f ? a ? ? f ?b ? a?b ? f ? a ? ? f ?b ? ? ? f ? a ? ? f ?b ? ? ? 0,? sgn ? ? ? sgn ? ? ? 1. ? ? a?b ? a ?b ? ? ?

5


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