当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学-第二章-平面向量-新人教A版必修4


平面向量
一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) (A)两个相等的向量的起点,方向,长度必须都相同 (B)若 a,b 是两个单位向量,则 a=b (C)若向量 a 和 b 共线,则向量 a,b 的方向相同 (D)零向量的长度为 0,方向是任意的 2.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是(

)

(A) AB ?

DC (C) AB ? AD ? BD 3.在四边形 ABCD 中, CB ? AB ? BA ? (

(B) AD ? AB ? AC (D) AD ? CB ? 0 )

(A) DB (C) CD

(B) CA (D) DC

4.已知 a,b 为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则一定有( ) (A)a=b (B)a∥b,且 a,b 方向相同 (C)a=-b (D)a∥b,且 a,b 方向相反 5.化简下列向量:(1) AB ? BC ? CA (3) FQ ? QP ? EF ? EM (2) AB ? AC ? BD ? CD )

(4) OA ? OB ? AB ,结果为零向量的个数是(

(A)1 (B)2 ( C )3 (D)4 二、填空题 6.对于下列命题 ①相反向量就是方向相反的向量 ②不相等的向量一定不平行 ③相等的向量一定共线 ④共线的单位向量一定相等 ⑤共线的两个向量一定在同一条直线上 其中真命题的序号为______. 7.若某人从 A 点出发向东走 3 km 至点 B,从点 B 向北走 3 3 km 至点 C,则点 C 相对于
用心 爱心 专心

点 A 的位置向量为______. 8.一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶,而船实际的航行方向与水流成 30°,则船的实际速度的大小为______,水流速度的大小为______. 9.如图,在□ABCD 中, AO ? a , DO ? b ,用向量 a,b 表示下列向量 CB ? ______

AB =_____.

10.已知平面内有□ABCD 和点 O,若 OA ? a , OB ? b , OC ? c , OD ? d, 则 a-b+c -d=______. 三、解答题 11.化简: (1) AB ? AC ? BD (2) AB ? CD ? CB ? DA

12. 在单位圆中, B 是 OA 的中点, PQ 过 B 且 PQ∥Ox, MP⊥Ox, NQ⊥Ox, 则在向量 OM ,

ON, MP , NQ, OP , OQ , OB , OA , PQ中.

(1)找出相等的向量;(2)找出单位向量; (3)找出与 OM 共线的向量;(4)向量 OM , ON 的长度.

13.已知正方形 ABCD 的边长为 1,若 AB ? a , BC ? b , AC ? c ,求作向量 a-b+c, 并求出|a-b+c|.

14.已知向量 a,b 满足:|a|=3,|a+b|=5,|a-b|=5,求|b|.

用心

爱心

专心

向量的线性运算(二)
一、选择题 1.若 3(x+3a)-2(a-x)=0,则向量 x=( (A)2a (B)-2a ) (C )

7 a 5

(D ) ? )

7 a 5

2.若 AB ? 5e , CD ? ?7e 且 | AD |?| BC | ,则四边形 ABCD 是( (A)平行四边形 (C)菱形 (B)非等腰梯形 (D)等腰梯形 )

3.如图所示,D 是△ABC 的边上的中点,则向量 CD 等于(

1 (A) ? BC ? BA 2 1 (C) BC ? BA 2

1 (B) ? BC ? BA 2
(D) BC ?

1 BA 2 4.已知向量 a=e1-2e2,b=-2e1+4e2,则向量 a 与 b 满足关系( ) (A)b=2a (B)共线且方向相反 (C)共线且方向相同 (D)不平行 5.下列结论中正确的个数是( ) ①若|b|=2|a|,则 b=±2a ②若 a∥b,b∥c,则 a∥c ③若 ma=mb,则 a=b ④0a=0⑤若向量 a 与 b 共线,则一定存在一个实数?,使得 a=?b (A)0 个 (B)1 个 ( C )2 个 (D)3 个 二、填空题 6.化简:5(3a-2b)+4(2b-3a)=______. 7.与非零向量 a 共线的单位向量为____________.
8.数轴上的点 A,B,C 的坐标分别为 2x,-2,x,且 AB ? ?3BC ,则 x=______;|AB| =______. 9.已知向量 a 与 b 方向相反,|a|=6,|b|=4,则 a=______b. 10. 在□ABCD 中, AB ? a , AD ? b , M 为 BC 的中点, 则 MN ? ____. AN ? 3NC , 三、解答题 11.点 D 是△ABC 边 BC 上一点,且 BD ?

1 BC .设试 AB ? a,AC ? b, 用向量 a,b 表示 3

AD.

用心

爱心

专心

12.已知向量 a,b 满足 (a ? 3b) ? 求|a|∶|b|.

1 5

1 1 (a ? b) ? (3a ? 2b ) ,求证:向量 a 与 b 共线,并 2 5

13.已知|a|=1,|b|=2.若 a=?b,求|a-b|的值.

14. 已知平面中不同的四点 A, B, C, D 和非零向量 a, b, 且 AB ? a ? 2b ,CD ? 5a ? 6b ,

CD =7a-2b.
(1)证明:A,B,D 三点共线; (2)若 a 与 b 共线,证明 A,B,C,D 四点共线.

用心

爱心

专心

向量的分解与向量的坐标表示
一、选择题 1.已知向量 a=(4,2),向量 b=(x,3),且 a∥b,则 x=( (A)9 (B)6 ( C )5 ) (D)3 )

2.已知点 A(0,1),B(1,2),C(3,4),则 AB ? 2BC 的坐标为(

(A)(3,3) (B)(-3,-3) (C)(-3,3) (D)(3,-3) 3.已知基底{e1,e2},实数 x,y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于 ( ) (A)3 (B)-3 ( C )0 (D)2 4.在基底{e1,e2}下,向量 a=e1+2e2,b=2e1-?e2,若 a∥b,则?的值为( ) (A)0 (B)-2 (C) ?

1 2

(D)-4

5.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c), d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量 d 为( ) (A)(2,6) (B)(-2,6) (C)(2,-6) (D)(-2,-6) 二、填空题 6.点 A(1,-2)关于点 B 的对称点为(-2,3),则点 B 的坐标为______. 7.若 M(3,-2),N(-5,-1)且 MP ?

1 MN ,则 P 点的坐标为______________. 2

8.已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),点 P 满足 OP ? OA ? t AB ,当点 P 在 x 轴上时, t=_______. 9.已知□ABCD 的三个顶点 A(-1,3),B(3,4),C(2,2),则顶点 D 的坐标为______. 10.向量 OA ? (k, 12) , OB ? (4, 5) , OB ? (10, k ) 若 A、B、C 三点共线,则 k=______. 三、解答题 11.已知梯形 ABCD 中, AB ? 2DC ,M,N 分别是 DC,AB 的中点.设 AD ? a, AB ? b 选择基底{a,b},求向量 DC ,NM 在此基底下的分解式.

12.已知向量 a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4), (1)证明:向量 a,b 是一组基底; (2)在基底{a,b}下,若 c=xa+yb,求实数 x,y 的值. 13.已知向量 a=(1,2),b=(-3,x).若 m=2a+b,n=a-3b,且 m∥n,求实数 x 的 值并判断此 m 时 n 与的方向相同还是相反. 14.已知点 O(0,0),A(1,4),B(4,-2),线段 AB 的三等分点 C,D(点 C 靠近 A). (1)求点 C,D 的坐标;(2)若点 E 相对于点 B 的位置向量为 OC ? 2OD ,求点 E 的坐标.
用心 爱心 专心

平面向量的数量积及其运算律
一、选择题 1.若|a|=4,|b|=3, 〈a,b〉=135°,则 a?b=( (A)6 (B) (C ) 6 2 ) (D ) ? 6 2 )

2.已知|a|=8,e 为单位向量, 〈a,e〉 (A) 4 3 (C) ? 4 3

2π ,则 a 在 e 方向上的正射影的数量为( 3
( B )4 (D)-4

3.若向量 a,b,c 满足 a?b=a?c,则必有( ) (A)a=0 (B)b=c (C)a=0 或 b=c 4.若|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥a,则〈a,b〉=( ) (A)30° (B)60° (C)120°

(D)a⊥(b-c) (D)150°

5.平面上三点 A,B,C,若 | AB |? 3, | BC |? 4, | CA |? 5 ,则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB =( ) A.25 (B)-25 (C)50 (D)-50 二、填空题 6.已知 a?b=-4,a 在 b 方向上的正射影的数量为-8,则在|a|和|b|中,可求出具体 数值的是______,它的值为______. 7.已知 a,b 均为单位向量, 〈a,b〉=60°,那么|a+3b|=______. 8.已知|a|=4,|b|=1,|a-2b|=4,则 cos〈a,b〉=______. 9.下列命题中,正确命题的序号是______. (1)|a|2=a2; (2)若向量 a,b 共线,则 a?b=|a||b|; (3)(a?b)2=a2?b2; (4)若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 (5)(a-b)?(a+b)=|a|2-|b|2; 10.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若|a|=1,则|a|2+|b|2 +|c|2 的值是______. 三、解答题 11.已知|a|=5,|b|=4, 〈a,b〉

π ,求(a+b)?a 和|a+b|. 3

12.向量 a,b 满足(a-b)?(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,求〈a,b〉 . 13.已知 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足 (OB ? OC) ? (OB ? OA) ? 0 ,试判断△ABC 的形状.

14.已知向量 a,b 满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|= 7 . (1)求|a-2b|;(2)若(a+2b)⊥(ka-b),求实数 k 的值.
用心 爱心 专心

向量数量积的坐标运算与度量公式
一、选择题 1.已知 a=(-4,3),b=(5,6),则 3a2-4a?b=( (A)83 (B)63 (C)57 ) (D)23 )

2.已知向量 a ? ( 3, 1) ,b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a ? b ? 3 ,则 b=( (A) (

3 1 , ) 2 2

(B) ( ,

1 3 ) 2 2

(C ) ( ,

1 3 3 ) 4 4

(D)(1,0) ) (D)直角三角形 )

3.在△ABC 中,A(4,6),B(-4,10),C(2,4),则△ABC 是( (A)等腰三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 4.已知 a=(0,1),b=(1,1),且〈 a ? ?b , a 〉 ? (A)-1 (B)0

π ,则实数?的值为( 2
(D)2

( C )1

5.已知 a=(1,2),b=(-2,-4), | c |? 5 ,若 (a ? b) ? c ?

5 ,则〈a,c〉=( 2

)

(A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 二、填空题 6.若 a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3),则 a?b=______, 〈a,b〉=______. 7.向量 a=(5,2)在向量 b=(-2,1)方向上的正射影的数量为______. 8.在△ABC 中,A(1,0),B(3,1),C(2,0)则∠BCA=____________. 9.若向量 a 与 b=(1,2)共线,且满足 a?b=-10,则 a=______. 10.已知点 A(0,3),B(1,4),将有向线段 AB 绕点 A 旋转角

π 到 AC 的位置,则点 C 的 2

坐标为______. 三、解答题 11.已知 a=(-3,2),b=(1,2),求值:|a+2b|,(2a-b)?(a+b),cos〈a+b,a-b〉 .

12.若 | a |? 2 13 ,b=(-2,3),且 a⊥b,求向量 a 的坐标.

13.直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4),OC 为△AOB 的内角平分线,且 OC 与 AB 交于点 C,求点 C 的坐标. 14.已知 k ? Z, AB ? (k, 1), AC ? (2, 4), | AB |? 4 ,且△ABC 为直角三角形,求实数 k 的值.

用心

爱心

专心

测试十二 向量的应用 Ⅰ 学习目标
1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量的方法解决物理中简单的力学和速度问题;能将物理问题转化为数学问题,同 时会用建立起来的数学模型解释相关的物理问题.



基础性训练

一、选择题 1.作用于原点的两个力 f1=(1,1),f2=(2,3),为使它们平衡,需要增加力 f3,则力 f3 的大小为( ) (A)(3,4) (B)(-3,-4) ( C )5 (D)25 2.在水流速度为自西向东,10 km/h 的河中,如果要使船以 10 3 km/h 的速度从河南岸垂 直到达北岸,则船出发时行驶速度的大小和方向( ) (A)北偏西 30°,20 km/h (B)北偏西 60°,20 km/h (C)北偏东 30°,20 km/h (D)北偏东 60°,20 km/h 3.若平行四边形 ABCD 满足 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,则平行四边形 ABCD 一定是( (A)正方形 (B)矩形 (C)菱形 (D)等腰梯形 )

4. 已知□ABCD 对角线的交点为 O, P 为平面上任意一点, 且 PO =a, 则 PA ? PB ? PC ? PD =( ) (A)2a (B)4a (C)6a (D)8a

5.已知非零向量 AB 与 AC 满足 (

AB

| AB | | AC |

?

AC

) ? BC ? 0 且

AB

| AB | | AC |

.

AC

?

1 ,则△ABC 2

为( ) (A)三边均不相等的三角形 (B)直角三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)等边三角形 二、填空题 6.自 50 m 高处以水平速度 10 m/s 平抛出一物体,不考虑空气阻力,则该物 2s 时的速度 的大小为______,与竖直向下的方向成角为??,则 tan??=______(g=10 m/s2). 7.夹角为 120°的两个力 f1 和 f2 作用于同一点,且|f1|=|f2|=m(m>0),则 f1 和 f2 的 合力 f 的大小为______,f 与 f2 的夹角为____________. 8.正方形 ABCD 中,E,F 分别为边 DC,BC 的中点,则 cos∠EAF=____________. 9.在△ABC 中,有命题:① AB ? AC ? BC ;②若 ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? 0 ,则△ABC 为等腰三角形;③ AB ? BC ? CA =0;④若 AB ? BC ? 0 ,则为△ABC 锐角三角形. 上述命题中正确的是____________(填上你认为正确的所有序号) 三、解答题 10.水平电线 AB 对竖直电杆 BD 的拉力为 300 N,斜拉索 BC 的拉力为 600 N,此时电杆 恰好不偏斜,求斜拉索与地面成角??的大小以及由此引起的电杆对地面的压力(电杆自 重不计).

用心

爱心

专心

11.某运动员在风速为东偏北 60°,2 m/s 的情况下正在以 10 m/s 的速度向东跑.若风停 止,运动员用力不变的情况下,求该运动员跑步速度的大小和方向.

12.对于平行四边形 ABCD,点 M 是 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 BN ? 的方法证明:M,N,C 三点共线.

1 BD .用向量 3



拓展性训练

13.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,且 CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上一点,且 AE= 2EB. 求证:AD⊥CE.

14.如图,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标.

用心

爱心

专心

用心

爱心

专心

测试十三
一、选择题

平面向量全章综合练习
) (D) AM ) )

1.向量 ( AB ? MB) ? (BO ? CB) ? OM 化简后等于( (A) AC (B) BC (C) AB

2.点 A 的坐标为(1,-3),向量 AB 的坐标为(3,7),则点 B 的坐标为(

(A)(4,4) (B)(-2,4) (C)(2,10) (D)(-2,-10) 3.已知向量 a=(-2,4),b=(-1,-2),c=(2,3),则(a+b)?(a-c)的值为( (A)10 (B)14 (C)-10 (D)-14 4.已知向量 a=(2,t),b=(1,2).若 t=t1 时,a∥b;t=t2 时,a⊥b,则( ) (A)t1=-4,t2=-1 (B)t1=-4,t2=1 (C)t1=4,t2=-1 (D)t1=4,t2=1

5. 若点 O 是△ABC 所在平面内一点, 满足 OA? OB ? OB ? OC ? OC? OA , 则点 O 是△ABC 的( ) (A)三个内角的角分线的交点 (B)三条边的垂直平分线的交点 (C)三条中线的交点 (D)三条高线的交点 二、填空题 6.河水的流速为 2 m/s,一只小船想要以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸,则小 船在静水中的速度的大小应为______________. 7.数轴上的点 A,B,点 A 的坐标为-3,且向量 AB 的长度为 5,则点 B 的坐标为______. 8.已知 p=(-2,2),q=(1,3),则 p 在 q 方向上的正射影的数量为______. 9.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(a+b)⊥(a+?b),则实数?=______. 10.给出下列命题: ①

a ?b b ? ; a2 a

②|a|-|b|<|a-b|;

③|a?b|=|a||b|;

④(b?c)a-(c?a)b 与 c 垂直; ⑤已知 a,b 是非零向量,若|a+b|=|a-b|,则 a⊥b; ⑥已知 a,b 是两个单位向量,则 a2=b2. 所有正确的命题的序号为____________. 三、解答题 11.已知点 A(-2,1),B(1,3).求线段 AB 中点 M 和三等分点 P,Q 的坐标.

12.已知|a|=2,|b|=4, 〈a,b〉

2π .求|a-b|和〈a,a-b〉的余弦值. 3

13.已知向量 a=(1,2),b=(x,1).
用心 爱心 专心

(1)求与 a 垂直的单位向量的坐标; (2)求|b-2a|的最小值以及此时 b 的坐标; (3)当 x 为何值,a+2b 与 b-2a 平行,并确定它们此时是同向还是反向.

14.如图,以原点 O 和 A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB,使∠B=90°.求点 B 的坐 标和 AB 的坐标.

用心

爱心

专心

参考答案 第二章
测试七
一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.B 二、填空题 5.C

平面向量

向量的线性运算(一)

6.③ 7. “东偏北 60°,6 km”或“北偏东 30°,6 km”8.10 km/h 9.b-a;a+b 10.0 三、解答题 11.解:(1) CD ; (2)原式= ( AB ? BC ? CD) ? DA ? AD ? DA =0.

5 3 km/h

12.解:(1) MP ? NQ ? OB ;(2) OP, OQ, OA ;(3) ON, PQ ;(4) | OM |?| ON |? 13.解: AB ? a, BC ? b, AC ? c ,所以 DB ? a ? b ,

3 ? 2

BE ? AC ? c, DE ? DB ? BE ? a ? b ? c ,
|a-b+c|=2.

14.解:设 AB ? a, AD ? b ,做□ABCD. 则 AC ? a ? b, DB ? a ? b , 可得 AC ? BD ? 5 ,所以□ABCD 为矩形,

| b |?| AD |? 52 ? 32 =4.

用心

爱心

专心

用心

爱心

专心

测试八
一、选择题 1.D 2.D 二、填空题 3.A

向量的线性运算(二)

4. B 5. A

6.3a-2b 7. ? 三、解答题 11.答: AD ?

a |a|

8.-4;6 9. a ? ?

3 b 2

10.

1 1 b? a 4 4

2 1 a? b. 3 3

7 b ,所以 a∥b;|a|∶|b|=7∶9. 9 1 1 13.略解:由题意,得|a|=|λ||b|,∴|λ|= ,λ= ? , 2 2
12.略解:化简得 9a=7b,即 a ? |a-b|=|λ-1||b|=2|λ-1|=1 或 3. 14.(1)证明:∵ BD ? CD ? CB ? 2a ? 4b ,∴ BD ? 2 AB , ∴ AB // BD ,因为二者均经过点 B,所以 A,B,C 三点共线. (2)证明:∵a 与 b 共线,设 a=λb,∴ BD ? (2? ? 4)b, CD ? (7? ? 2)b ∵ CD ? ? 0, BD ? ? 0 ∴7λ-2≠0,2λ+4≠0.∴ BD ?

2? ? 4 CD , 7? ? 2

∴ BD // CD ,所以 B,C,D 三点共线,又 A,B,D 三点共线. 所以 A,B,C,D 四点共线.

测试九

向量的分解与向量的坐标表示

一、选择题 1.B 2.B 3.A 4.D 5.D 二、填空题 6. ( ?

1 1 , ) 2 2

7. ( ?1,? )

3 2

8. t ? ?

2 3

9.(-2,1) 10.-2 或 11

三、解答题

1 1 b; NM ? a ? b . 2 4 3 ?2 ? 12.(1)证明:∵ ,∴a 与 b 不平行,所以向量 a,b 是一组基底. ? ?2 1
11.答: DC ? (2)略解:(7,-4)=x(3,-2)+y(-2,1), ?

?3x ? 2 y ? 7, ? x ? 1, 所以 ? ?? 2 x ? y ? ?4, ? y ? ?2.

13.略解:m=(-1,4+x),n=(10,2-3x), 因为 m∥n,所以-(2-3x)-10(4+x)=0,x=-6, 此时 m=(-1,-2),n=(10,20),有 n=-10m,所以 m 与 n 方向相反.

用心

爱心

专心

14.略解:(1) OC ? OA ? AC ? OA ?

1 1 AB ? (1,4) ? (3,?6) ? (2,2) . 3 3 2 2 OD ? OA ? AD ? OA ? AB ? (1,4) ? (3,?6) ? (3,0) . 3 3

(2) OC ? 2OD ? (2,2) ? 2(3,0) ? (8,2) .

OE ? OB ? OC ? 2OD ? (4,?2) ? (8,2) ? (12,0) .
测试十
一、选择题 1.D 2.D 二、填空题 6.|b|; 3.D 4.C

平面向量的数量积及其运算律

5.B

1 2

7. 13

8.

1 4

9.①⑤ 10.4

提示: 10.由 a+b+c=0,得 c=-a-b,又(a-b)⊥c, ∴(a-b)?(-a-b)=0, ∴-|a|2-a?b+a?b+|b|2=0, ∴|b|=|a|=1. 又 c=-a-b, ∴|c|2=|-a-b|2=(-a-b)?(-a-b)=|a|2+2a?b+|b|2=2. ∴ | c |? 2 ,综上,|a|2+|b|2+|c|2=4. 另外,可以结合图示,分析解决问题. 三、解答题 11.解:a?b=10,(a+b)?a=a2+a?b=35,

| a ? b |? (a ? b) 2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? 61 .
12.解:由题意得 2a2-a?b-b2=-4,所以 2a2-a?b-b2=-4,得 a?b=-4, cos〈a,b〉 ?

a ?b 1 ? ? , 〈a,b〉=120° | a || b | 2

13 .略解:因为 (OB ? OC) ? (OB ? OA) ? 0 ,所以 CB ? AB =0 ,从而 CB ? AB ,△ ABC 为直角三角形. 14.略解:(1)|a-b|2=a2-2ab+b2=7,所以 a?b=-1, |a-2b|2=a2-4ab+4b2=21,即 | a ? 2b |? 21. (2)由已知得(a+2b)?(ka-b)=0,即 ka2-ab+2kab-2b2=0,得 k=-7.

测试十一

向量数量积的坐标运算与度量公式

一、选择题 1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 提示: 5.设 c=(x,y), 由 | c |? 5 ,得 x2+y2=5??①,

用心

爱心

专心

由 (a ? b ) ? c ?

5 5 5 ,得 (?1,?2) ? ( x, y ) ? ,∴ ? x ? 2 y ? ??② 2 2 2

由①②解得 c ? (?

1 3 1 3 ? 3,?1 ? ) ,或 c ? (? ? 3,?1 ? ). 2 2 2 2

5 ? a ?c 1 3 2 ??1, ? 当 c ? (? ? 3,?1 ? ) 时,cos〈a,c〉 ? 2 | a || c | 2 2 5 5
∴〈a,c〉=120°, 另一种情况,计算结果相同. 二、填空题 6.-5;135° 7. ? 提示: 10.设 C(x,y),则 AB ? (1,1), AC ? ( x, y ? 3) , 由 AC⊥AB 得, AB ? AC ? 0 ,即 x+y-3=0??① 又 | AB |? AC , ∴2=x2+(y-3)2??②. 结合①②,解得, ? 三、解答题 11.答: | a ? 2b |? 37 ;(2a-b)?(a+b)=22; cos ? a ? b, a ? b? ? 12.解:设 a=(x,y),则 ? a=(-6,-4). 13.解:设 C(x,y),则 OC ? ( x, y) ,由已知可得: 〈 OA, OC 〉=〈 OB, OC 〉

8 5 5

8.135° 9.(-2,-4) 10.(-1,4)或(1,2)

?x ? 1, ? x ? ?1 或? ∴C(1,2)或 C(-1,4). ? y ? 2, ? y ? 4
5 5 .

?? 2 x ? 3 y ? 0 ? x ? y ? 52
2 2

,解得: ?

? x ? 6 ? x ? ?6 或? ,所以 a=(6,4)或 y ? 4 y ? ? 4 ? ?

? AC // AB ?? x ? y ? 1 ? 1 3 ? 则 ? OC ? OC OB ? OC ,所以 ? 3 4 ,解得 x ? ? , y ? , 2 2 y ? ? x? y ? ? ? 5 5 ? | OA | | OB | ?
所以 C ( ?

1 3 , ). 2 2

14.解:由 | AB |? 4 得 k2≤15,∵k∈Z,∴k=-3,-2,-1,0,1,2,3, 当 A=90°时, AB· AC ? 2k ? 4 ? 0 所以 k=-2; 当 B=90°时, AB· BC ? 0, BC ? ( 2 - k, 3) ,所以 k(2-k)+3=0,k=-1 或 3;
用心 爱心 专心

当 C=90°时, AC· BC ? 0, BC ? ( 2 - k, 3) ,所以 2(2-k)+12=0,k=8(舍). 综上 k=-1 或-2 或 3.

测试十二

向量的应用

一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. B 5. D 提示: 5.设

AB | AB |

? m,

AC | AC |

? n ,则|m|=|n|=1,

由已知 (m ? n) ? BC ? 0 . ∴ m ? BC ? ?n ? BC , ∴ m ? BC cos(x ? B) ? ? n ? BC ? cos C ∴cosB=cosC,又 B、C∈(0,?) ∴B=C.

1 , 2 1 ∴ m ? n cos A ? 2 1 ( 0, π) ∴ cos A ? , 又 ? 2
又由已知 m ? n ? ∴A=60° ∴△ABC 为等边三角形. 二、填空题 6. 10 5m/s; 三、解答题 10.答:??=60°; 300 3N . 11.解:如图,建立平面直角坐标系,作□ABCD,设 | OC |? 2, | OB |? 10 ,则 C(1, 3 ), B(10,0), CB ? (9,? 3 ) ,得 | CB |? 2 21 ? 9.17m/s, tan?AOB ? 由计算器计算得∠AOB≈10.89°. 该运动员跑步速度的大小为 9.17 m/s,方向为东偏南约 10.89°.

1 2

7.m,60°, 8.

4 5

9.②③

3 . 9

12.略解:欲证 M,N,C 三点共线,只需证 MN // MC ,可选择一组基底来表示这两个向
用心 爱心 专心

量,再证明二者具有关系 MN ? ? MC 即可.

1 1 e2 . 3 3 1 1 1 1 1 1 MC ? e1 ? e2 , MN ? MB ? BN ? e1 ? (? e1 ? e2 ) ? e1 ? e2 . 2 2 3 3 6 3 1 所以 MN ? MC ,所以 M,N,C 三点共线. 3
设 AB ? e1 , AD ? e2 ,则 BD ? ?e1 ? e2 , BN ? ? e1 ? 13.证明:设此等腰直角三角形的直角边长为 a,

AD? CE ? ( AC ? CD) ? (CA ? AE) ? AC ? CA ? AC ? AE ? CD ? CA ? CD ? AE ? ? | AC |2 ? | AC || AE | cos45? ? 0? | CD || AE | cos45?
2 1 ? ? a 2 ? a 2 ? a 2 ? 0 所以 AD⊥CE. 3 3
或以点 C 为原点,CA,CB 所在的直线分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系,

1 1 2 1 1 2 a), E ( a, a), AD ? (?a, a), CE ? ( a, a), 2 3 3 2 3 3 1 2 1 2 可得出 AD ? CE ? ? a ? a ? 0 ,所以 AD⊥CE. 3 3
则 A(a,0), D(0, 14.解:设 P(x,y),则 OP ? ( x, y) ,OB=(4,4), 由 OP, OB ,共线得 4x-4y=0,??①,

AP ? ( x ? 4, y) ,AC=(-2,6),由 AP, AC 共线得 6(x-4)-y(-2)=0??②,由
①②解得,P(3,3).

测试十三
一、选择题 1.A 2.A 二、填空题 6. 2 26m/s 三、解答题 11.解: AB ? OB ? OA ? (3,2) , 3.B 4.C 5.D

平面向量全章综合练习

7.-8 或 2 8.

2 10 5

9. ?

17 9

10.④⑤⑥

OM ?

1 1 1 (OB ? OA ) ? (? ,2), 所以 M (? ,2) , 2 2 2 1 5 5 2 7 OP ? OA ? AB ? (?1, ) ,所以 p(?1, ), OQ ? OA ? AB ? (0, ) , 3 3 3 3 3 7 3

所以 Q(0, ) .

用心

爱心

专心

12.答:|a-b| ? 2 7 ,cos〈a,a-b〉 ?

2 7 7 . 5 , 5

13.略解:(1)设单位向量为 e=k(-2,1)=(-2k,k),因为|e|=1,得 k ? ?

e ? (?

2 5 5 2 5 5 , ) e?( ,? ) 5 5 或 5 5 .
( x ? 2) 2 ? 9 ,当 x=2 时,|b-2a|最小值为 3,此时 b=(2,1).

(2) | b ? 2a |? (3) x ?

1 ,反向. 2

14.解:设 B(x,y),则 AB ? ( x ? 5, y ? 2),OB ? ( x, y) ,由已知得 ?

? ? AB ? OB ? 0 ? ?| AB |?| OB |



3 ?x ? 7 ? ? x( x ? 5) ? y ( y ? 2) ? 0 ? x1 ? 2 ? 2 2 所以 ? 2 ,解得 ? , 或? 2 2 2 3 ? x ? y ? ( x ? 5) ? ( y ? 2) ?y ? 7 ?y ? ? 2 ? 1 2 ? 2 3 7 7 3 3 1 7 3 所以 B ( , ) 或 B( ,? ) , AB ? ( ? ,? ) 或 AB ? ( ? , ) , 2 2 2 2 2 2 2 2

用心

爱心

专心


相关文章:
高中数学-第二章-平面向量-新人教A版必修4
高中数学-第二章-平面向量-新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。平面向量一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) (A)两个相等的向量的起点,方向,长度必须...
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)_高一数学_数学_高中教育_...(3,4), A点的坐标为(-2,-1),则B点的坐标为 14.已知 a ? (3, ?4...
高中数学必修4:第二章《平面向量》测试(2)(新人教A版必修4)
高中数学必修4:第二章平面向量》测试(2)(新人教A版必修4)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修4:第二章平面向量》测试 ...
高中数学必修4(新人教A版)第二章《平面向量》测试(4)
高中数学必修4(新人教A版)第二章平面向量》测试(4)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。人教A版必修四习题金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 第二章平面向量...
新人教A版必修4高中数学第二章平面向量周练(二)
新人教A版必修4高中数学第二章平面向量周练(二)_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 新人教A版必修4高中数学第二章平面向量周练(二)...
高中数学必修4:第二章《平面向量》测试(1)(新人教A版必修4)
高中数学必修4:第二章平面向量》测试(1)(新人教A版必修4)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修4:第二章平面向量》测试 ...
2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量本章小结 新人教A版必修4
2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量本章小结 新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。【金版学案】2015-2016 学年高中数学 第二章 平面向量本章小结 新...
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版
高中数学必修4第二章平面向量教案完整版_高二数学_数学_高中教育_教育专区。必修...49页 1下载券 高中数学必修4人教A教案... 暂无评价 4页 免费喜欢...
新人教A版必修4高中数学第二章平面向量周练(三)
高中数学第二章 平面向量》周练 3 新人教 A 版必修 4 (时间:80 分钟 满分:100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1 π 1.已知|a|=,|b|...
更多相关标签:
必修四平面向量 | 数学必修四平面向量 | 必修4平面向量测试题 | 必修四平面向量知识点 | 必修四平面向量测试题 | 平面向量是必修几 | 必修四平面向量2.1 | 人教版高一物理第二章 |