当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学直线与圆位置关系练习题20150211


高一数学直线与圆位置关系练习题 20150211
1.若经过两点 A( ? 1 , 0) ,B(0, 2)的直线 l 与圆 ?x ? 1?2 ? ? y ? a?2 ? 1 相切, 求 a 的值

2.已知⊙C 经过点 A(2, 4) 、 B(3,5) 两点,且圆心 C 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求⊙C 的方程; (2)若直线 y ? kx ? 3 与⊙C 总有公共点,求实数 k 的取值范围.

3.已知关于 x, y 的方程 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 . (1)当 m 为何值时,方程 C 表示圆。 (2)若圆 C 与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M,N 两点,且|MN|=
4 5 ,求 m 的值。 5

(3)在(2)条件下,是否存在直线 l : x ? 2 y ? c ? 0 ,使得圆上有四点到直线 l 的 距离为
5 ,若存在,求出 c 的范围,若不存在,说明理由。 5

4.已知直线 l 过点 A(?6, 7) 与圆 C : x ? y ? 8x ? 6 y ? 21 ? 0 相切,
2 2

(1)求该圆的圆心坐标及半径长 (2)求直线 l 的方程

1

5.已知圆 C 的圆心在直线 l : x ? 2 y ? 1 ? 0 上,并且经过 A(2,1)B(1,2)两 点,求圆 C 的标准方程.

6.已知圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5, 直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0. (I)求证:对 m ? R ,直线 l 与 C 总有两个不同的交点; (II)设 l 与 C 交于 A、B 两点,若 | AB |? 17 ,求 m 的值.

7.已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,直线 l1 过定点 A (1,0). (1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 的倾斜角为 坐标; (3)若 l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求△CPQ 面积的最大值

? , l1 与圆 C 相交于 P,Q 两点,求线段 PQ 的中点 M 的 4

8.已知点 P(2, 0) 及圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 4 ? 0 . (1)若直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1,求直线 l 的方程; (2) 设过点 P 的直线 l1 与圆 C 交于 M 、N 两点, 当 MN ? 4 时, 求以线段 MN 为直径的圆 Q 的方程; (3 )设直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,是否存在实数 a ,使得过点
P(2, 0) 的直线 l2 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明

理由

2

高一数学直线与圆位置关系练习题答案 20150211
1 解:直线 AB: 2 x ? y ? 2 ? 0 ,圆心 ?1, a ? 到直线 AB 的距离 d ? 得a ? 4? 5 2(1)解法 1:设圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,
? 2 ?2 ? 42 ? 2 D ? 4 E ? F ? 0 ? D ? ?6 ? ? 则 ?32 ? 52 ? 3D ? 5 E ? F ? 0 ? ? E ? ?8 所以⊙C 方程为 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 24 ? 0 . ? ? D E ? F ? 24 ?2( ? ) ? (? ) ? 2 ? 0 ? 2 2
5 9 解法 2:由于 AB 的中点为 D ( , ) , k AB ? 1 , 2 2

2?a?2 5

=1 ,

则线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? ? x ? 7 而圆心 C 必为直线 y ? ? x ? 7 与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点,

? y ? ?x ? 7 ?x ? 3 由? 解得 ? ,即圆心 C (3, 4) , ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 4
又半径为 CA ? (2 ? 3)2 ? (4 ? 4) 2 ? 1 ,故⊙C 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 . (2)解法 1:因为直线 y ? kx ? 3 与⊙C 总有公共点, 则圆心 C (3, 4) 到直线 y ? kx ? 3 的距离不超过圆的半径, 即

3k ? 4 ? 3 1? k 2

? 1 ,将其变形得 4k 2 ? 3k ? 0 ,解得 0 ? k ?

3 . 4

?( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? (6 ? 2k ) x ? 9 ? 0 , 解法 2:由 ? ? y ? kx ? 3

因为直线 y ? kx ? 3 与⊙C 总有公共点,则 ? ? (6 ? 2k )2 ? 36(1 ? k 2 ) ? 0 , 解得 0 ? k ?
3 . 4

3: (1)方程 C 可化为 显然

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m

5 ? m ? 0时,即m ? 5 时方程 C 表示圆。

3

(2)圆的方程化为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ? m

圆心 C(1,2) ,

半 径 r ? 5 ? m 则 圆 心 C ( 1 , 2 ) 到 直 线 l:x+2y-4=0 的 距 离 为

d?

1? 2? 2 ? 4 12 ? 2 2
1 5

?

1 5
2 5

? MN ?

4

1 2 1 ,有 r 2 ? d 2 ? ( MN ) 2 , 则 MN ? 2 2 5 5

?5 ? m ? (

)2 ? (

)2 , 得

m?4

(3)设存在这样的直线,圆心 C(1,2) ,半径 r ? 1 , 则圆心 C(1,2)到直线
l : x ? 2 y ? c ? 0 的距离为 d ?

1? 2? 2 ? c 12 ? 2 2

?

c?3 5

? 1?

1 5

解得 4 ? 5 ? c ? 2 ? 5 4. (1)

? x ? 4?

2

? ? y ? 3? ? 2
2

,半径 r ? 2 . ? 圆心坐标为(4,-3)

(2)当直线 l 垂直于 x 轴时,直线不与圆相切,所以直线的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? 7 ? k ( x ? 6) ,即 kx ? y ? 6k ? 7 ? 0 为d ? 则圆心到此直线的距离

4k ? 3 ? 6k ? 7 1? k 2

?

10 k ? 1

3 4 ? 2 .由此解得 k ? ? 或 k ? ? , 4 3 1? k 2

直线 l 的方程为: 3x ? 4 y ? 10 ? 0,4 x ? 3 y ? 3 ? 0 5.解:圆心在线段的垂直平分线上, AB 垂直平分线方程为 y ?
3 3 ? x ? ,即 2 2

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ,解得 x ? y ? 0 又圆心在直线 l 上 ∴圆心为两直线的交点 ? ? x? y ?0 ? x ? ?1 ,圆心 C(-1,-1) ? ? y ? ?1
r= AC = (2 ? 1) 2 ? (1 ? 1) 2 = 13 6.解: (I)d ?
| m ? 0 ?1 ? 1 ? m | m2 ? 1 ?

圆 C 的标准方程 ?x ? 1?2 ? ( y ? 1) 2 ? 13
| m| m2 ? 1

所以直线与圆相交, 恒有两个交点。 ? 1,

? mx ? y ? 1 ? m ? 0 法二:联立 ? 2 得, (m2 ? 1) x2 ? 2m2 x ? m2 ? 5 ? 0 2 ? x ? ( y ? 1) ? 5

? ? 4m4 ? 4(m2 ? 1)(m2 ? 5) ? 16m2 ? 20 ? 0 ,所以直线与圆相交,恒有两个交点。

4

(II)设 r ? 5 ,圆心 C 到直线的距离为 d ,由圆的相关性质可知:

d ? r2 ? (

| AB | 2 3 |m| |m| 3 ,,又由(I) d ? 故 ,解得 m ? ? 3 ) ? ? 2 2 2 m2 ? 1 m2 ? 1

7.解:①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 x ? 1 ,符合题意. ②若直线 l1 的斜率存在,设直线 l1 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ?k ? 0 由题意知,圆心 (3,4)到直线 l1 的距离等于半径 2,即: 所求直线 l1 方程是 3x ? 4 y ? 3 ? 0 综上所述:所求直线 l1 方程是 x ? 1 ,或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 (2) 直线 l1 的方程为 y= x-1∵M 是弦 PQ 的中点,∴PQ⊥CM, ∴CM 方程为 y-4=-(x-3),即 x+y-7=0 ∵?
? y ? x ? 1, ? x ? y ? 7 ? 0, 3k ? 4 ? k k ?1
2

? 2 解之得

k?

3 4

∴?

? x ? 4, ∴M 点坐标(4,3) . ? y ? 3.

(3)设圆心到直线的距离为 d,三角形 CPQ 的面积为 S,则
S? 1 d ? 2 4 ? d2 ? d 4 ? d2 2
2 4 2 2

∴当 d= 2 时,S 取得最大值 2.

? 4d ? d ? ?(d ? 2) ? 4,

8. (1)设直线 l 的斜率为 k ( k 存在)则方程为 y ? 0 ? k ( x ? 2) . 又圆 C 的圆心为 (3, ?2) ,半径 r ? 3 ,由

3k ? 2 ? 2k k 2 ?1

3 ? 1 ,解得 k ? ? . 4

3 所以直线方程为 y ? ? ( x ? 2) , 4

即 3x ? 4 y ? 6 ? 0 .

当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 ,经验证 x ? 2 也满足条件. (2)由于 CP ? 5 ,而弦心距 d ? r 2 ? (

MN 2

)2 ? 5 ,

所以 d ? CP ? 5 ,所以 P 为 MN 的中点. 故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . (3)把直线 ax ? y ? 1 ? 0 即 y ? ax ? 1 .代入圆 C 的方程,
5

消去 y , 整理得 (a2 ? 1) x2 ? 6(a ?1) x ? 9 ? 0 . 由于直线 ax ? y ? 1 ? 0 交圆 C 于 A, B 两 点, 故 ? ? 36(a ?1)2 ? 36(a2 ? 1) ? 0 ,即 ?2a ? 0 ,解得 a ? 0 . 则实数 a 的取值范围是 (??, 0) . 设符合条件的实数 a 存在,由于 l2 垂直平分弦 AB ,故圆心 C (3, ? 2) 必在 l2 上. 所以 l2 的斜率 kPC ? ?2 ,而 k AB ? a ? ?

1 1 ,所以 a ? . 2 k PC

6


相关文章:
更多相关标签: