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邻水县丰禾中学高2013级高三数学12


邻水县丰禾中学高 2013 级高三数学(理)周考(12)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1. 已知 M ? ?? x, y ?

? ?

y ?3 ? ? 3? , N ? ?? x, y ? ax ? 2 y ? a ? 0? 且 M ? N ? ? , 则a = ( x?2 ?

B.-6 )
2



A.-6 或-2

C.2 或-6

D.2

2.下列有关命题的说法错误的是(
2

A. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D. 对于命题 p:? x∈R,使得 x +x+1<0.则¬p:? x∈R,均有 x +x+1≥0 3.已知复数 Z ?
2 2 2

1 ? 3i 3 ?i

, Z 是 Z 的共轭复数,则 Z ? Z ? (



1 C.4 D. 1 4 ? ? ? ? ? ? 4.已知向量 a ? b ? ? 2, ?8? , a ? b ? ? ?8,16? ,则 a 与 b 夹角的余弦值为(
A. B. A.

1 2



63 65

B. ?

63 65

C. ?

63 65

D.

5 13

5 .如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域, E 是 D 内位于函数

y?

1 ( x ? 0) 图象下方的阴影部分区域,则阴影部分 E 的面积为( x
B. 1 ? ln 2
3



A. ln 2

C. 2 ? ln 2

D. 1 ? ln 2

6. 设函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 0 ? a ? 2? 有三个零点 x1、x2、x3 , 且x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论正确的是( A. x1 ? ?1 B. ) C.

x2 ? 0

0 ? x2 ? 1

D.

x3 ? 2

) A ? 0,? ? 0, | ? |? 7. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?(
图象向右平移 A. y ? sin 2 x C. y ? sin( 2 x ?

?
2

) 的部分图象如图示, 则将 y ? f ( x) 的


? 个单位后,得到图象解析式为( 6
B. y ? cos 2 x

?
3

)
2

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

8 . 已 知 函 数 f (n) ? n cos(n? ) , 且 an ? f ( n) ? f ( n? 1), 则 a1 ? a2 ? a3 ?? ? a1 0 0 ?
1

( A. 0

) B. ?100 C. 100 D. 10200

??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 9. ?ABC 的外接圆的圆心为O,半径为1, 2 AO ? AB ? AC 且 OA ? AB ,则向量 BA 在向

??? ? 量 BC 方向上的投影为(
A.

) C. ?

1 2

B.

3 2

1 2

D. ?

3 2

10. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? () A. ? 1 B. 0

?log2 (1 ? x) , x ? 0 , 则 f (2015 ) 的值为 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) , x ? 0 ,

C. 1

D. 2

11 . 已 知 函 数 f ( x) 在 R 上 满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x 2 ? 8x ? 8 , 曲 线 y ? f ( x) 在 点

(1, f (1)) 处的切线为 l ,点 (an ,2an?1 ) 在 l 上,且 a1 ? 1, 则 a8 ? (
A. ?



7 2

B. ? 4

C. ?

9 2

D. ?

5 2

12.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 3 2 ,存在 x? ? 1 , g ( x) =x -2 bx +4,若对任意 x1 ∈(0,2) 4 4x
) D.[2,+∞)

x 2 ∈[1,2],使 f ( x1 ) )≥ g ( x2 ) ,则实数 b 的取值范围是(
A. (2,

17 ] 8

B.[1,+∞)

C. [

17 , ?? ) 8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.过函数 f(x)= x - 3 x +2x+5 图像上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围 是________________。 14.如图,将全体正整数排成一个三角形数阵:
3 2

根据以上排列规律,数阵中第 n(n ? 3) 行的从左至右的第 3 个数是

2

15.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点(1,0)对 称,若对任意的 x, y ? R ,不等式 f ( x 2 ? 6 x ? 21) ? f ( y 2 ? 8 y) ? 0 恒成立,则

x 2 ? y 2 的取值范围是

。 (写出所有正确命题的序号).

16.在下列命题中,正确命题的序号为 ①函数 f ( x) ? x ?

a ( x ? 0) 的最小值为 2 a ;②已知定义在 R 上周期为 4 的函数 x

f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,则 f ( x) 一定为偶函数;③定义在 R 上的函数 f(x)既是奇
函 数 又 是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 , 则 f(1) + f(4) + f(7)=0④ 已 知 函 数

f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,则 a ? b ? c ? 0 是 f ( x) 有极值的必要不充分条件;⑤已
知函数 f ( x) ? x ? sin x ,若 a ? b ? 0 ,则 f (a ) ? f (b) ? 0 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分。 17.(10 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 (2a ? c) cos B ? b cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为

??? ? ???? 3 3 ,求 BA ? AC 的值. 2

18. (12 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos

2

?x ?

3 (? ? 0 ) ,直线 x ? x1 , 2

x ? x2 是 y ? f ( x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为
(I)求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移

? . 4

? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长 8

为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若关于 x 的方程

? ?? g ( x) ? k ? 0,在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. ? 2?

3

19.(12 分)

已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的

等差中项.(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 若 bn ? an log 2 an ,sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 求 sn ? n ? 2n ?1 ? 50 ? 0 成立的正整数 n 的最小值.

? 20. (12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n n ? N ,且满足an ? S n ? 2n ? 1 .

?

?

(I)求证:数列 ?an ? 2? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (II)求证:

1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? n ? . 2a1a2 2 a2 a3 2 an an?1 3

2 21.(12 分)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (Ⅰ)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x ) 2

在定义域上的单调性; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点;

22. (12 分)已知函数 f ( x) ? ln(e ? a) ( a 为常数)是实数集 R 上的奇函数.
x

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)讨论关于x的方程 ln x ? f ( x)( x2 ? 2ex ? m) 的根的个数.

(Ⅲ)证明:

ln(22 ? 1) ln(32 ? 1) ln(n2 ? 1) 2n2 ? n ?1 ? ? ? ? ? (n ? N * , n ? 2) . 2 2 2 2 3 n 2(n ? 1)

4

河北冀州中学 2015 年---2016 年高三期中考试 高三年级应届数学试题
A 卷: B 卷: ACDBD CCADB CDBAC DCDBD DC BA

理科

13.

14.

n2 ? n ? 6 15. (3,7) 2

16.

②③⑤

17、解(1)∵ (2a ? c) cos B ? b cos C ,由正弦定理得: (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B ?cos C , ∴ 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? sin( B ? C ) ? sin A ∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 ∴B?
?
3

∴ 2 cos B ? 1 , cos B ?

1 2

又0 ? B ??

;??????????????? 5 分
3 3 1 ? 3 3 ,∴ ? 3c sin ? 2 2 3 2
cos A ? 22 ? ( 7) 2 ? 32 2? 2? 7 ?

(2)方法一:∵ a ? 3 , △ ABC 的面积为
b 2 ? 22 ? 32 ? 2 ? 2 ? 3cos

∴c ? 2 ,
7 , 14

?
3

? 7 ,即 b ? 7 ,

??? ? ???? 7 ∴ BA?AC ? bc cos(? ? A) ? 2 ? 7 ? (? ) ? ?1 . ?????????10 分 14

方法二: BA ? AC ? BA( BC ? BA) ? BA ? BC ? BA

??? ? ????

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?2

??? ? ??? ? ??? ?2 1 ? BA ? BC ? cos? BA, BC ? ? BA ? 2 ? 3 ? ? 22 ? ?1 ??????10 分 2
18.解: (Ⅰ)

1 1+ cos 2? x 3 1 3 ? f ( x) ? sin 2? x ? 3 ? ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin(2? x ? ) 2 2 2 2 2 3
由题意知,最小正周期 T ? 2 ?

?
4

?

?
2

,T ?

2? ? ? ? ? ,所以 ? ? 2 , 2? ? 2

5

19.解(1)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,以题意有: 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,得 a3 ? 8

?a ? 32 ?a1q ? a1q 3 ? 20 ?a1 ? 2 ? 1 ? ∴? 解之得: ? 或? 1 2 ? ?q ? 2 ?q ? ?a3 ? a1q ? 8 ? 2
又∵ ?an ? 单调递增,∴ a1 ? 2, q ? 2, ∴ an ? 2n (2) bn ? 2n log 2 2n ? n ? 2n ?????????? 5 分

∴ sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ??? ①

∴ 2 sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ?? ② ∴②-①得: sn ? n ? 2n ?1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2 由 sn ? n ? 2n ?1 ? 50 ? 0 得 ?2n ?1 ? 52 ? 0 ,∴ 2
n ?1
n ?1

?

2(2n ? 1) = ?2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2 2 ?1

>52.

又当 n ? 4 时, 2n ?1 ? 25 ? 32 <52,当 n ? 5 时, 2n ?1 ? 26 ? 64 ﹥52 故使 sn ? n ? 2n ?1 ? 50 ? 0 成立的正整数 n 的最小值为 5 20.(本小题满分 12 分) ????????????12 分

6

, ? ?) , f ?( x) ? 2 x ? 21.解: (Ⅰ)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (?1
设 g ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? b ,其图象的对称轴为 x ? ?

b 2 x2 ? 2 x ? b ? x ?1 x ?1

1 ? (?1, ? ?) , 2

1 ? 1? ? g ( x)max ? g ? ? ? ? ? ? b . 2 ? 2?
当b ?

1 1 时, g ( x )min ? ? ? b ? 0 ,即 g( x ) ? 2 x 2 ? 2 x ? b ? 0 在 (?1 , ? ?) 上恒成立, 2 2

? ?) 时, f ?( x) ? 0 , ? 当 x ? (?1,

?当 b ?

1 , ? ?) 上单调递增.---------4 分 时,函数 f ( x ) 在定义域 (?1 2 1 时,函数 f ( x ) 无极值点. 2
2

(Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当 b ?

1? ? 2? x ? ? 1 1 2? ? ? 0 有两个相同的解 x ? ? , ② b ? 时, f ?( x) ? 2 2 x ?1

7

1? ? ? 1 ? ? x ? ? ?1, ? ? 时, f ?( x) ? 0 , x ? ? ? , ? ? ? 时, f ?( x) ? 0 , 2? ? ? 2 ?
?b ? 1 时,函数 f ( x ) 在 (?1 , ? ?) 上无极值点. 2 1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? , x2 ? , 2 2 2

③当 b ?

? b ? 0 时, x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? 0, 2 2

? b ? 0 时, f ?( x ) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(?1,x2 )
?
?

x2
0
极小值

( x2, ? ?)

?
?

由此表可知: b ? 0 时, f ( x ) 有唯一极小值点 x2 ? 当0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b , 2

1 ?1 ? 1 ? 2b 时, x1 ? ? ?1 ,? x1,x2 ? (?1 ? ?) , 2 2

此时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(?1,x1 )

x1
0
极大值

( x1,x2 )
?
?

x2

( x1, ? ?)

?
?

0
极小值

?
?

由 此 表 可知 : 0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b 时 , f ( x ) 有 一个 极 大 值点 x1 ? 和 一 个 极小值 点 2 2

x2 ?

?1 ? 1 ? 2b ; 2 ?1 ? 1 ? 2b ; 2

综上所述: b ? 0 时, f ( x ) 有唯一极小值点 x ?

0?b?

?1 ? 1 ? 2b 1 ?1 ? 1 ? 2b 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? 和一个极小值点 x ? ; 2 2 2
??12 分

1 b ≥ 时, f ( x) 无极值点. 2
22(Ⅰ)∵ f (?x) ? ? f ( x), ∴ ln(e ? x ? a) ? ? ln(e x ? a) ∴e
?x

?a ?

1 ? a(e ? x ? e x ? a) ? 0 ∴ a ? 0 e ?a
x

-------------2分

8

(Ⅱ) ln x ? x( x 2 ? 2ex ? m) ? 令 h( x) ?

ln x ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 x

ln x ,? ( x) ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 x

h?( x) ?

1 1 ? ln x , ∴ h( x) 在(0, e )上递增, (e,??) 上递减,∴ h( x) ma x ? h(e) ? 2 e x

? ( x) 为二次函数在(0, e )上递减, , (e,??) 上递增,∴ ? ( x) min ? m ? e 2
故m ?e ?
2

1 1 1 1 2 2 2 即: m ? e ? ,无解; m ? e ? 即: m ? e ? ,有一解 e e e e
1 e
即: m ? e ?
2

m ? e2 ?

1 ,有二解 e

???????????????7分
2

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知当 m ? e2 ? 1 时 ? ( x) ? ( x ? e)2 ? 1, ? ( x)min ? m ? e ? 1 ,此时

? ( x)min ? h( x)max 恒成立,
∴ h( x) ? ? ( x)min ? 1 ,即

ln x ? 1 , ln x ? x 恒成立, x

∴当 n ? 2 时有 ln(n2 ?1) ? n2 ?1 ∴

ln(n 2 ? 1) n 2 ? 1 1 ? 2 ? 1? 2 2 n n n

ln(22 ? 1) ln(32 ? 1) ln(n 2 ? 1) 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ( 2 ? ? ? 2 ) 2 2 2 2 3 n 2 n 1 1 1 1 1 ? (n ? 1) ? ( ? ?? ) ? (n ? 1) ? ( ? ) 2 ? 3 3? 4 (n ? 1)n 2 ( n ? 1) ? 2n 2 ? n ? 1 2(n ? 1)
??????????12

9


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