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盐城中学2013-2014学年高二下学期期中考试 数学(文)


江苏省盐城中学 2013—2014 学年度第二学期期中考试 高二年级数学(文科)试题(2014.04)
命题人:盛冬山 尹震霞 高考资源网 试卷说明:本场考试时间 120 分钟,总分 150 分. 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写 在答题纸的指定位置上) 1.命题“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ?

0 ”的否定是 ▲ . ▲ ▲ . . 审核人:徐瑢

2.在区间 [0,4] 上任取一个实数 x ,则 x ? 1 的概率是

2, 4} , B ? {2 , 4, 6} ,则 A ? B ? 3.已知集合 A ? {1,
4.函数 f ( x) ?

1 x ?1

的定义域为





5.已知甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8 、 0 .6 、 0.5 ,则三 人都达标的概率是 ▲ .

6.已知 A 为函数 f ( x) ? x 4 ? x 图像上一点,在 A 处的切线平行于直线 y ? 5 x ,则 A 点坐 标为 ▲ .

7.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x( x ? 0) 1 , 则 f [ f ( )] 的值是 x 4 ? 3 ( x ? 0)





8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 y ? 3x 是双曲线 双曲线的离心率为 ▲ .

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程,则此 a2 b2

9.若集合 M ? a ? 3,2a ? 1, a 2 ? 4 ,且 ? 3 ? M ,则实数 a 的取值是

?

?





10.函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x) 在 ? ??,0? 上是减函数,若 f ( ) ? 2 , 则满足不等式 f ( x) ? 2 的 x 的范围为 ▲ . ▲ .

1 3

11.若函数 f ( x) ? x ? a 在区间 ?? ?, 1?内为减函数,则 a 的范围是

12.已知 p : x ? a ? 4 ; q : ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 ,若 q 是 p 的充分条件,则 a 的取值范围为 ▲ .
2

13 .圆心在抛物线 x ? 4 y 上,并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程为
1





14.设函数 f ( x) ? a 2 ln x ? x2 ? ax , a ? 0 ,不等式 e ? 1 ? f ( x) ? e2 对 x ? [1, e] 恒成立, 则 a 的取值集合是 ▲ .

二、解答题:(本大题共 6 小题,计 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.将一颗正方体的骰子先后抛掷 2 次(每个面朝上等可能) ,记下向上的点数,求: (1)求两点数之和为 5 的概率; ( 2 )以第一次向上点数为横坐标 x ,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点 ( x , y ) 在圆

x2 ? y 2 ? 15 的内部的概率.

16. 设p: 函数 y ? (a ? 1) x ? 1在 x ? (??, ? ?) 内单调递减;q : 曲线 y ? x 2 ? ax ? 1 与 x 轴交于不同的两点. (1)若 p 为真且 q 为真,求 a 的取值范围; (2)若 p 与 q 中一个为真一个为假,求 a 的取值范围.

17. 二次函数 y ? f ( x) 的最小值等于 4,且 f (0) ? f (2) ? 6 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) 的定义域为 [?1,4] ,求 f ( x) 的值域; (3)若函数 f ( x) 的定义域为 [a, a ? 1] , f ( x ) 的值域为 [12,22] ,求 a 的值.

2

18.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x (单 位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数,已知销售价 x?3

格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. ⑴求 a 的值; ⑵若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的 利润最大.

19.已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率 e ? , A, B 是椭圆上 2 a b 2

的两动点,动点 P 满足 OP ? OA ? ?OB , (其中实数 ? 为常数). (1)求椭圆标准方程; (2)当 ? ? 1 ,且直线 AB 过 F 点且垂直于 x 轴时,求过 A, B, P 三点的外接圆方程; (3)若直线 OA 与 OB 的斜率乘积 kOA ? k OB ? ?

1 ,问是否存在常数 ? ,使得动点 P 满足 2

PG ? PQ ? 4 , 其中 G(? 2,0), Q( 2,0) , 若存在求出 ? 的值, 若不存在, 请说明理由.
y

O

F

x

3

20.已知函数 f ( x) ? (2 ? a)(x ? 1) ? 2 ln x .( a 为常数) (1)当 a ? 0 时,①求 f ? x ? 的单调增区间;②试比较 f ( m) 与 f (

1 ) 的大小; m

( 2 ) g( x) ? ex ? x ?1 ,若 对任意 给定的 x0 ? ? 0,1? , 在 ? 0, e? 上 总存在 两个不同 的

xi (i ? 1, 2) ,使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

4

盐城中学 2013-2014 学年高二年级期中考试 数学(文科)答题纸 2014、04
一、填空题(14×5=70 分) 1、 ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 3、 ?2,4? 5、 0.24 7、 2、

3 4

4、 (?1,??) 6、 (1,2) 8、 2 10、 ( ?? ,? ) ? ( ,?? ) 12、 ? 1 ? a ? 6
2 2

1 9

9、 ?0,?1? 11、 a ? 1 13、 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4

1 3

1 3

14、 ?e?

二、解答题(共 80 分) 15、(12 分) 将一颗骰子先后抛掷 2 次,此问题中含有 36 个等可能基本事件 (1)记“两数之和为 5”为事件 A,则事件 A 中含有 4 个基本事件, 所以 P(A)=

4 1 ? ; 36 9 1 . 9

答:两数之和为 5 的概率为
2 2

(2)点(x,y)在圆 x +y =15 的内部记为事件 C,则 C 包含 8 个事件 所以 P(C)=

8 2 ? . 36 9
2 2

答:点(x,y)在圆 x +y =15 的内部的概率

2 . 9

5

16、(12 分) 解: p 真: a ? 1 ? 0, a ? 1;

q 真: a 2 ? 4 ? 0, a ? 2 或 a ? ?2
(1) p 真 q 真 ? (2) p 真 q 假

?a ? 1 所以 a ? ?2 ?a ? 2或a ? ?2

?a ? 1 所以 ? 2 ? a ? 1 ; ? ?? 2 ? a ? 2
p 假q 真

?a ? 1 所以 a ? 2 ? ?a ? 2或a ? ?2
综上 ? 2 ? a ? 1 或 a ? 2

6

17、(13 分) (1) f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 6 ; (2)对称轴 x ? 1 所以 x ? 1, f ( x) min ? f (1) ? 4 ; x ? 4, f ( x) max ? f (4) ? 22 所以 f ( x) 的值域 [4,22] ; (3)① a ? 1

f (a) ? 6 解得 a ? 3 ; f (a ? 1) ? 22
②a ? 0

f (a) ? 22 解得 a ? ?2 f (a ? 1) ? 6
综上 a ? 3 或 a ? ?2

座位号
7

18、(13 分)

a ? 10 ? 11 ? a ? 2 ; 2 2 ? 10( x ? 6) 2 ,所以商场 (2)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量 y ? x?3
解:(1)因为 x ? 5 时 y ? 11 ,所以 每日销售该商品所获得的利润:

f ( x) ? ( x ? 3)[


2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 x ?3

f / ( x) ? 10[( x ? 6)2 ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6) ,
补充说明:也可 f ( x) ? a ? 10( x 3 ? 15x 2 ? 72x ? 108 ) 进而多项式 求导 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 4 函数 f ( x ) 在 (3,4) 上递增,在 ( 4,6) 上递减,所以当 x ? 4 时函数

f ( x) 取得最大值 f (4) ? 42

8

?c ? 1 ? 19 、( 15 分)解:( I)有题设可知: ? c 2 ∴a ? 2 ? ? 2 ?a
b2 ? a 2 ? c 2 ,∴ b2 ? 1 ,∴椭圆标准方程为



x2 ? y2 ? 1 2

(2)由题意可求 A(1,

2 2 ), B(1,? ), P(2,0) 2 2

设圆的方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 A, B, P 三点代入求 出

5 5 D ? ? , E ? 0, F ? 1 ,所以圆的方程是 x 2 ? y 2 ? x ? 1 ? 0 2 2
(3)设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 则由 OP ? OA ? ?OB 得 (x,y)=(x1,y1)+ ? (x2,y2)=(x1+ ? x2,y1+ ? y2),即 x=x1+ ? x2, y=y1+ ? y2. 因为点 A、B 在椭圆 x2+2y2=2 上,
2 2 2 2 所以 x2 x2 故 x2+2y2=(x2 1+2y1=2, 2+2y2=2, 1+ ? x2+2 ? x1x2)+2(y1+
2 2 2 2 2 ? 2 y2 (x2 2+2 ? y1y2)=(x1+2y1)+ ? 2+2y2)+2 ? (x1x2+2y1y2)

=2+2 ? +2 ? (x1x2+2y1y2).
2

设 kOA,kOB 分别为直线 OA,OB 的斜率, y1y2 1 由题设条件知 kOA· kOB= =- ,因此 x1x2+2y1y2=0, x1x2 2 2y2 = 2 + 2 ?
2

所以 x2+

. 即

x2 y2 ? ?1 所 以 P 点 是 椭 圆 2 ? 2? 2 1 ? ? 2

x2 y2 ? ? 1 上的点, 2 ? 2? 2 1 ? ? 2
设该椭圆的左、右焦点为 G, Q , ,则由椭圆的定义 PG ? PQ ? 4 为定 值. 所以 4 ? 2 2 ? 2? 2 ,? ? ? ?1 ,因此两焦点的坐标为 G (- 2 , 0), Q( 2,0)

? ? ? ?1 使得 PG ? PQ ? 4

9

20、 (15 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时,① f ( x) ? 2 x ? 2 ? 2ln x( x ? 0)

2 . x ? (1, ??) 时 f ' ( x) ? 0 f ( x) 的 增 区 间 (1,??) x 1 2 1 2 ② f (m) ? 2m ? 2 ? 2ln m f ( ) ? ? 2 ? 2 ln ? ? 2 ? 2 ln m m m m m 1 2 记 h( m) ? f ( m) ? f ( ) = 2m ? ? 4 ln m m m 2 2 4 2m ? 4m ? 2 2(m ? 1) 2 h ' ( m) ? 2 ? 2 ? ? ? 0 所 以 h( m) 在 = m m m2 m2 (0, ??) 上单调递增,又 h(1) ? 0 ,所以 (0,1) 时 h(m) ? 0 , (1, ??) 时 h(m) ? 0 所以 1 1 m ? (0,1) f (m) ? f ( ) ; m ? (1, ??) f (m) ? f ( ) ; m ? 1 m m 1 f ( m) ? f ( ) m ' x ' (2)∵ g ( x) ? e ?1 ,当 x ? ? 0,1? , g ( x) ? 0 ,∴函数 g ( x) 在区
则 f ( x) ? 2 ?
'

间 ? 0,1? 上是增函数。∴ g ( x) ? ? 2, e?

当 a ? 2 时 , f ( x) ? ?2ln x , 不 符 题 意 当 a ? 2 时 ,

f ' ( x) ?? 2 ? a ? 0?

2 ?e 2?a 2 ( , e], f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 先减后增 2?a 2 ? )?2 2 ?f( ? 2 ② (2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? e ③ 所以 ? 2 ? a 即 a ? 2 ln 2?a ? ? f (e ) ? e
令 h(a ) ? a ? 2 ln 令

2 (2 ? a) x ? 2 ? 由题意有 f ( x ) 在 ? 0, e? 上不单调 x x 2 2 a ? 2? (0, ), f ' ( x) ? 0, ∴ ① e 2?a

2 2 , a ? ( ??, 2 ? ) 2?a e

2 2 = t , t ? (0, e) , 所 以 h(a) ? r (t ) ? 2 ? ? 2 ln t , t 2?a 2 2 2(1 ? t ) r ?(t ) ? 2 ? ? 所 以 t ? (0,1) , r (t ) 单 调 递 增 ; t t t2 t ? (1, ??) , r (t ) 单调递减,所以 r (t ) ? r (1) ? 0 ? 2 所以对任意的 2 a ? (??, 2 ? ) , h(a) ? 2 e 4?e 4?e? ? 由③得 a ? ④,由①④当 a ? ? ??, ? 时,在 ? 0, e? 上总存 1? e 1? e ? ? 在两个不同的 xi (i ? 1, 2) ,使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立

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