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等比数列课件


(人教A版必修5)

等 比 数 列

主讲人:吴静 数统学院

知识回顾
1.数列的概念: 按照一定顺序排列着的一列数叫做数列

2.等差数列: 如果一个数列从第2项起,每一项与它前 一项的差等于同一个常数,那么这个数列 叫做等差数列,常数就做等差数列的公差

1.

经过n天之后巨人树的枝干是多少? 2.n次之后黑色三角形的个数是多少?

问题:大树枝干数目变化的规律和黑色

三角形数目变化的规律有什么相同之处
an ?1 ? 2 巨人树枝干的数目与时间的关系式: an

黑色三角形数目与试验此次的关系式: an ?1

an
相同之处:
an ?1 ?q (q为一个非零常数) an

?3

等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它 的 前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比。

an?1 ?an ? 是等比数列 ? ? q(q为常数,n ? N * ) an

注意:等比数列的公比q不能为零

思考探究
假设q可以等于0,那么

a2 ?q?0 a1
那么

a2 ? 0

a3 那么 就没有意义了 a2 这和等比数列的定义相矛盾
假设不成立 故q不可以等于0

概念巩固
第一题:判断一下 (1)已知一个数列有若干项与它的前一项的比等于 同一个常数,则这个数列是等比数列。 (2)已知一个数列从第2项开始,它的每一项与前一 项的比等于常数,则这个数列是等比数列。 第二题:观察数列,并求数列的公比 (1)8,16,32,64,128, 256,`````` q=2

(2)1, ?1,1, ?1,1,`````` (3)m, m2 , m3 , m 4 , m5 ,````` (4)2 , 2 , 2 , 2 ,``````
?
2? 3? 4?

q=-1 m=0,不是等比数列;m ? 0 ,q=m. q= 2?

问题: 已知两个非零实数a、b,现在在a和b之间插入一个 数G,使得a、G、b三个数构成等比数列,求G。

解:a、G、b三个数构成等比数列,则

G b ? q且 ? q, a G

G b ? 即 a G
那么

G 2 ? ab

等比中项的定义 类似于等差中项,如果在a和b中间插入一个数G, 使得a,G,b成等比数列,那么G叫做a和b的等比中项。

数G是a、b的等比中项? G 2

? ab 或 G ? ? ab

注意:等比中项有两个(一正一负)

动手练练
一个等比数列的第3项和第4项分别是12和 18,求数列的公比q、数列的第2项和第5项。 解法一:由题意可知 解法二:分析题意可知

a3 ? 12, a4 ? 18
那么 q ?
a4 18 3 ? ? a3 12 2

a3 , a4 分别是 a2 , a4 a3 , a5 的等比中项
那么
2 a3 ? a2 ? a4



a3 a4 a5 3 ? ? ?q? 又知 a2 a3 a4 2
由此等式可得

2 a4 ? a3 ? a5 由此可得 a2 ? 8, a5 ? 27

a2 ? 8, a5 ? 27

a4 18 3 q? ? ? a3 12 2

思考:已知等比数列 ?an ?
2 a5 ? a3 ? a7 是否成立?为什么? ①
2 ② an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) 是否成立?你据此得到什么结论
2 ③ an ? an?k ? an?k (n ? k ? 0)是否成立?你据此得到什么结论

作业:课后习题1.2.6题

谢谢大家


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