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第一章 三角函数 单元测试 1(人教A版必修四)


第一章 三角函数 单元测试 1(人教 A 版必修四)
第Ⅰ卷(选择题,60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. sin(x+ A.-sinx C.cosx 解析:由诱导公式知选 C. 答案:C 2.已知 P(- 3,y)为角 β 的终边上的一点,且 sinβ = ( ) A.

± C.- 1 2 1 2 B. 1 2 13 ,则 y 的值为 13 π )=( 2 ) B.sinx D.-cosx

D.±2

解析:由题意得 r= 3+y2,sinβ = = B. 答案:B 3.下列等式成立的是( A.sin π 1 = 3 2 7π 1 )= 6 2 )

y r

y
3+y
2



13 1 ,解得 y= ,故选 13 2

B.cos D.tan

5π 1 =- 6 2 2π = 3 3

C.sin(- 解析:sin sin(-

π 3 5π 3 2π = ,cos =- ,tan =- 3, 3 2 6 2 3

7π 1 )= . 6 2

答案:C 4.已知扇形的半径为 r,周长为 3r,则扇形的圆心角等于( )

A.

π 3

B.1 D.3

2 C. π 3

解析:弧长 l=3r-2r=r,则圆心角= =1. 答案:B 5.函数 y=tan(x- π )的定义域是( 3 )

l r

5π A.{x∈R|x≠kπ + ,k∈Z} 6 5π B.{x∈R|x≠kπ - ,k∈Z} 6 5π C.{x∈R|x≠2kπ + ,k∈Z} 6 5π D.{x∈R|x≠2kπ - ,k∈Z} 6 解析:根据正切函数的定义域,令 x- 答案:A 6.下列各式中,值为正数的是( A.cos2-sin2 C.sin2·tan2 ) B.tan3·cos2 D.cos2·sin2 π π ≠kπ + (k∈Z),即得结论. 3 2

解析: 2 弧度和 3 弧度的角都是第二象限角,∴ tan3<0 , cos2<0 ,得 tan3·cos2>0,故选 B. 答案:B 7.已知 sinθ = 确的是( ) B.m∈(-∞,5)∪[3,+∞) D.m=8

m-3 4-2m π ,cosθ = ,其中 θ ∈[ ,π ],则下列结论正 m+5 m+5 2

A.m∈[3,9] C.m=0 或 m=8 解析:由 sin2θ +cos2θ =1,得(

m-3 2 4-2m 2 ) +( ) =1,解得 m=0 或 m=8, m+5 m+5

又 θ ∈[

π ,π ],sinθ >0,舍去 m=0,选 D. 2

答案:D 8.将函数 y=cosx 的图象上所有点向左平移 π 个单位,再把所得图象上各 3 )

点横坐标扩大到原来的 2 倍,则所得到的图象的解析式为(

x π A.y=cos( - ) 2 3 x π C.y=cos( + ) 2 3

x π B.y=cos( + ) 2 6
D.y=cos(2x+ π ) 3

答案:C 9.函数 y=sin( A.[kπ - π -2x)的单调递减区间是( 4 )

π 3π ,kπ + ](k∈Z) 8 8 3π 7π ,2kπ + ](k∈Z) 2 8

B.[2kπ + C.[kπ +

3π 7π ,kπ + ](k∈Z) 8 8 π 3π ,2kπ + ](k∈Z) 8 8 π π π -2x)=-sin(2x- ),要求的单调递减区间即解- + 4 4 2

D.[2kπ -

解析:y=sin( 2kπ ≤2x-

π π π 3π ≤ +2kπ ,所以 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z). 4 2 8 8

答案:A 10.已知 f(x)=cos2x-1,g(x)=f(x+m)+n,则使 g(x)为奇函数的实数

m,n 的可能取值为(
A.m= π ,n=-1 2

) B.m= π ,n=1 2

C.m=-

π ,n=-1 4

D.m=-

π ,n=1 4

解析:显然 n=1, ∴g(x)=cos(2x+2m). ∵g(x)为奇函数,∴cos2m=0. ∴2m=kπ + π (k∈Z). 2

经检验 D 符合条件. 答案:D 11.已知函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的一部分图象如右图所示(A>0,ω >0, |φ |< π ),则函数表达式为( 2 )

1 5π A.y=2sin( x+ )+2 2 12 B.y=2sin(2x+ C.y=4sin(2x+ D.y=4sin(2x+ π )+2 6 5π )+2 12 π )+2 6

?-A+b=0, ?2π 5 π 解析:由题图可得? = π- ω 12 6 ?ω ·π +φ =π . ? 6 2
A+b=4,
解得 A=2,b=2,ω =2,φ = 答案:B π ,选 B. 6



12.关于函数 f(x)=2sin(3x- ①其最小正周期为 2π ; 3

3π ),有下列四个命题: 4

②其图象由 y=2sin3x 向左平移

π 个单位长度而得到; 4 3π ); 4

③其表达式可写成 f(x)=2cos(3x+ ④在 x∈[

π 5π , ]上为单调递增函数. 12 12 ) B.②③④ D.①②③ 2π 2π = ,∴①正确. ω 3 π 个单位长度得到 4

则其中真命题为( A.①③④ C.①②④ 解析:对于①,T=

对于②,把 y=2sin3x 向左平移

y = 2sin3(x +
π ),∴②错误.

π 3 3 5 ) = 2sin(3x + π ) = 2sin(3x + π - 2π ) = 2sin(3x - 4 4 4 4

3 π 3 5 对于③,f(x)=2sin(3x- π )=2cos[ -(3x- π )]=2cos( π -3x)= 4 2 4 4 5 5 3 2cos(3x- π )=2cos(3x- π +2π )=2cos(3x+ π ),∴③正确. 4 4 4 对于④,令 2kπ - 解得 π 3 π ≤3x- π ≤2kπ + (k∈Z). 2 4 2

2kπ π 2kπ 5 + ≤x≤ + π (k∈Z),当 k=0 时, 3 12 3 12

π 5π ≤x≤ ,故④正确. 12 12 答案:A 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横 线上)

13.sin(-

π 5 2 )+2sin π +3sin π 的值等于 0. 3 3 3 π π π +2sin(2π - )+3sin(π - ) 3 3 3

解析:原式=-sin =-sin =-sin =0.

π π π +2sin(- )+3sin 3 3 3 π π π -2sin +3sin 3 3 3

14.若函数 y=2tan(2ax- 5 ± . 2 解析:由

π π )的最小正周期为 ,则 a= 5 5

π π 5 = ,得 2a=±5,∴a=± . |2a| 5 2 π π ,π ]上的递增区间为[ ,π ]. 2 2 π , π ]上的增区间即 y=sinx 在[- 2

15.函数 y=sin(x+π )在[-

解析: ∵y=sin(x+π )=-sinx 在[- π π ,π ]上的减区间[ ,π ]. 2 2 16.关于函数 f(x)=4sin(2x+

π )(x∈R)有下列命题,其中正确的是①②. 3 π ); 6

①y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x- ②y=f(x)的图象关于点(- π ,0)对称; 6

③y=f(x)的最小正周期为 2π ; ④y=f(x)的图象的一条对称轴为 x=- 解析:4sin(2x+ 4sin[2×(- π . 6

π π π π π )=4sin[ +(2x- )]=4cos(2x- ),又 f(- )= 3 2 6 6 6

π π )+ ]=4sin0=0,故①②正确,③④错误. 6 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 3 17.(10 分) tan - 20 π 3 13 35 π ·tan(- π ). 4 4

11 π 3

-cos

4 3sin π 3 π π 解:原式= +cos tan 5 4 4 tan π 3 =- 3·sin π ·( 3 1 -tan π 3 )+cos π π tan 4 4

=- 3× =

3 3 2 ×(- )+ ×1 2 3 2

3 2 3+ 2 + = . 2 2 2

18.(12 分)已知 tanθ =-3 求: (1) sinθ +2cosθ ; cosθ -3sinθ

(2)sin2θ -sinθ ·cosθ 的值. 解:(1)原式= =- 1 . 10 tanθ +2 -3+2 = 1-3tanθ 1-3× -3

sin2θ -sinθ ·cosθ (2)原式= 1 = = sin2θ -sinθ cosθ tan2θ -tanθ = sin2θ +cos2θ tan2θ +1 -3 - -3 -3 2+1
2



9+3 6 = . 9+1 5

19.(12 分)已知 tanθ +sinθ =a,tanθ -sinθ =b,求证:(a2-b2)2= 16ab. 证明:∵(a2-b2)2=(a+b)2(a-b)2=16tan2θ sin2θ .



16ab = 16(tan θ

2

- sin θ ) = 16·

2

sin2θ

1-cos2θ cos2θ



sin2θ sin2θ 16· =16·tan2θ sin2θ . cos2θ 故有(a2-b2)2=16ab. 1 π 20.(12 分)已知函数 f(x)=3sin( x+ )-1,x∈R,求: 2 4 (1)函数 f(x)的最小值及此时自变量 x 的取值集合; 1 π (2)函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到函数 f(x)=3sin( x+ )-1 2 4 的图象? 解:(1)函数 f(x)的最小值是 3×(-1)-1=-4, 1 π π 此时有 x+ =2kπ - , 2 4 2 解得 x=4kπ - 3π (k∈Z), 2 3π , 2

即函数 f(x)的最小值是-4,此时自变量 x 的取值集合是{x|x=4kπ -

k∈Z}.
(2)步骤是: ①将函数 y=sinx 的图象向左平移 的图象; ②将函数 y=sin(x+ π )的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐 4 π π 个单位长度,得到函数 y=sin(x+ ) 4 4

1 π 标不变),得到函数 y=sin( x+ )的图象; 2 4 1 π ③将函数 y=sin( x+ )的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐 2 4 1 π 标不变),得到函数 y=3sin( x+ )的图象; 2 4 1 π 1 ④将函数 y=3sin( x+ )的图象向下平移 1 个单位长度, 得函数 y=3sin( 2 4 2

x+ )-1 的图象.
1 π 21.(12 分)求函数 y= tan(5x+ )的定义域,单调区间及对称中心. 2 4 解:由 5x+ π π kπ π ≠kπ + ,k∈Z,得 x≠ + ,k∈Z. 4 2 5 20

π 4

1 π 所以函数 y= tan(5x+ )的定义域为 2 4 {x|x≠ 由- 得


5



π ,k∈Z}. 20

π π π +kπ <5x+ < +kπ ,k∈Z, 2 4 2 - 3π kπ π <x< + ,k∈Z. 20 5 20


5

1 π 所以函数 y= tan(5x+ )的单调区间为 2 4 (


5



3π kπ π , + ),k∈Z. 20 5 20 π kπ kπ π = ,k∈Z,得 x= - ,k∈Z. 4 2 10 20

由 5x+

1 π kπ π 所以函数 y= tan(5x+ )的对称中心为( - ,0),k∈Z. 2 4 10 20

22.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(x∈R,ω >0,0<φ < 象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f(x- π )的单调递增区间. 4

π )的部分图 2

解:(1)由题图象知,周期 T=2( 因为点( φ )=0. 又因为 0<φ <

11π 5π 2π - )=π ,所以 ω = =2. 12 12 T

5π 5π 5π ,0)在函数图象上,所以 Asin(2× +φ )=0,即 sin( + 12 12 6

π 5π 5π 4π 5π π ,所以 < +φ < ,从而 +φ =π ,即 φ = . 2 6 6 3 6 6 π =1,A=2. 6 π ). 6

又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin

故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ (2)g(x)=2sin[2(x- 由 2kπ -

π π π )+ ]=2sin(2x- ), 4 6 3

π π π π 5π ≤2x- ≤2kπ + ,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z.所以 2 3 2 12 12 π 12 5π ],k∈Z. 12

g(x)的单调递增区间是[kπ - ,kπ +


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