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厦门市2012-2013学年高二上质检数学理科word版(含答案)


厦门市 2012~2013 学年(上)高二质量检测

数学(理科)试卷
试卷分 A 卷和 B 卷两部分.满分为 150 分,考试时间 120 分钟

A 卷(共 100 分)
一、 选择题: 本题共 10 个小题, 每小题 5 分, 50 分. 共 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的. 在 答题卷上相应

题目的答题区域内作答. 1.命题 P : ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0 ,则命题 P 的否定是(
2



A. ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0
2

D.不存在 x ? R, x ? 3x ? 2 ? 0
2

2.在 ?ABC 中,已知 a ? 3 2 , b ? 3, A ? 45 ? ,则 B ? ( A. 30? B. 60? C. 30? 或 150 ?



D. 60? 或 120 ? )

3.已知平面 ? 的一个法向量是 (1,?3, ? ) ,平面 ? 的一个法向量是 (2,4 ? 5) ,若 ? ? ? ,则实数 ? 的值是( A. ? 2 4.椭圆 B.2 C.3 D. ? 4 )

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值是( 4 a a 2

1 1 B.1 或 ? 2 C.1 或 D.1 2 2 5.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式不成立的是( ) 1 1 2 2 2 A. ? B. ab ? b C. a ? b ? 2ab a b
A. 6.设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2(an ? 1) ,则 a n ? ( A. 2n B. 2n ? 1 ) C. 2
n

D. 2 ? 2
a

b



D. 2 ? 1
n

7.下列命题中,真命题是( A. ?x ? R, sin x ? ?2

B.命题“若 x ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题
2

C.命题“若 a ? 2 ,则函数 f ( x) ? a 在 R 上是增函数”的逆命题
x

D.若 lg a, lg b, lg c 成等差数列,则 a, b, c 成等比数列

? 8 . 如 图 , 在 平 行 六 面 体 A B C D A1B1C1D1 中 , 点 M 为 A1C1 与 B1 D1 的 交 点 , 若
A1 B1 ? a, A1 D1 ? b, A1 A ? c , N 在 BM 上, BN ? 2 NM , 点 且 则向量 AN 等于 (
1



A. a ?

1 3

2 2 b? c 3 3
n

B.

2 1 2 a? b? c 3 3 3

C.

2 1 2 a? b? c 3 3 3

D. a ?

1 3

2 2 b? c 3 3


9.已知集合 An ? {x | 2 ? x ? 2 A.39 B.133

n?2

, x ? 3m ? 1, m ? N } ,则 A3 中所有元素的和是(
D.500 )

C.164

10.已知 x ? 0, y ? 0, x ? 3 y ? 3xy ? 8 ,则 x ? 3 y 的最小值是( A.

11 2

B.5

C.

9 2

D.4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 11.设数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ?1 ? an ? n ,则数列 {a n } 的通项公式 a n ? 12.在平面直角坐标系中,点 P(t ,1) 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的上方,则 t 的取值范围是 13.已知条件 q : 5 x ? 6 ? x ,如果 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,那条件 p 可以是
2

(只需写出满足要求的一

个条件即可) 14.已知 F 是双曲线 最小值为 三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答 题区域内作答. 15. (本小题满分 10 分)如图,直线 l : 2 x ? y ? 4 ? 0 与抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 相交于 A 和 B 两点,其中 A 点
2

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,点 P 是双曲线右支上的动点,点 A(2,4) 是一定点,则 | PF | ? | PA | 的 16 9

的坐标为 (1,2) . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设抛物线 C 的焦点为 F ,求 | FA | ? | FB | 的值.

2

16. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC, ?BAD ? 90?, SA ? 底面

ABCD , BC ? 1, SA ? AB ? 2, AD ? 3, E 为 SC 的中点.
(Ⅰ)证明: SB ? DE ; (Ⅱ)求二面角 S ? CD ? A 的余弦值.

17 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 ?ABC 是 锐 角 三 角 形 , 它 的 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 满 足 (

b2 ? a 2 ? c 2 ? 4bc cos2 B ,且 b ? c .
(Ⅰ)求证: A ? 2B ; (Ⅱ)若 b ? 1,试求 ?ABC 周长的取值范围.

B 卷(共 50 分)
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答. 18.如图,正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 互相垂直,且 AC ? BC, AC ? BC ,则直线 AB 与平面 BCE 所 成角的大小为

3

?x ? 0 ? 19.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,表示的区域记为 M , N 为直角坐标平面 xOy 内的一个区域, ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
点 P( x, y ) 位直角坐标平面 xOy 内一点.若“点 P? M ”是“点 P? N ”的充分条件,则区域 N 面积的最小值 为 20. 如图, OA, OB 为直径的两圆与抛物线 y ? 4 x 分别交于除 O 外的 A, B 两点 O 为坐标原点) 且 OA ?OB ? 0 , 以 ( ,
2

记这两圆除 O 外的另一个交点为 P ,则 P 的轨迹方程是 21.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若

a 2b sin( A ? B) 的值等于 ? ? 3 cosC ,则 b a sin C

五、解答题:本大题共 3 小题,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卷上相应题目的答题区域内 作答. 22. (本小题满分 10 分)已知椭圆焦点 F (0, c) 与短轴的两个端点连线互相垂直,且焦距为 2. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)点 C 在直线 l : y ? x ? 2 2 上,直线 l ? // l ,且与椭圆交于 A, B 两点,当 ?ABC 时等边三角形时,求直线 l ? 的 方程.

23. (本小题满分 12 分)某开发商投资 72 万元在某小区建一个超市,第一年共支出 12 万元,以后每年支出增加 4 万元, 从第一年起每年超市利润 50 万元, f (n) 表示前 n 年的纯利润总和 f (n) ? 前 n 年的超市总利润—前 n 设 ( 年的总支出—投资额) . (Ⅰ)该厂从第几年开始盈利? (Ⅱ)若干年后,开发商为开发新项目,对该超市有两种处理方案: ①年平均纯利润达到最大时,以 48 万元出售该超市; ②纯利润综合达到最大时,以 16 万元出售超市. 问哪种方案更合算?

4

* 24. (本小题满分 12 分)对于给定数列 {cn } ,如果存在实常数 p, q ,使得 cn ?1 ? pcn ? q 对于任意 n ? N 都成立,称

数列 {cn } 是“ M 类数列” . (Ⅰ)若 an ? 2n ? 1, bn ? 2 ? 3 , n ? N ,数列 {an }, {bn } 是否为“ M 类数列”?若是,指出它对应的常数 p, q ;若
n *

不是,请说明理由; (Ⅱ)若数列 {a n } 满足 a1 ? 2, an ? an ?1 ? 3t ? 2 (n ? N ) , t 为常数.
n *

①求数列 {a n } 前 2013 项的和 ②是否存在实数 t ,使得数列 {a n } 是“ M 类数列” ,若存在,求出 t ;若不存在,请说明理由.

5

厦门市 2012-2013 学年(上)高二质量检测

数学(理科)试题参考答案
A 卷(共 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5:BAADB 6-10:CDBCD 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

n ?n 12. (?3, ??) ?1 2 三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 15. (本题满分 10 分)
2

11.

13. p : x ? A , (2,3) ? A

14. 13

解: (Ⅰ)? A ?1, 2 ? 在抛物线 C 上, ? 2 ? 2 p ,? p ? 2 。 ┄┄┄┄┄┄┄┄3 分
2

?抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 (Ⅱ)直线 l 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0
联立 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0
2 ? y ? 4x

消去 y ,得 x ? 5 x ? 4 ? 0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
2

解法一:解得, x1 ? 1, x2 ? 4 又焦点为 F (1,0) ,

? B( 4 ? 4 ) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 ,

? FA ? FB ? 2 ? (4 ? 1) 2 ? (?4) 2 ? 7 。┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分
解法二:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 5 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 又 抛物线 C 准线方程为 x ? ?1

? FA ? FB ? ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 ? 7 。 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 z
16. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) SA ? 面 ABCD , ?BAD ? 90 ,
0

S

E

建立空间直角坐标系 A ? xyz ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

A

D

y

BC ? 1 , SA ? AB ? 2 , AD ? 3 ,
B C

S (0,0,2), B(2,0,0), C (2,10), D(0,3,0)
则 E (1,

x ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

1 5 ,1) , SB ? (2,0,?2), DE ? (1,? ,1) 2 2 5 SB ? DE ? 2 ? 1 ? 0 ? (? ) ? (?2) ? 1 ? 0 2
?

? SB ? DE ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
(Ⅱ)设面 SDC 的法向量为 m ? ( x0 , y 0 , z 0 ) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

SC ? (2,1,?2), CD ? (?2,2,0)

6

? ?SC ? m ? 0 ?2 x 0 ? y 0 ? 2 z 0 ? 0 ? 即? ? ? ?? 2 x 0 ? 2 y 0 ? 0 ?CD ? m ? 0 ? ? 3 取 x0 ? 1 得面 SDC 的一个法向量为 m ? (1,1, ) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 2
又面 ACD 的一个法向量为 AS ? (0,0,2)

? ? AS ? m 3 3 17 cos ? AS , m ?? ? ? 17 ? 17 AS ? m

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分

?二面角 S ? CD ? A 的余弦值为
17. (本小题满分 12 分)

3 17 17

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

解: (Ⅰ)? b ? a ? c ? 4bc cos B ? a ? c ? b ? 4bc cos B
2 2 2 2 2 2 2 2

由余弦定理有 a ? c ? b ? 2ac cos B ,
2 2 2

∴ 2ac cos B ? 4bc cos B , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分
2

?ABC 是锐角三角形, cos B ? 0 , ∴ a ? 2b cos B ∴ sin A ? 2sin B cos B ,得 sin A ? sin 2B ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ∴ A ? 2B 或 A ? 2B ? ? , ∵ b ? c ,即 B ? C ,∴ A ? 2B ? ? 舍去, ? A ? 2B (没有讨论扣 1 分) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
(Ⅱ)若 b ? 1,

a b ? ? a ? 2cos B sin A sin B

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

(解法一)? ?ABC 是锐角三角形,如图,

c ? BD ? DA , BD ? a cos B ? 2cos2 B , DA ? b cos A
∴ c ? 2cos B ? cos A ? 4cos B ? 1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分
2 2

C

∴周长 l ? 4cos B ? 2cos B
2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分

? ?ABC 是锐角三角形 ? ∴ ? c ? ? ? A ? B ? ? ? 3B ? 0 2


A ? 2B ?

?
2

B

D

A

?
6

?B?

?
4

?

2 3 ? cos B ? 2 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分

∴ 2 ? 2 ? l ? 3 ? 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 ∴ ?ABC 的周长的取值范围为 (2 ? 2,3 ? 3) 。 (解法二)由余弦定理得 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 4cos2 B ? 1 ? 4cos B cos(2B ? B) 化简。
7

B 卷(共 50 分)
四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

1 2 2 20. ( x ? 2) ? y ? 4( x ? 0) 2 五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分, 22. (本题满分 10 分)
18.

30

0

19.

21. 3

解: (Ⅰ)设椭圆的标准方程为 依题意得 b ? c ? 1,
a ? 2c ? 2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

?椭圆的标准方程为
/

y2 ? x 2 ? 1 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 2

(Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? x ? b , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

?y ? x ? b ? 2 2 2 消去 y 得 3x ? 2bx ? b ? 2 ? 0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分 ?y 2 ? ? x ?1 ?2
? ? 4b 2 ? 12(b 2 ? 2) ? ?8b 2 ? 24 ,令 ? ? 0得b 2 ? 3 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

2b b2 ? 2 x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? 3 3
AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 2 ? (? 2b 2 b2 ? 2 ) ? 4? 3 3

? 2?

? 8b 2 ? 24 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 9

C 到直线 l / 的距离 d ?

2 2 ?b 2
3 AB 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

? ?ABC为等边三角形, d ? ?

2 2 ?b 2

? 8b 2 ? 24 3 ? 2? , ? 9 2

两边同时平方 整理得11b2 ? 12 2b ? 0 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分

8

? b ? 0或b ?
/

12 2 。 11 12 2 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分 11

所求直线 l 的方程为 y ? x 和 y ? x ? 23. (本题满分 12 分) 解:由题意知 f (n) ? 50 n ? [12 n ?

n(n ? 1) ? 4] ? 72 2
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

? ?2n 2 ? 40n ? 72

(Ⅰ)由 f (n) ? 0 ,即 ?2n2 ? 40n ? 72 ? 0 解得 2 ? n ? 18 。 由 n ? N * 知,从第三年开始盈利. (Ⅱ)方案①:年平均纯利润 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

f ( n) 36 ? 40 ? 2(n ? ) ? 16 当且仅当 n=6 时等号成立. n n
2

故方案①共获利 6×16+48=144(万元) ,此时 n=6┄┄┄┄┄8 分 方案②: f (n) ? ?2(n ? 10) ? 128 . 当 n=10, f (n) max ? 128 . 故方案②共获利 128+16=144(万元)┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分 比较两种方案,获利都是 144 万元,但由于第①种方案只需 6 年,而第②种方案需 10 年,故选择第①种方案更 合算. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 24. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? a n ? 2n ? 1, 则有a n ?1 ? a n ? 2(n ? N ) ,它对应的常数 p、q 分别为 1、。 ┄┄┄┄2 分 2 ?数列 {an } 是“ M 类数列”
?

? bn ? 2 ? 3n , 则有bn ?1 ? 2 ? 3n?1 ? 3bn (n ? N ? )
,它对应的常数 p、q 分别为 3、 .┄┄┄┄┄┄4 分 0 ?数列 {bn } 是“ M 类数列” (Ⅱ)①? a n ? a n ?1 ? 3t ? 2 (n ? N ) ,
n *

? a2 ? a3 ? 3t ? 22 , a4 ? a5 ? 3t ? 24 ,

??
a2012 ? a2013 ? 3t ? 22012

? S 2013 ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? ? ? (a2012 ? a2013 )
? 2 ? 3t ? 2 2 ? 3t ? 2 4 ? ?3t ? 2 2012
? 2 ? t (2 2014 ? 4)
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

②若数列 {an } 是“ M 类数列” ,则存在实常数 p、q ,使得
9

a n ?1 ? pan ? q 对任意 n ? N ? 都成立,且 a n? 2 ? pan ?1 ? q(n ? N ? ) 也成立 ? a n?1 ? a n? 2 ? p(a n ? a n?1 ) ? 2q
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分

? 3t ? 2 n?1 ? p ? 3t ? 2 n ? 2q 对任意 n ? N ? 恒成立

? t ( p ? 2) ? 0, q ? 0 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分
当 p ? 2, q ? 0时,a n ?1 ? 2a n , a n ? 2 , t ? 1 ,满足条件
n

当 t ? 0, q ? 0时,a n ?1 ? ?a n , a n ? 2(?1)

n ?1

, p ? ?1满足条件
┄┄┄┄

综上,当且仅当 t ? 1 或 t ? 0 时,数列 {an } 是“ M 类数列” ,对应实常数 p、q 分别为 2, 或 ?10 。 0 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

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