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典型的裂项法求和例题


典型的裂项法求和例题
1、
1 1 1 1 + + ...... + 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 19 ? 20

这是最简单的裂项求和,因为 所以原式=11 19 = 20 20

1 1 1 = n * (n + 1) n n + 1

2、

1 1 1 1 + + ...... + 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 19 ? 21

和上题原理一样,只是分母相乘的两个数差为 2 因为

1 1 1 1 = ( ) (2n - 1) * (2n + 1) 2 2n - 1 2n + 1

1 1 10 所以原式= (1 - ) = 2 21 21

3、

1 1 1 1 1 1 + + + ...... + + 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 4 ? 6 19 ? 21 20 ? 22

这是

1 前 20 项的和,同上差为 2,但(下)首(上)尾不同 n * (n + 2)
1 1 1 1 1 1 + + ...... + )+( + ...... + ) 1? 3 3 ? 5 19 ? 21 2? 4 4?6 20 ? 22 1 1 1 1 1 10 5 = (1 - ) + ( - ) = + 2 21 2 2 22 21 22

原式=(

4、

1 1 1 1 + + ...... + 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 19 ? 20 ? 21

这是

1 前 19 项的和 n(n + 1)(n + 2) 1 1 1 1 = [ ] n(n + 1)(n + 2) 2 n * (n + 1) (n + 1)(n + 2)

同样分解为

1 1 1 209 所以原式= ( )= 2 1 ? 2 20 ? 21 840
1

5、 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + ...... + 19 * 20 以上 4 例为分数裂项,本题为整数裂项 1 因为 n(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)] 3 1 比如 2 * 3 = (2 ? 3 ? 4 - 1 ? 2 ? 3) 3 1 所以原式= (19 ? 20 ? 21) = 2660 3 6、 1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + 3 * 4 * 5 + ...... + 9 * 10 * 11
1 同上题一样 n(n + 1)(n + 2) = [n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n - 1)n(n + 1)(n + 2)] 4 1 所以原式= (9 ? 10 ? 11 ? 12) = 2970 4

7、1+2*2!+3*3!+......+8*8! 由于(n+1)!-n!=n*n! 所以原式=(1+3!-2!+4!-3!+……+9!-8!)= 9!-1
3 3 3 3 8、 C 3 + C 4 + C 5 ...... + C15

m m m 由于 C n++1 - C n +1 = C n ,( n ? m + 1 ) 1 4 4 4 所以原式=1+ C 54 - C 44 + C 64 - C 54 +......+ C16 - C15 = C16 = 1820

或展开组合式子用 n(n+1)(n+2)的裂变也可以得出答案
3 3 3 3 C 3 + C 4 + C 5 ...... + C15 =1 + 4!/3! + 5!/(3!2!) + 6!/(3!3!) +......+ 15!/(3!12!)

=1+4*3*2/3!+5*4*3/3!+6*5*4/3!+.....+15*14*13/3! =1+(4*3*2+5*4*3+6*5*4+.....+15*14*13) / 3! =1+1/4(16*15*14*13-1*2*3*4) / 3! =1+ 6*(10*14*13-1) / 3! = 1820

2

9、 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ...... + 2 9 典型的等比数列,因为 2 n = 2 n +1 - 2 n 所以原式= 1 + 2 2 - 2 + 2 3 - 2 2 + ....... + 210 - 2 9 = 210 - 1 = 1023

10、 3 + 32 + 33...... + 39 等比数列,因为 3 n =
1 n+1 (3 - 3 n ) 2

1 1 所以原式= (3 2 - 3 + 33 - 3 2 + ...... + 310 - 39 ) = (310 - 3) = 29523 2 2

其他如:

1 n +1 + n

= n +1 - n

(a - 1)a n = a n +1 - a n
lg n +1 = lg( n + 1) - lg n n

等等

3


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