当前位置:首页 >> 数学 >>

典型的裂项法求和例题


典型的裂项法求和例题
1、
1 1 1 1 + + ...... + 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 19 ? 20

这是最简单的裂项求和,因为 所以原式=11 19 = 20 20

1 1 1 = n * (n + 1) n n + 1

2、

1 1 1 1 + + ...... + 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 19 ? 21

和上题原理一样,只是分母相乘的两个数差为 2 因为

1 1 1 1 = ( ) (2n - 1) * (2n + 1) 2 2n - 1 2n + 1

1 1 10 所以原式= (1 - ) = 2 21 21

3、

1 1 1 1 1 1 + + + ...... + + 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 4 ? 6 19 ? 21 20 ? 22

这是

1 前 20 项的和,同上差为 2,但(下)首(上)尾不同 n * (n + 2)
1 1 1 1 1 1 + + ...... + )+( + ...... + ) 1? 3 3 ? 5 19 ? 21 2? 4 4?6 20 ? 22 1 1 1 1 1 10 5 = (1 - ) + ( - ) = + 2 21 2 2 22 21 22

原式=(

4、

1 1 1 1 + + ...... + 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 19 ? 20 ? 21

这是

1 前 19 项的和 n(n + 1)(n + 2) 1 1 1 1 = [ ] n(n + 1)(n + 2) 2 n * (n + 1) (n + 1)(n + 2)

同样分解为

1 1 1 209 所以原式= ( )= 2 1 ? 2 20 ? 21 840
1

5、 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + ...... + 19 * 20 以上 4 例为分数裂项,本题为整数裂项 1 因为 n(n + 1) = [n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)] 3 1 比如 2 * 3 = (2 ? 3 ? 4 - 1 ? 2 ? 3) 3 1 所以原式= (19 ? 20 ? 21) = 2660 3 6、 1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + 3 * 4 * 5 + ...... + 9 * 10 * 11
1 同上题一样 n(n + 1)(n + 2) = [n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n - 1)n(n + 1)(n + 2)] 4 1 所以原式= (9 ? 10 ? 11 ? 12) = 2970 4

7、1+2*2!+3*3!+......+8*8! 由于(n+1)!-n!=n*n! 所以原式=(1+3!-2!+4!-3!+……+9!-8!)= 9!-1
3 3 3 3 8、 C 3 + C 4 + C 5 ...... + C15

m m m 由于 C n++1 - C n +1 = C n ,( n ? m + 1 ) 1 4 4 4 所以原式=1+ C 54 - C 44 + C 64 - C 54 +......+ C16 - C15 = C16 = 1820

或展开组合式子用 n(n+1)(n+2)的裂变也可以得出答案
3 3 3 3 C 3 + C 4 + C 5 ...... + C15 =1 + 4!/3! + 5!/(3!2!) + 6!/(3!3!) +......+ 15!/(3!12!)

=1+4*3*2/3!+5*4*3/3!+6*5*4/3!+.....+15*14*13/3! =1+(4*3*2+5*4*3+6*5*4+.....+15*14*13) / 3! =1+1/4(16*15*14*13-1*2*3*4) / 3! =1+ 6*(10*14*13-1) / 3! = 1820

2

9、 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ...... + 2 9 典型的等比数列,因为 2 n = 2 n +1 - 2 n 所以原式= 1 + 2 2 - 2 + 2 3 - 2 2 + ....... + 210 - 2 9 = 210 - 1 = 1023

10、 3 + 32 + 33...... + 39 等比数列,因为 3 n =
1 n+1 (3 - 3 n ) 2

1 1 所以原式= (3 2 - 3 + 33 - 3 2 + ...... + 310 - 39 ) = (310 - 3) = 29523 2 2

其他如:

1 n +1 + n

= n +1 - n

(a - 1)a n = a n +1 - a n
lg n +1 = lg( n + 1) - lg n n

等等

3


相关文章:
裂项法求数列的和
裂项法求数列的和_数学_高中教育_教育专区。裂项法求数列的和【内容提要】笔者在多年的教学中遇到裂项法求和的题 型 , 加以总结 , 供师生们 参考 . 裂项相...
裂项法_系数_求和
教学案例:裂项求和法 5页 2下载券 典型的裂项法求和例题 3页 免费 4裂项相消...裂项法_系数_求和 重排版 1 型分数求和 n(n+1) n+1 1 1 n 1 分析:...
高中数学一轮复习之数列求和之裂项相消法
高中数学一轮复习之数列求和之裂项相消法_高考_高中教育_教育专区。第 6 节 ...是此法的根源与目的. 用错位相减法求和时, 应注意(1)要善于识别题目类型, ...
《并项分组求和与裂项法》教学设计.doc
《并项分组求和裂项法》教学设计.doc - 一、学情分析: 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求 和公式...
经典研材料裂项相消法求和大全
经典研材料裂项相消法求和大全 - 开一数学组教研材料 (裂项相消法求和之再研究 张明刚 ) 一项拆成两项,消掉中间所有项,剩下首尾对称项 基本类型: 1.形如 1...
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结(一) 用裂项法求 1 型分数求和 n(n ? 1) 分析:因为...(必须听话,完成老师布置的知识点和作业 非题海战术) 独特的方法 ,超强的归纳...
数列求和-裂项法
数列求和-裂项法 - 数列求和 ---裂项相消法 引例:教材 P47 什么是裂项相消法?什么时候使用? 思考 1: 若数列{an },an ? 变式: 1.求数列 1 1 n...
小学奥数之裂项法(一)
裂项法(一) 同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先...1 下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。 【典型例题】 1 1 1 1...
奥数裂项法(含答案)
n n + t n( n + t ) 典型例题】 【典型例题】 1 1 1 1 1 例 1....解: 分析与解:此题如按异分母加法法则来求和,计算量太大,下面用裂项法试一试...
裂项法和分组求和法
裂项法和分组求和法 - 从特点到方法,再到类型。很基础很全面。试用于新课和一轮复习。... 姓名: 分数: 裂项法求和分组求和法 学习目标: 会用裂项法和分组法求...
更多相关标签: