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高中数学第二章算法初步2.3循环结构教案北师大版必修3资料


2.3

循环结构
整体设计

教学分析 教材通过实例介绍了循环结构.在教学过程中,教师应注意通过实例来分析循环结构,以 加深学生的感性认识. 三维目标 掌握循环结构及其相应的流程图,提高学生分析问题和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:理解循环结构,会设计循环结构. 教学难点:设计循环结构. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入).我们都想生活在一个优美的环境中,希望看到的是碧水蓝天,大家知 道工厂的污水是怎样处理的吗?污水进入处理装置后进行第一次处理,如果达不到排放标 准,则需要再进入处理装置进行处理,直到达到排放标准.污水处理装置是一个循环系统, 对于处理需要反复操作的事情有很大的优势.我们数学中有很多问题需要反复操作,今天我 们学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构. 思路 2(直接导入).前面我们学习了顺序结构,顺序结构像一条没有分支的河流,奔流到 海不复回;上一节我们学习了选择结构,选择结构像有分支的河流最后归入大海 .事实上, 很多水系是循环往复的,今天我们开始学习循环往复的逻辑结构——循环结构. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)请大家举出一些常见的需要反复计算的例子. (2)什么是循环结构、循环体? (3)试用流程图表示循环结构. 讨论结果: (1)例如用二分法求方程的近似解、数列求和等. (2)在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况, 这就是循环结构.反复执行的步骤称为循环体. (3) 在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构,即从算法某处开始, 按照一 定条件重复执行某一处理的过程.重复执行的处理步骤称为循环体. 循环结构,如下图所示,它的功能是先执行重复执行的 A 框,然后判断给定的条件 P 是否成 立,如果 P 仍然不成立,则返回来继续执行 A 框,再判断条件 P 是否成立.继续重复操作, 直到某一次给定的判断条件 P 成立时为止,此时不再返回来执行 A 框,离开循环结构.继续 执行下面的框图.

图1

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应用示例 思路 1 例 1 设计算法,输出 1 000 以内能被 3 和 5 整除的所有正整数,画出算法流程图. 这个问题很简单,凡是能被 3 和 5 整除的正整数都是 15 的倍数,由于 1 000=15×66+10,因此 1 000 以内一共有 66 个这样的正整数. 解:引入变量 a 表示待输出的数,则 a=15n (n=1,2,3,?,66). n 从 1 变到 66,反复输出 a,就能输出 1 000 以内的所有能被 3 和 5 整除的正整数. 算法流程图如图 2 所示.

图2 点评:像这样的算法结构称为循环结构,其中反复执行的第②部分称为循环体. 变量 n 控制着循环的开始和结束,称为循环变量,第①部分就是赋予循环变量初始值,预示循 环开始. 第③部分判断是否继续执行循环体,称为循环的终止条件. 变式训练 请用流程图表示前面讲过的“判断整数 n(n>2)是否为质数”的算法. 解:算法流程图如下:

图3 例 2 阅读下图中所示的流程图,回答下列问题: (1)变量 y 在这个算法中的作用是什么? (2)这个算法的循环体是哪一部分,功能是什么? (3)这个算法的处理功能是什么?

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图4 解:(1)变量 y 是循环变量,控制着循环的开始和结束; (2)流程图中的第②部分是循环体,其功能是判断年份 y 是否是闰年,并输出结果; (3)由前面的分析,我们知道,这个算法的处理功能是:判断 2000—2500 年中,哪些年份是闰 年,哪些年份不是闰年,并输出结果. 点评: 需要反复进行相同的操作,如果按照顺序结构来描述,算法显得十分烦琐,不利于阅读, 如果采取循环结构来描述,算法就显得简洁、清楚.循环结构是一种简化算法叙述的结构. 变式训练 观察下面的流程图,指出该算法解决的问题.

图5 解:这是一个累加求和问题,共 99 项相加,该算法是求 的值. 思路 2 例 1 设计一个计算 1+2+??+100 的值的算法,并画出流程图. 算法分析:通常,我们按照下列过程计算 1+2+??+100 的值. 第 1 步,0+1=1. 第 2 步,1+2=3. 第 3 步,3+3=6.

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ? 100

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第 4 步,6+4=10. ?? 第 100 步,4 950+100=5 050. 显然,这个过程中包含重复操作的步骤,可以用循环结构表示.分析上述计算过程,可 以发现每一步都可以表示为第(i-1)步的结果+i=第 i 步的结果. 为了方便、有效地表示上述过程,我们用一个累加变量 S 来表示第一步的计算结果,即 把 S+i 的结果仍记为 S,从而把第 i 步表示为 S=S+i, 其中 S 的初始值为 0,i 依次取 1,2,?,100,由于 i 同时记录了循环的次数,所以 也称为计数变量. 流程图如下:

图6 点评:这是一个典型的用循环结构解决求和的问题,有典型的代表意义,可把它作为一个范 例,仔细体会三种逻辑结构在流程图中的作用,学会画流程图. 变式训练 已知有一列数

1 2 3 n , , ,?, ,设计流程图实现求该列数前 20 项的和. 2 3 4 n ?1 i ,可实 i ?1

分析:该列数中每一项的分母是分子数加 1,单独观察分子,恰好是 1,2,3,4,?,n, 因此可用循环结构实现,设计数器 i,用 i=i+1 实现分子,设累加器 S,用 S=S+ 现累加,注意 i 只能加到 20. 解:流程图如下:

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图7 例 2 某厂 2005 年的年生产总值为 200 万元,技术革新后预计以后每年的年生产总值都比 上一年增长 5%,设计一个流程图,输出预计年生产总值超过 300 万元的最早年份. 算法分析:先写出解决本例的算法步骤: 1.输入 2005 年的年生产总值. 2.计算下一年的年生产总值. 3.判断所得的结果是否大于 300,若是,则输出该年的年份;否则,返回第 2 步. 4.算法结束. 由于“第 2 步”是重复操作的步骤,所以本例可以用循环结构来实现 .我们按照“确定循 环”“初始化变量”“设定循环控制条件”的顺序来构造循环结构. (1)确定循环体:设 a 为某年的年生产总值,t 为年生产总值的年增长量,n 为年份,则循 环体为 t=0.05a, a=a+t, n=n+1. (2)初始化变量:若将 2005 年的年生产总值看成计算的起始点,则 n 的初始值为 2005,a 的初始值为 200. (3)设定循环控制条件:当“年生产总值超过 300 万元”时终止循环,所以可通过判断 “a>300”是否成立来控制循环体. 流程图如下:

图8 变式训练 1.设计流程图实现 1+3+5+7+?+131 的算法. 分析:由于需加的数较多,所以要引入循环结构来实现累加.观察所加的数是一组有规律的 数(每相邻两数相差 2) ,那么可考虑在循环过程中,设一个变量 i,用 i=i+2 来实现这些有 规律的数,设一个累加器 sum,用来实现数的累加,在执行时,每循环一次,就产生一个需 加的数,然后加到累加器 sum 中. 解:算法如下: 1.赋初值 i=1,sum=0. 2.sum=sum+i,i=i+2. 3.如果 i≤131,则反复执行第 2 步;否则,执行下一步. 4.输出 sum.

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5.结束. 流程图如下图.

图9 点评: (1)设计流程图要分步进行,把一个大的流程图分割成几个小的部分,按照三个基本 结构即顺序、条件、循环结构来局部安排,然后把流程图进行整合. (2)流程图画完后,要进行验证,按设计的流程分析是否能实现所求的数的累加,分析条 件是否加到 131 就结束循环, 所以我们要注意初始值的设置、 循环条件的确定以及循环体内 语句的先后顺序,三者要有机地结合起来.最关键的是循环条件,它决定循环次数,可以想 一想,为什么条件不是“i<131”或“i=131”,如果是“i<131”,那么会少执行一次循环, 131 就加不上了. 2.高中某班一共有 40 名学生, 设计算法流程图, 统计班级数学成绩良好(分数>80)和优秀(分 数>90)的人数. 分析:用循环结构实现 40 个成绩的输入,每循环一次就输入一个成绩 s,然后对 s 的值进 行判断.设两个计数器 m,n,如果 s>90,则 m=m+1,如果 80<s≤90,则 n=n+1.设计数器 i, 用来控制 40 个成绩的输入,注意循环条件的确定. 解:流程图如下图:

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图 10 知能训练 由相应的流程图如图 11,补充完整一个计算 1+2+3+?+100 的值的算法.

图 11 1.设 i 的值为____________. 2.设 sum 的值为____________. 3.如果 i≤100 执行第____________步,否则,转去执行第____________步. 4.计算 sum+i 并将结果代替____________. 5.计算____________并将结果代替 i. 6.转去执行第 3 步. 7.输出 sum 的值并结束算法. 分析:流程图各图框的内容(语言和符号)要与算法步骤相对应,在流程图中算法执行的顺 序应按箭头方向进行. 解:1.设 i 的值为 1. 2.设 sum 的值为 0. 3.如果 i≤100,执行第四步,否则,转去执行第 7 步. 4.计算 sum+i 并将结果代替 sum. 5.计算 i+1 并将结果代替 i. 6.转去执行第 3 步. 7.输出 sum 的值并结束算法. 拓展提升 49 设计一个算法,求 1+2+4+?+2 的值,并画出流程图.

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图 12 解:算法步骤: 1.sum=0. 2.i=0. i 3.sum=sum+2 . 4.i=i+1. 5.判断 i 是否大于 49,若成立,则输出 sum,结束.否则,返回第 3 步重新执行. 流程图如图 12. 点评: (1)如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作,且先后参与运算的数之间 有相同的规律,就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量) ,应用于循环结构.在循 环结构中,要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等,特别要求条 件的表述要恰当、精确. (2)累加变量的初始值一般取成 0,而累乘变量的初始值一般取成 1. 课堂小结 (1)熟练掌握循环结构的特点及功能. (2)能用循环结构画出求和等实际问题的流程图,进一步理解学习算法的意义. 作业 习题 2—2 A 组 8、9. 设计感想 本节的引入抓住了本节的特点, 利用计算机进行循环往复运算, 解决累加、 累乘等问题. 循环结构是逻辑结构中的难点,它一定包含一个选择结构,它能解决很多有趣的问题.本节 选用了大量精彩的例题,对我们系统掌握流程图有很大的帮助.

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