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郝伟光《二倍角的正弦、余弦、正切公式》课件


【目标导学】
1、掌握二倍角公式的推导过程,领会 由一般到特殊的数学思想; 2、理解二倍角公式中的“二倍”的含义;

3、能综合运用二倍角公式及其变形式进行
求值、化简及证明。

【温故知新】
你能写出下列公式吗?

S(? ?? )

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? tan ? ? tan ? T(? ? ? ) tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ?
C(? ?? )
在公式 S(? ?? ) 、C(? ?? ) 、 T(? ? ? ) 中 若令 ? ? ? 你能得到怎样的式子?

二、 二倍角公式的推导

? ) ? sin ? cos? ? sin(? ?? ?? cos ? sin? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? sin ? sin? ? cos(? ?? ? ) ? cos ? cos? 2 2 cos 2? ? cos ? ? sin ? tan ? ? tan? ? ?) ? tan(? ? ? 1 ? tan ? ? tan? ? 2 tan ? tan2? ? 1 ? tan 2 ?

【新课讲解】
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
令? ? ?

sin 2? ? 2 sin ? cos?
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

? ?R
令? ? ?

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2
tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
令? ? ?

? ?R

2 tan? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

k? ? ? ? ? ? 且? ? k? ? (k ? z ) 2 4 2
还可怎样推导 tan 2? ?

公式中的角是否为任意角?

【思考探究】

对于公式cos2? ? cos ? ? sin ? 能有其它的形式吗?
2 2

利用

sin ? ? cos ? ? 1
2 2

变形为
2

cos 2? ? 2 cos ? ? 1

cos 2? ? 1 ? 2 sin ?
2

【公式归纳】
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos?
2 2

cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

2

? ? 1 ? 1 ? 2sin ?
2

二、应注意的问题:
(1)对二倍角要有广义的理 解,如: sin 4? ? 2 sin cos cos8? ? cos2 ? sin 2 t an ? 2 cos2 ? 1 ? 1 ? 2 sin 2

?
3

?

2 t an 1 ? t an2

(2)注意公式的正用、逆用、变形用。

【基础练习】
1. 2sin 22.5? cos 22.5? ? 2. 2 cos
2
2

2 sin 45 ? 2
0

? 2 ? ? 1 ? cos ? 8 4 2

? 2 ? 2 ? 3. sin ? cos ? ? cos ? ? 8 8 4 2

2 tan15? 3 ? 4. ? tan 30 ? 2 ? 1 ? tan 15 3

典题例证技法归纳
例1
求下列各式的值: π π π π (1)(cos -sin )(cos +sin ); 12 12 12 12 (2)sin15° cos15° ;

tan15° (3) ; 2 1-tan 15° 1 2π (4) -cos . 2 8 (5) (sin15? ? cos15? ) 2

【解】
2

π π π π (1)(cos -sin )(cos +sin ) 12 12 12 12

π π 3 2π =cos -sin =cos = . 12 12 6 2 1 (2)sin15° cos15° = sin30° =1/4 2

tan15° 1 2tan15° 1 (3) = × = × tan30° 2 2 2 2 1-tan 15° 1-tan 15° 3 = . 6 1 1 1 π 2π 2π (4) -cos =- (2cos -1)=- cos 2 8 2 8 2 4 2 =- . 4

例2、已知 sin 2? ?

5 ? ? , ?? ? , 求 13 4 2

sin 4? ,cos 4? , tan 4?的值。

分析:已知条件给出了 2? 的正弦值。由于 4? 是 2? 的二倍角,因此可以考虑用倍角公式。
? ? ? 解: 由 ? ? ? 得 ? 2? ? ? 4 2 2
5 5 2 12 又 sin 2? ? 所以cos 2? ? ? 1 ? ( ) ? ? 13 13 13

5 12 120 于是 sin4? ? sin ?2 ? (2? )? ? 2sin 2? cos 2? ? 2 ? ? (? ) ? ? 13 13 169

5 2 119 cos4? ? cos ?2 ? (2? )? ? 1 ? 2sin 2? ? 1 ? 2 ? ( ) ? 13 169 sin 4? 120 169 120 tan 4? ? ? (? )? ?? 还可怎样求 tan 4? ? cos 4? 169 119 119
2

4 ? ? ? 变式1:已知 cos ? ? ,8? ? ? ? 12? , 求 sin , cos , tan 8 5 4 4 4
24 ? 7 ? 24 sin ? , cos ? , tan ? 4 25 4 25 4 7

?

?

[悟一法]
1.解决此类问题要根据三角函数式的特征,经过适当变形, 进而利用公式,获得三角函数式的值. 2.解答此类题目要注意角的倍数关系,对“二倍角”应该有 α 3α 广义的理解,如:4α 是 2α 的二倍角,α 是 的二倍角,3α 是 的 2 2 二倍角等.

例3:用cos 2?表示sin 2 ? , cos2 ? , tan 2 ?
1 ? cos 2? sin ? ? 2 1 ? cos 2? cos ? ? 2 1 ? cos 2? tan ? ? 1 ? cos 2?
2 2 2

变式2:若sin x tan x ? 0, 化简 1 ? cos2 x.
原式 ? ? 2 cos x

[悟一法]
给值求值问题要注意二倍角公式的正用、逆用、变形用, 常见的变形有: 1± sin 2α=sin2α± 2sin αcos α+cos2α=(sin α± cos α)2, 1 1 2 cos α= (1+cos 2α),sin α= (1-cos 2α). 2 2
2

4 cos A ? , tan B ? 2, 求 tan(2 A ? 2B) 的值。 例4、在△ABC中, 5
4 解: 在?ABC中,由cosA= , 0 ? A ? ? 得: 5
4 3 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ( )2 ? 5 5

sin A 3 5 3 ? ? ? cos A 5 4 4 3 2? 2 tan A 4 ? 24 tan 2 A ? ? 1 ? tan 2 A 1 ? ( 3 ) 2 7 4 2 tan B 2? 2 4 ? ? ? 又 tan B ? 2 所以 tan 2 B ? 1 ? tan 2 B 1 ? 22 3 tan 2 A ? tan 2 B 于是 tan(2 A ? 2B) ? 1 ? tan 2 A tan 2 B 24 4 ? 思考:本题 44 7 3 还有其它的 ? ? 24 4 解法吗? 1 ? ? (? ) 117 7 3 所以 tan A ?

4 4 课后探究:将例4条件中cos A ? 改为sin A ? , 结果会是什么? 5 5

【归纳总结】

【引申公式】

sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos ? - 1 ? 1 - 2sin ?
2 2

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2 1 ? cos2? ? 2 cos2 ?
1 ? cos2? ? 2 sin ?
2

2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

cos2 ? ?

1 ? cos 2? 2 1 ? cos 2? si n2 ? ? 2

? ?

升幂降角公式

降幂升角公式

1、二倍角公式是和角公式的特例,其推导过程体现将一般 化归为特殊的基本数学思想方法。 2、注意正用、逆用、变形用。 3、二倍角公式结合同角三角函数关系式和诱导公式可以解 决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。

作业:课本P135
谢谢大家!

1~4

π π -cos4 12 12 π π π π =(sin2 +cos2 )(sin2 -cos2 ) 12 12 12 12 π =-cos 6 3 =- . 2 解析:sin4

π 4π 1.sin -cos 等于 12 12 1 A.- 2 1 C. 2
4

( 3 B.- 2 3 D. 2

)

答案:B

2.求下列各式的值: π π π cos cos ; 24 24 12 π 2π (2)cos cos ; 5 5 (1)sin

1 π π 解:(1)原式= (2sin cos )cos 2 24 24 1 π π 1 = sin cos = sin 2 12 12 4

π 12 π 1 = . 6 8

π π 2π 2π 2π 2sin cos cos sin cos 5 5 5 5 5 (2)原式= = π π 2sin 2sin 5 5 4π π sin 5 5 1 = = = . π π 4 4sin 4sin 5 5 sin

π 3 θ 3.若 sin( +θ)= ,(0<θ< ),则 cos 2θ=________. 4 5 4
π π π 解析:cos 2θ=sin( +2θ)=2sin( +θ)cos( +θ). 2 4 4 π π π 4 ∵0<θ< ,∴cos( +θ)= 1-sin2( +θ)= . 4 4 4 5 3 4 24 ∴cos 2θ=2× × = . 5 5 25
24 答案: 25

4.y=(sin x-cos x)2-1是
A.最小正周期为2π的偶函数

(

)

B.最小正周期为2π的奇函数

C.最小正周期为π的偶函数

D.最小正周期为π的奇函数

解析:y=(sin x-cos x)2-1=sin2x-2sin xcos x+cos2x-1 =-2sin xcos x=-sin 2x,∴周期T=π,且为奇函数. 答案:D

12 5 5、已知 : sin ? ? , cos ? ? ? , 则2?是 ( ) 13 13
A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角

12 5 解 : ? sin ? ? , cos ? ? ? , 13 13 12 5 ? sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ? ? ( ? ) 13 13 120 ?0 ?? 169 5 2 12 2 2 2 cos2? ? cos ? ? sin ? ? ( ? ) ? ( ) 13 13 119 ?0 ?? 169 ? 2?是第三象限角

1 ? sin 80 ? 6、求 的值 ? ? 2 sin 50 ? 1 ? cos80

sin 40 ? ? cos 40 ? 2 原式 ? ? ? ? 2 2 cos 40 ? 2 sin 40


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