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【名师一号】2016届高三数学一轮总复习课件:选修4选4-5-2 不等式证明的基本方法


选修 4-5 不等式选讲

第二节

不等式证明的基本方法

基础回扣· 自主学习

热点命题· 深度剖析

高考明方向 1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、放 缩法、数学归纳法. 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式. 3.能利用均值不等式求一些特

定函数的最值.

备考知考情 1.不等式的证明是考查的重点, 主要考查学生分析解决问题的 能力.题型主要为解答题,难度为中档题.如全国卷Ⅰ22 题. 2.柯西不等式主要用来求最值和证明不等式, 要能够将所给关 系式通过“配”“凑”,转化为可以利用柯西不等式的形式.一 般以二元、三元为主,难度中等.

J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发

知 识 梳 理 知识点一 基本不等式

定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab.当且仅当 a=b 时,等 号成立. a+b 定理 2:如果 a、b 为正数,则 2 ≥ ab,当且仅当 a=b 时, 等号成立. a+b+c 3 定理 3:如果 a、b、c 为正数,则 ≥ abc,当且仅当 3 a=b=c 时,等号成立.

定理 4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1、a2、?、 a1+a2+?+an n an 为 n 个正数,则 ≥ a1a2?an,当且仅当 a1=a2 n =?=an 时,等号成立.

知识点二

柯西不等式

(1)设 a,b,c,d 均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, 当且仅当 ad=bc 时等号成立.
2 2 (2)若 ai,bi(i∈N*)为实数,则(?a2 )( b ) ≥ ( a b ) ? ? i i i i ,当且仅 i =1 i=1 i=1 n n n

b1 b2 bn 当 = =?= (当 ai=0 时,约定 bi=0,i=1,2,?,n)时等号 a1 a2 an 成立.

(3)柯西不等式的向量形式:设 α,β 为平面上的两个向量,则 |α ||β|≥ |α·β|,当且仅当 α,β 共线时等号成立. 知识点三 不等式证明的基本方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法等.

对 点 自 测 知识点一 基本不等式

1. 若 0<a<b<1 ,则 a + b,2 ab , a2 + b2,2ab 中最大的一个是 ________.

解析

∵a+b>2 ab,a2+b2>2ab.

又(a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1). ∵0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)+b(b-1)<0. ∴a2+b2<a+b.

答案 a+b

2 .已知 x , y ∈ R ,且 ________.
? 1?? 1? ? ? ?1+ ??1+ ?≥?1+ x?? y ? ? ?

? 1? ? 1? xy = 1 ,则 ?1+ x? ?1+y ? 的最小值为 ? ?? ?

解析

1 ? ?2 =4. xy? ?

答案 4

知识点二

柯西不等式

3.已知 x,y,z 为正数,且 x+y+z=1,则 x2+y2+z2 的最小 值是__________.
解析 1 1 1· z) ×3=3.
2

1 x2 +y2 + z2 =(12 +12 +12)(x2 +y2 +z2)×3 ≥(1· x+1· y+

答案

1 3

4.若 a,b,c∈(0,+∞),且 a+b+c=1,则 a+ b+ c的 最大值为________.
解析 ( a + b + c )2 = (1× a + 1× b + 1× c )2≤(12 + 12

+12)(a+b+c)=3. 1 当且仅当 a=b=c=3时,等号成立. ∴( a+ b+ c)2≤3,故 a+ b+ c的最大值为 3.

答案

3

知识点三

不等式证明的基本方法

a+m a 5.已知 a、b、m 均为正数,且 a<b,M= ,N= ,则 M、 b b+m N 的大小关系是________.
a a+m m?a-b? 解析 M-N= - = <0,即 M<N. b b+m b?b+m?

答案 M<N

1 1 1 6.设 a,b,c 为正实数,求证: 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c 证明 因为 a,b,c 为正实数,
3 1 1 1 1 1 1 由平均不等式可得 3+ 3+ 3≥3 ··, a b c a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3+ 3+ 3≥ . a b c abc 1 1 1 3 所以 3+ 3+ 3+abc≥ +abc. a b c abc 而 3 +abc≥2 abc 3 · abc=2 3. abc

1 1 1 所以 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c

R 热点命题· 深度剖析
研考点 知规律 通法悟道

问 题 探 究 问题 1 在证明不等式时综合法和分析法有怎样的关系?

综合法:由条件出发推导出所要证明的不等式成立. 分析法:从结论出发寻找使结论成立的充分条件,综合法与 分析法是对立统一的两种方法.在实际解题时,常常用分析法探 求解题思路,用综合法表达.

问题 2

在什么条件下用分析法证明不等式?

如果不适合用反证法、归纳法,而综合法又不易操作时,通 过分析又容易找到使要证明结论成立的已知条件,这时用分析法. 问题 3 用反证法证明不等式要把握哪几方面内容?

(1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐 一论证,缺少任何一种可能,证明都是不完全的.

(2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进 行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就 不是反证法. (3)推导出来的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与 假设矛盾,有的与定理、公理相违背等等,但推导出的矛盾必须 是明显的.

高 频 考 点 考点一 比较法证明不等式

【例 1】 已知 a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.
听 课 记 录 2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)= (a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). ∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0. 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即 2a3-b3≥2ab2-a2b.

【规律方法】 (1)一般地,当所证不等式的两边均为整式(多 项式)时,可考虑用作差比较法. (2)步骤:作差、变形、判断符号、得出结论. (3)变形整理是关键,常用的变形方法有因式分解、配方、通 分、拆项、添项(如本题解法中利用了因式分解)等.

变式思考 1

设 a,b 是非负实数,求证:a3+b3≥ ab(a2+

b2). 证明 a3+b3- ab(a2+b2)
=(a3-a2 ab)+(b3-b2 ab) =a2 a( a- b)-b2 b( a- b) =( a- b)( a5- b5). 当 a≥b≥0 时, a≥ b且 a5≥ b5,

当 b>a≥0 时, a< b且 a5< b5, ∴a3+b3- ab(a2+b2)≥0. ∴a3+b3≥ ab(a2+b2).

考点二

综合法与分析法证明不等式

1 【例 2】 (1)已知 x, y 均为正数, 且 x>y, 求证: 2x+ 2 x -2xy+y2 ≥2y+3; (2)设 a,b,c>0 且 ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≥ 3.

听课记录

1 (1)因为 x>0,y>0,x-y>0,2x+ 2 2-2y x -2xy+y

1 1 =2(x-y)+ =(x-y)+(x-y)+ ?x-y?2 ?x-y?2 ≥3 3 1 ?x-y? 2=3, ?x-y?
2

1 所以 2x+ 2 ≥2y+3. x -2xy+y2

(2)因为 a,b,c>0,所以要证 a+b+c≥ 3, 只需证明(a+b+c)2≥3. 即证:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3, 而 ab+bc+ca=1, 故需证明:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca). 即证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. a2+b2 b2+c2 c2+a2 而 ab + bc+ ca≤ + + = a2 + b2+ c2( 当且仅 2 2 2 当 a=b=c 时等号成立)成立. ∴原不等式成立.

【规律方法】

综合法是由因导果,要求考生要有较强的观

察与变形的能力.分析法是执果索因,利于思考,但是表述格式 要求严谨,二者各有所短,相互补充.凡是能用分析法证明的不 等式,一定可以用综合法证明.

变式思考 2 1 1 1 证: + + ≥9. a b c

(1)已知 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,求

(2)已知 a>b>c,且 a+b+c=0,求证: b2-ac< 3a.

证明 3 3 ≥3· abc· 3·

?1 1 1? 1 1 1 ? + + ? (1) 证 法 1 : + + = (a + b + c)· a b c ?a b c ?

1 1 =9(当且仅当 a=b=c=3时等号成立). abc

?b a? 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c 证法 2: + + = + + =3+? + ?+ a b c a b c ?a b? ? c a? ?c b? ? + ? + ? + ? ≥3 + 2 + 2 + 2 = 9( 当且仅当 ? a c? ?b c ?

1 a = b = c= 时等号成 3

立).

(2)要证

b2-ac< 3a,只需证 b2-ac<3a2.

∵a+b+c=0,只需证 b2+a(a+b)<3a2, 只需证 2a2-ab-b2>0, 只需证(a-b)(2a+b)>0, 只需证(a-b)(a-c)>0. ∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0. ∴(a-b)(a-c)>0 显然成立,故原不等式成立.

考点三
*

放缩法证明不等式

n?n+1? 【例 3】 已知 n∈N ,求证: 2 < 1×2+ 2×3+? ?n+1?2 + n?n+1?< . 2

听课记录

k+?k+1? k< k?k+1?< 2

1 = (2k+1)(k=1,2,?,n), 2 若记 Sn= 1×2+ 2×3+?+ n?n+1?,则 n?n+1? Sn>1+2+?+n= 2 , ?n+1?2 1 1 2 Sn<2(3+5+?+2n+1)=2(n +2n)< 2 ,故原不等式成 立.

【规律方法】

(1)在不等式的证明中,“放” 和 “缩”是常

用的推证技巧.“放 ”和 “缩” 的方向与“ 放” 和“缩 ”的量的 大小是由题目分析得出的.常见的放缩变换有变换分式的分子和 1 1 1 1 1 2 1 分母,如 2< , 2> , < , > k k k?k-1? k?k+1? k k k+ k-1 2 k+ k+1 .上面不等式中 k∈N*,k>1.

a 利用函数的单调性,真分数性质“若 0<a<b,m>0,则 < b a+m ”,添加或减少项,利用有界性等. b+m (2)在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均有一个度.

变式思考 3

1 1 1 求证:1+ + +?+ <2 n(n∈N*). 2 3 n

1 1 证明 ∵ k- k-1 = > , k+ k-1 2 k 1 ∴ <2( k- k-1). k 1 令 k=1,2,3,?,n,则有 <2( 1- 0), 1

1 1 <2( 2- 1), <2( 3- 2), 2 3 ? 1 <2( n- n-1). n 1 1 1 各式相加,1+ + +?+ <2 n(n∈N*). 2 3 n

考点四

柯西不等式的应用

【例 4】 (2014· 福建卷)已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1| +|x-2|的最小值为 a. (1)求 a 的值; (2)若 p,q,r 为正实数,且满足 p+q+r=a,求证:p2+q2 +r2≥3.

听课记录

(1)∵|x+1|+ |x-2|≥ |(x+1)-(x-2)|=3,

当且仅当-1≤x≤2 时,“=”成立, ∴f(x)的最小值等于 3,即 a=3. (2)由(1),知 p+q+r=3,又 p,q,r 是正实数, ∴ (p2 + q2 + r2)(12 + 12 + 12)≥(p×1 + q×1 + r×1)2 = (p + q + r)2=9. 即 p2+q2+r2≥3.

【规律方法】

如果没有定值,就不能直接利用柯西不等式

求解最值,此时要灵活利用已知条件通过变形进行处理,如添项、 拆项、重排、改变式子的结构等方法,构造出定值之后才能利用 柯西不等式求解最值.

变式思考 4

设 a, b, c 为正数, a+b+4c2=1,则 a+ b+

2c 的最大值是________,此时 a+b+c=________.

解析
2 ? 2

由柯西不等式得 (a + b + 4c
2

2

? 1? )?1+1+2?= [( ? ?

a )2 + ( b )2

+(2c) ]· ?1 +1
?

?

? +? ? ?

? 2? ?2? 2 ≥ ( a + b + 2 c ) , ? 2? ? ?

因此

a+
2

b+

2 c≤

?a+b+4c

2

? 1? ??1+1+2? ? ?

10 = 2

10 a b 2c × a+b+4c = 2 , 当且仅当 1 = 1 = =2 2c, 即 a= b= 2 2 2 2c,此时 a=b=8c2,

因此 a+b+4c2=8c2+8c2+4c2=20c2=1, 解得 c= 5 2 ,a=b= , 10 5

2 2 5 8+ 5 因此 a+b+c= + + = . 5 5 10 10

答案

10 2

8+ 5 10


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