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江苏省数学竞赛提优教案:第20讲 共点共线共圆问题


第 20 讲 共点、共线与共圆问题 本节主要内容有共点、共线与共圆概念及常用证明方法.所谓共点,指 n 条(n≥3)直线 经过同一点. 或 n 个(n≥3)圆经过同一点; 共线, 指的三个及以上的点在同一条直线上; 共 圆,指不在一条直线上的三点确定一个圆,以及有四点或四个以上的点在同一个圆上.证明 中常用到 Menelaus 定理、Ceva 定理、Fermat 点、Simson 线、Euler 线、四点共圆等知识. A 类例题 例 1 设线段 AB 的中点为 C,以 AC 为对角线作平行四边形 AECD、 D G A C K E F BFCG,又作平行四边形 CFHD、CGKE,求证:H、C、K 三点共线. 分析 C 为 AB 中点, 若 C 为 HK 的中点, 则 AKBH 为平行四边形. 反 之,若平行四边形成立,则 H、C、K 共线. 证明 连 AK、DG、BH. ∵ AD∥EC∥KG,AD=EC=KG,∴ 四边形 AKGD 是平行四边形. ∴ AK∥GD,AK=GD. 同理,BH∥GD,BH=GD,∴ BH∥AK,BH=AK, ∴ 四边形 AKBH 是平行四边形.故 AB、HK 互相平分,即 HK 经过 AB 的中点 C. ∴ H、C、K 三点共线. 说明 证明具有特殊的性质的几个点共线. H B 链接 点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第 三点;证明三点组成的三角形面积为零;还可以利用 Menelaues 定理及其逆定理证明三点 共线等.n(n≥4)点共线可转化为三点共线. 例 2 求证:过圆内接四边形各边中点向对边所作的四条垂线,交于一点. 分析 画出图形,是必要的,可以研究一下两条垂线的交点的性质,不难发现证明的方 法. 证明 若 ABCD 是特殊图形(矩形、等腰梯形),易知结论成立. 如图,设圆内接四边形 ABCD 的对边互不平行.E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的 中点,EE'⊥CD,FF'⊥DA,GG'⊥AB,HH'⊥BC,垂足分别为 E',F',G',H'. 设 EE'与 GG'交于点 P.∵ E 为 AB 中点,∴ OE⊥AB,∴OE∥EE'. 同理,OG∥EE'.∴ OEPG 为平行四边形. ∴ OP、EG 互相平分.即 OP 经过 EG 中点 M. 同理,设 FF'与 HH'交于 Q,则 OQ 经过 FH 中点 N. ∵ E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点, ∴ EFGH 是平行四边形,∴EG、FH 互相平分,即 EG 的 中点就是 FH 的中点于是 M 与 N 重合. ∴ OP、OQ 都经过点 M 且 OP=OQ=2OM. ∴ P、Q 重合,即四条垂线交于一点. 说明 本题利用了两条直线的交点具有某种性质来证明三线共点. 链接 证明线共点还可用有关定理(如三角形的 3 条高线交于一点、Ceva 定理及逆定 理等),或证明第 3 条直线通过另外两条直线的交点,也可转化成点共线的问题给予证明. 例 3 ⊙O1 与⊙O2 相交于点 A、B,P 为 BA 延长线上一点, 割线 PCD 交⊙O1 于 C、D,割线 PEF 交⊙O2 于 E、F, 求证:C、D、E、F 四点共圆. 分析 可以通过 C、D、E、F 连成的四边形的对角互补或 四边形的外角等于内对角来证明. 证明 链接 CE、D F,PC·PD=PA·PB=PE·PF. 于是,Δ PCE∽Δ PFD, ∴ ∠PEC=∠PDF. ∴ C、D、E、F 共圆. O1 D B C E

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