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高中奥林匹克物理竞赛解题方法 十 假设法


十、假设法
方法简介
假设法是对于待求解的问题,在与原题所给条件不相违的前提下,人为的加上或减去 某些条件,以使原题方便求解。求解物理试题常用的有假设物理情景,假设物理过程,假设 物理量等,利用假设法处理某些物理问题,往往能突破思维障碍,找出新的解题途径,化难 为易,化繁为简。

赛题精析
例 1 如图 2—10—1 所示,一根轻质弹簧上端固定,下端挂一质量为 m0 的平盘,盘中 有一物体,质量为 m.当盘静止时,弹簧的长度比其自然长度伸长了 L.今向下拉盘使弹簧再 伸长△L 后停止,然后松手放开.设弹簧总处在弹性限度以内,则刚松开手时盘对物体的支 持力等于( ) A.(1+△L/L)mg B.(1+△L/L)(m+m0)g C.△Lmg D.(△L/L)(m+m0)g

解析 此题可以盘内物体为研究对象受力分析, 根据牛顿第二定律列出一个式子, 然 后再以整体为研究对象受力分析, 根据牛顿第二定律再列一个式子和根据平衡位置的平衡条 件联立求解,求解过程较麻烦。若采用假设法,本题将变得非常简单。 假设题中所给条件△L=0, 其意义是没有将盘往下拉, 则松手放开, 弹簧长度不会变化, 盘仍静止,盘对物体的支持力的大小应为 mg. 以△L=0 代入四个选项中,只有答案 A 能得 到 mg.由上述分析可知,此题答案应为 A. 例 2 如图 2—10—2 所示,甲、乙两物体质量 分别为 m1=2kg, m2=3kg,叠放在水平桌面上。已知 甲、乙间的动摩擦因数为μ 1=0.6,物体乙与平面间 的动摩因数为μ 2=0.5,现用水平拉力 F 作用于物体 乙上,使两物体一起沿水平方向向右做匀速直线运动,如果运动中 F 突然变为零,则物体 甲在水平方向上的受力情况(g 取 10m/s2) A.大小为 12N,方向向右 B.大小为 12N,方向向左 C.大小为 10N,方向向右 D.大小为 10N,方向向左 解析 当 F 突变为零时,可假设甲、乙两 物体一起沿水平方运动,则它们运动的加速度可 由牛顿第二定律求出。由此可以求出甲所受的摩 擦力,若此摩擦力小于它所受的滑动摩擦力,则 假设成立。反之不成立。 如图 2—10—2—甲所示。假设甲、乙两物体一起沿水平方向运动,则 2—10—2—甲由 牛顿第二定律得: f2=(m1+m2)a ① f2=μ N2=μ 2(m1+m2)g ② 2 由①、②得:a=5m/s

可得甲受的摩擦力为 f1=m1a=10N 因为 f=μ 1m1=12N f1<f 所以假设成立,甲受的摩擦力为 10N,方向向左。应选 D。 例3 一升降机在箱底装有若干个弹簧,如图 2—10—3 所示,设在某次事故中,升 降机吊索在空中断裂, 忽略摩擦力, 则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过 程中 ( ) A.升降机的速度不断减小 B.升降机的速度不断变大 C.先是弹力做的负功小于 重力做的正功,然后是 弹力做的负功大于重力 做的正功 D.到最低点时,升降机加速度的值一定大于重力加速度的值 解析 升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程, 它受重力、 弹簧弹力 两个力作用。当重力大于弹力时速度继续增大,当重力等于弹力时速度增大到最大,当重力 小于弹力时,速度开始减小,最后减为零,因而速度是先增大后减小,所以选项 C 正确。 假设升降机前一运动阶段只受重力作用,做初速度为零的匀加速直线运动,它下降了 h 高度,末速度为 v,则 v2=2gh 后一运动阶段升降机只受弹力作用,做初速度为 v、末速度为零的匀减速直线运动,把 弹簧压缩了 x,则 v2=2ax 所以 2gh=2ax

?F ? 而a ?
m

0 ? kx 2 , 所以2hg ? 2( kx ) x, 即 kx ? 2h m 2m mg x

因为 h ? x, 所以

kx kx ? m g 2m g ? m g ? 2,即a低 ? ? ? g , 所以选项 D 也正确. mg m m

例 4 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的 夹角为θ =30°,如图 2—10—4 所示。一长为 L 的绳(质量不计) ,一端固定在圆锥体的顶 点 O 处,另一端拴着一个质量为 m 的小物体(可看做质点) 。物体以速度 v 绕圆锥体的轴线 在水平面内做匀速圆周运动。 (1)当 v1 ?

gL 时,求绳对物体的拉力; 6 3 gL ,求绳对物体的拉力。 2

(2) v 2 ?

解析 当物体以某一速率绕圆锥体的轴线做水平匀面内的匀速圆周运动时,可能存在 圆锥体对物体的弹力为零的临界状况, 此时物体刚好与圆锥面接触但不发生形变。 而当速率

变大时,物体将脱离圆锥面,从而导致绳对物体的拉力大小和方向都要变化。因此,此题的 关键是先求出临界状态下线速度的值。 以小物体为研究对象,假设它与圆锥面接触,而没有弹力作用。受力如图 2—10—4— 甲所示,根据运动定律得: Tcos θ =mg ① Tsinθ =

m v2 L sin ?



解得: v ?

3gL 6
gL ? v 所以物体 m 与圆锥而接触且有压力,受力如图 2—10—4—乙 6


(1)因为 v1 ?

所示,由运动定律得 T1cosθ +Nsinθ =mg T1sinθ -Ncosθ =m 解得拉力: T1 ? (2)因为 v 2 ?

v12 L sin ?



mg (3 3 ? 1) 6

3 gL ? v ,所以物体 m 脱离圆锥面,设绳子与轴线的夹角为 ? ,受力 2

如图 2—10—4—丙所示,由运动定律得:
2 v2 T2 sin ? ? m L sin ?



T2 cos? ? mg



解得绳子拉力:T2=2mg 例 5 如图 2—10—5 所示,倾角为α 的斜面和倾角为β 的斜面具有共同的顶点 P,在 顶点上安装一个轻质小滑轮,重量均为 W 的两物块 A、B 分别放在两斜面上,由一根跨过 滑轮的细线连接着,已知倾角为α 的斜面粗糙,物块 与斜面间摩擦因数为μ ;倾角为β 的斜面光滑, 为了使两物块能静止在斜面上,试列出α 、β 必 须满足的关系式。 解析 因题目中没有给出具体数值,所以 精糙斜面上物块的运动趋势就不能确定,应考虑两种可能。 令细线的张力为 T,假设物块 A 有沿斜面向上运动的趋势时,对 A 物块有 T-μ Wcosα =Wsinα 对 B 物块有:T=Wsinβ 两式联立解得:sinβ =sinα +μ cosα 同理,假设物块 A 有沿斜面向下运动的趋势时,可解得

sinβ =sinα -μ cosα 因此,物块静止在斜面上时两倾角的关系为 sinα -μ cosα ≤sinβ ≤sinα +μ cosα 例6 如图 2—10—6 所示,半径为 r 的铅球内有一半径为

r 的球形空腔,其表面与球 2

面相切,此铅球的质量为 M,在铅球和空腔 的中心连线上,距离铅球中心 L 处有一质量为 m 的小球 (可以看成质点) ,求铅球小球的引力。 解析 设想把挖去部分用与铅球 同密度的材料填充,填充部分铅球的质 量为 M1.为了抵消填充球体产生的引力, 我们在右边等距离处又放置一个等质量 的球体。如图 2—10—6 甲所示。 设放置的球体的质量为 M1, 则 M1 ? ? ? ? ( ) ?
3

4 3

r 2

1 1 M0 ? M 8 7

填补后的铅球质量:M0=M+M1=8M/7. 则原铅球对小球引力为

F ? F0 ? F1 r ? GM 0 m / L2 ? GM 1 m( L ? ) 2 2 2 ? 8GMm / 7 L ? 4GMm / 7(2 L ? r ) 2 ? (4GMm / 7)[2 / L2 ? 1 /(2 L ? r ) 2 ]
例7 三个半径为 r、质量相等的球放一在 一个半球形碗内,现把第四个半径也为 r,质量也 相等的相同球放在这三个球的正上方,要使四个球 都能静止,大的半球形碗的半径应满足什么条件? 不考虑各处摩擦。 解析 假设碗的球面半径很大,把碗面变成平面。因为各接触面是光滑的,当放上第 四个球后,下面的三个球会散开,所以临界情况是放上第四个球后,下面三个球之间刚好无 弹力。把上面的球记为 A,下面三个球分别记为 B、C、D,则四个球的球心连起来构成一 个正四面体,正四面体的边长均 2r,如图 2—10—7 所示。 设 A、B 球心的连线与竖直方向的夹角为α ,设碗面球心为 O,O 与 B 球心的连线与竖 直方向的夹角为β ,碗面对上面三个球的作用力都为 F,如图 2—10—7—甲所示。先以整 体为研究对象,受重力、碗面对三个球的弹力 F,在竖直方向上有 3Fcosβ =4mg ① 再以 B 球为研究对象,受重力 mg、碗面对 B 球的作用力 F、A 球对 B 的压力 FN,根 据共点力平衡条件,有

?F cos ? ? m g ? FN cos? ? ?F sin ? ? FN sin ?
消去 FN,得:

tan ?

F sin ? F cos ? ? m g



①、②联立,消去 F 得:

tan ? ?

1 tan ? 4



因为四个球的球心构成一个边长为 2r 正四面体,如图 2—10—7 所示,根据几何关系, 可以知道:

BO? tan? ? ? AO?

BO? AB 2 ? BO ? 2

?

2 3 ? ? 2r 3 2 ( 2r ) 2 ? ( 2 3 2 r) 3

?

1 2

代入③式得: tan ? ?

1 4 2 BO? ? r ? BO? 1 ? cot2 ? ? r =7.633r sin ?

于是碗面的半径为 R ? BO ? r ?

所以半球形碗的半径需满足 R≤7.633r. 例 8 如图 2—10—8 所示,一根全长为 L、 粗细均匀的铁链,对称地挂在轻小光滑的定滑 轮上,当受到轻微的扰动,铁链开始滑动,当铁 链下降 L1(L1≤L/2)的瞬间,铁链的速度多大? 解析 在铁链下降时,只有重力做功,机 械能守恒。 当铁链下降 L1 时, 如图 2—10—8—甲所示, 假设此位置是把左侧铁链下端 AB=L1 段剪下来再接到右侧铁链的下端 CD 处实现的。 设铁链的总质量为 m,铁链下降到 L1 时,L1 段中心下降 L1 高,所以重力做功

W?

2 m gL m 1 L1 gL1 ? L L

2 1 2 m gL 1 根据机械能守恒定律: m v ? 2 L

解得铁链的速度: v ?

2g L1 L

例9 如图 2—10—9 所示,大小不等的两个容器被一根细玻璃管连通,玻璃管中有 一段水银柱将容器内气体隔开(温度相同) ,当玻璃管竖直放置时,大容器在上,小容器在 下, 水银柱刚好在玻璃管的正中间, 现将两容器同时降低同样的温度, 若不考虑容器的变化, 则细管中水银柱的移动情况是 ( ) A.不动 B.上升 C.下降 D.先上升后下降 解析 只要假设水银柱不动, 分析气体压强随温度的变化情况, 就可判定水银柱怎样 移动。 假设水银柱不移动,则两部气体的体积都不变,根据查理定律,有:

p p ? ?p ? T T ? ?T 化简为: ?p ? 有?p A ? ?T p T

?T ?T p A , ?p B ? pB T T 由于p A ? p B , 所以?p A ? ?p B , 水银柱向下移动故选 . C
例 10 如图 2—10—10 所示,将一定量的水银灌入 竖直放置 的 U 形管中,管的内径均匀,内直径 d=1.2cm. 水银灌完后,两管听水银在平衡位置附近做简谐振动,振 动周期 T=3.43s. 已知水银的密度ρ =1.36× 4kg/m3.试求水 10 银的质量 m . 解析 题中水银做简谐振动,已知振动周期要求水银的质量 m . 根据简谐振动的周 期公式 T ? 2?

m ,T 已知,关键是求出 k . 简谐振动的物体受的回复力 F=-kx,找出 F k

与 x 的关系,求出 k,问题就可以求解. 如图 2—10—10 所示,设水银离开平衡位置的距离为 xcm, 则回复力为

F?

?
4

d 2 ? 2 x ? ?g F ? 2 ? d ?g x 2

由回复力的大小 F=kx,得: k ? 根据 T ? 2?

m k

解得水银的质量

m?

T 2 k T 2 d 2 ?g (3.43) 2 ? (0.012) 2 ? (1.36 ? 104 ) ? 9.8 ? ? ? 9kg 8? 8 ? 3.14 4? 2

例 11 热气球是靠加热气球内部空气排除部分气体而获得上升动力的装置,现外界 气体温度是 15℃, 密度为 1.2kg/m3,气球内、 外气压相等, 要用容积 1000m3 的气球吊起 200kg 的重物,必须把气球内的空气温度加热到多少才行?(取 g=10m/s2) 解析 加热气球内的气体时,气体被排出,质量减少,在浮力不变的情况下,使 F 浮 ≥G 总时,热气球升空.这里出现了气体质量减小的变质量问题,为应用三大实验定律只有依 靠假设法,在此,为应用等压变化规律,假设升温后排出去的气体与留在热气球内的气体状 态相同,如图 2—10—11 所示。 初态体积 V1=V0,末态体积 V2=V0+△V0 气体质量 m=ρ V0=1.2kg/m3× 1000m3=1.2× 3kg 10 F 浮=ρ 空 gV0≥G 总=(m′+m 物)g 代入已知数据:1.2× 103≥(m′+200)× 10× 10 3 得 m′≤1.0× (kg) 10 其中 m 是加热前热气球内空气质量,m′为 加热后热气球内空气质量.

△m=m-m′=1.2× 3kg-10× 3kg=200kg 10 10 当密度相同时,

?m ?V ?m ? , 所以?V ? V0 ? 200m 3 m? V0 m?

对等质量、等压的气体应用盖·吕萨克定律 初态 V=V0=103m3 T1=273+15=288k 未态 V2=V0+△V=1.2×103m3 根据:

V1 T1 ? V2 T2

解得加热后气体温度:T2=

V2 T1=345.6K=72.6℃. V1

例 12 0.2L 的氧气瓶内,装有 4g 氧气,在室温为 0℃时,瓶内氧气的压强是多少? 解析 本题乍一看似乎缺少已知量,更无法利用理想气体状态方程,但当我们假设 这些氧气的标准状态为初态时,则问题就可以解决了. 假设这些氧气的初态为标准状态,则有

V1 ?

4 ? 22.4 L 32 p1 ? 1atm

T1 ? 273K
由已知该氧气的末状态为 V1=0.2L, T2=273K,p2 未知, 由于 T1=T2,所以根据玻意耳定律 p1V1=p2V2 解得 p2=1.4atm 例 13 如图 2—10—12 所示, 用导热材料制成的两端开口的 U 型管 ABCD, 其中 AB 2 2 高 L1=24cm,CD 高 L2=20cm,截面积分别为 SAB=1cm , SCD=2cm ,开始时两管均有高 h=16cm 的水银柱,现用两个橡皮帽将两个管口封闭,打开下方的阀门 K,有注射器从底部缓慢抽出 水银,当其中的一个管内的水银被抽干时立即关闭阀门 K.(已知大气压强为 p0=75cmHg) (1)请你判断首先被抽干的是哪一管中的水银? (2)另一只管中剩余的水银柱高度为多少? 解析 求解这一类题时,应根据可解的情况 先做出必要的假设,然后按着所做出的假设进行推 理,在推理过程中,对所做假设做出否定或认同即 可求解. 假设左管内水银先被抽干,并设这时右管内剩余 水银柱的高度为 x,对左管内封闭气体用玻意耳定律有 p1V1=p1′V1′

? 可得 p1 ?

V1 (24 ? 16)S p1 ? ? 75 ? 25cmHg V1? 24S

所以右管内气体压强为 p2′=(25-x)cmHg 再对右管内被封气体,根据玻意耳定律得: 75(20-16)SCD=(25-x)(20-x)SCD

整理得:x2-45x+200=0 解得:x=5cm 或 40cm(不合题意舍去) 在根据以上假设列的方程中,有满足题设的实数解,故所做假设成立,即左管内水银 先抽干,且此时右管内剩余水银柱高度为 5cm . 例 14 如图 2—10—13 所示,正四面体 ABCD 各面均为导体,但又彼此绝缘,已知带 电后四个面的电势分别为 ? 1, ? 2, ? 3, ? 4, 求四面体中心点的电势. 解析 保持四面体不动,假设按照一定 方式调换四个面上的电荷,即假设四个面的电荷 绕中心 O 转动,结果会得到正四面体的四个面的若干带电模式,由于转动时并未改变各面 电荷之间的相对位置, 所以各种模式在中心 O 点的电势 ? 0 都相同。 现假设将四种模式叠加, 则 O 点电势应为 4 ? 0 。另一方面,四处模式叠加后,正四面体的每个面的电势皆为 ? 1+ ? 2+ ? 3+ ? 4,这时正四面体构成一近似封闭的等势面,它所包围的空间(其中无电荷) 就近似为一等势体,因此 O 点的电势为 ? 1+ ? 2+ ? 3+ ? 4。 所以上分析得出:4 ? 0= ? 1+ ? 2+ ? 3+ ? 4 所以中心点的电势 ? 0=

1 ( ? 1+ ? 2+ ? 3+ ? 4) 4

例 15 有一半径为 R 的不导电的半球薄壳,均匀带电,倒扣在 xOy 平面上,如图 2 —10—14 所示,图中 O 为球心,ABCD 为球壳边缘,AOC 为直径。有一电电为 q 的点电荷 位于 OC 上的 E 点,OE=r。已知将此点电荷由 E 点缓慢移至球壳顶点 T 时,外力需要做功 W(W>0) ,不计重力影响. (1)试求将此点电荷由 E 点缓慢移至 A 点外力需做功的正负、大小,并说明理由; (2)P 为球心正下方的一点,OP=R.试求将此点 电荷由 E 点缓慢移至 P 点,外力需做功的正负及大小, 并说明理由. 解析 (1)假设取另一完全相同的带电半球壳 扣在题给的半球壳下面,构成一个完整的地均匀带电球 壳,则球壳及其内部各点电势都相等,令 U 表示此电势。 根据对称性可知,上下两个半球壳分别在圆面 ABCD 上各 点引起的电势是相等的,再由电势叠加原理可知,当只有上半球壳存在时,圆面 ABCD 上 各点的电势都应为完整球壳内电势的一半,即 U/2,所以将电荷由 E 点移至 A 点的过程中, 外力做功为零。 (2)对完整球壳,E 点与 T 点等势,电势差为零。由电势叠加原理可知,若上半球壳 在 T、E 两点形成的电势差为(UT-UE),则下半球壳在 T、E 两点形成的电势差必为-(UT- UE).已知 W=q(UT-UE).所以在下半球产生的电场中,q 由 E 到 T 外力做功必为-W.由对称 性可知,在上半球壳产生的电场中,q 由 E 到 P 外力的功刀必为-W. 例 16 无穷方格电阻丝网格如图 2—10—15 所示, 其中每一小段电阻丝的电阻均为 r,试求相邻两个格点 A、B 间的等效电阻 RAB. 解析 假设从 A 点注入电流 I,根据对称性, 追踪一条支路,再根据欧姆定律可求出 RAB. 假设电流 I 从 A 点流入,不从 B 点流出,I 将

分流到无穷远处。据对称性,其中有

I 流经 AB 段。 4

再假设电流 I 不是从 A 点流入,而是从无穷远处流向 B 点,从 B 点流出,据对称性,其中也有 I/4 流经 AB 段。现在假设电流 I 从 A 点流入,经 过足够长的时间达稳定后,从 B 点流出的电流也应为 I,经 AB 段的电流为两个 I/4 的叠加, 如图 2—10—15—甲所示, 即为

I I , 于是有 UAB=( )r.所以 AB 间的等效电阻 RAB=UAB/I=r/2. 2 2


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