当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学联赛解答题训练2


高中数学联赛(一试)解答题训练 2
1. a, b 是两个不相等的正数,且满足 a 3 ? b 3 ? a 2 ? b 2 ,求所有可能的整数 c,使 得 c ? 9ab .

2.已知不等式

1 1 1 1 a 对一切正整数 a 均成立,求正 ? ? ? ... ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24

整数 a 的最大值,并证明你的结论。

2 2 3.设 ?an ? 为 a1 ? 4 的单调递增数列,且满足 an ?1 ? an ? 16 ? 8(an ?1 ? an ) ? 2an ?1an ,

求{ a n }的通项公式。

4. (1)设 x ? 0, y ? 0, 求证: (2)设 x ? 0, y ? 0, z ? 0, 求证:

x2 3x ? y ? ; x? y 4

x3 y3 z3 xy ? yz ? zx ? ? ? . x? y y?z z?x 2

高中数学联赛(一试)解答题训练 2
1. a, b 是两个不相等的正数,且满足 a 3 ? b 3 ? a 2 ? b 2 ,求所有可能的整数 c,使 得 c ? 9ab . 解:由 a 3 ? b 3 ? a 2 ? b 2 得 a 2 ? ab ? b 2 ? a ? b ,所以 ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) ? 0 , 由此得到 a ? b ? 1 . 1 4 又因为 (a ? b) 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) ,故 1 ? a ? b ? . 4 3 4 又因为 ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) , 令 t ? a ? b ? (1, ) 则 ab ? t 2 ? t . 3 4 当 t ? 1 时, t 2 ? t 关于 t 单调递增,所以 0 ? ab ? , 0 ? 9ab ? 4 . 9 因此 c 可以取 1,2,3.

1 1 1 1 a 对一切正整数 a 均成立,求正 ? ? ? ... ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24 整数 a 的最大值,并证明你的结论。 1 1 1 1 13 先证 f(n)= 单调递增,则 f(1)= 最小 ? ? ? ... ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 12 13 a 故 > , 即a ? 26, 所以a ? 25 . 12 24

2.已知不等式

2 2 3.设 ?an ? 为 a1 ? 4 的单调递增数列,且满足 an ?1 ? an ? 16 ? 8(an ?1 ? an ) ? 2an ?1an ,

求{ a n }的通项公式。
2 2 解: an ?1 ? an ? 16 ? 8(an ?1 ? an ) ? 2an ?1an

? (an ?1 ? an )2 ? 8(an ?1 ? an ) ? 16 ? 4an?1an

) ? (an ?1 ? an ? 4)2 ? 4an ?1an ? an ?1 ? an ? 4 ? 2 an ?1an (由题意可知取正号。
? ( an ?1 ? an ) 2 ? 4 ? an ?1 ? an ? 2

因此,

? a ? 公差为2的等差数列,即
n

an ? 2n 。从而可得 an ? 4n 2

x2 3x ? y ? ; 4. (1)设 x ? 0, y ? 0, 求证: x? y 4 (2)设 x ? 0, y ? 0, z ? 0,
x3 y3 z3 xy ? yz ? zx ? ? ? . 求证: x? y y?z z?x 2

证明: (1)?

x2 3x ? y ( x ? y ) 2 x2 3x ? y ? ? ? 0 ,∴ ? . x? y 4 4( x ? y ) x? y 4 x3 3x 2 ? xy ? . x? y 4

(2)由(1)得 类似的

y3 3 y 2 ? yz z3 3z 2 ? zx ? ? , , y?z 4 z?x 4

x3 y3 z3 3x 2 ? xy ? 3 y 2 ? yz ? 3z 2 ? zx ? ? ? ∴ x? y y?z z?x 4

3( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? xy ? yz ? zx 4 3( xy ? yz ? zx) ? xy ? yz ? zx ? 4 xy ? yz ? zx ? 2 ?


相关文章:
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(2)
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(2)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(2) 1、 设 xi (i ? 1, 2,3, 4) 为正实数,满足 x1 ? 1, x1 ? x...
(答案)(打印) 高中数学竞赛训练试题一、二、三
(答案)(打印) 高中数学竞赛训练试题一、二、三_学科竞赛_小学教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题 1、答案: 13 个. ? 2 ?...
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(21)
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(21)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(21) 1 、已知四边形 ABCD 是等腰梯形, AD ∥ BC ,把 ?ABC 绕点 C 旋转...
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(3)
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(3)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(3) 1.设 a1,a2,…,a10 是十个两两不同的正整数,它们的和为 1995,试求 ...
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(65)
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(65)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(65) 1.如图 10,⊙O 是△ABC 的边 BC 外的旁切圆,D、E、F 分别为⊙O...
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(84)
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(84)_学科竞赛_高中教育_教育专区。加试模拟训练题(84) 1.设AD是?ABC的高,且D在BC边上,若P是AD上任一点,BP、CP分别与AC...
高中数学联赛培训题(2)
高中数学联赛培训题(七)一、选择题(每小题 6 分) : x 2 ? 4x ? 5 1...10 的所有不同情况共有三、解答题(每小题 20 分) : 种。 13.已知 ?ABC...
2013年全国高中数学联赛(一试+二试)试题及答案
高中教育 学科竞赛2​0​1​3​年​全​国​高​中​数​学​联​赛​(​一​试​+​二​试​)​试​题​及​答...
高中数学联赛数列基础练习题2
高中数学联赛数列基础练习题2_数学_高中教育_教育专区。高中数学联赛数列基础练习题 (考试时间:100 分钟) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. 设函...
2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试、二试(加试...
2016年全国高中数学联赛试题解答A卷(一试、二试(加试)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016高中数学来赛试题解答 加试 文档贡献者 nmbtxz 贡献于2016-09-12 ...
更多相关标签: