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高中数学联赛解答题训练2


高中数学联赛(一试)解答题训练 2
1. a, b 是两个不相等的正数,且满足 a 3 ? b 3 ? a 2 ? b 2 ,求所有可能的整数 c,使 得 c ? 9ab .

2.已知不等式

1 1 1 1 a 对一切正整数 a 均成立,求正 ? ? ? ... ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24 整数 a 的最大值,并证明你的结论。

2 2 3.设 ?an ? 为 a1 ? 4 的单调递增数列,且满足 an ?1 ? an ? 16 ? 8(an ?1 ? an ) ? 2an ?1an ,

求{ a n }的通项公式。

4. (1)设 x ? 0, y ? 0, 求证: (2)设 x ? 0, y ? 0, z ? 0, 求证:

x2 3x ? y ? ; x? y 4

x3 y3 z3 xy ? yz ? zx ? ? ? . x? y y?z z?x 2

高中数学联赛(一试)解答题训练 2
1. a, b 是两个不相等的正数,且满足 a 3 ? b 3 ? a 2 ? b 2 ,求所有可能的整数 c,使 得 c ? 9ab . 解:由 a 3 ? b 3 ? a 2 ? b 2 得 a 2 ? ab ? b 2 ? a ? b ,所以 ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) ? 0 , 由此得到 a ? b ? 1 . 1 4 又因为 (a ? b) 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) ,故 1 ? a ? b ? . 4 3 4 又因为 ab ? (a ? b) 2 ? (a ? b) , 令 t ? a ? b ? (1, ) 则 ab ? t 2 ? t . 3 4 当 t ? 1 时, t 2 ? t 关于 t 单调递增,所以 0 ? ab ? , 0 ? 9ab ? 4 . 9 因此 c 可以取 1,2,3.

1 1 1 1 a 对一切正整数 a 均成立,求正 ? ? ? ... ? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24 整数 a 的最大值,并证明你的结论。 1 1 1 1 13 先证 f(n)= 单调递增,则 f(1)= 最小 ? ? ? ... ? n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 12 13 a 故 > , 即a ? 26, 所以a ? 25 . 12 24

2.已知不等式

2 2 3.设 ?an ? 为 a1 ? 4 的单调递增数列,且满足 an ?1 ? an ? 16 ? 8(an ?1 ? an ) ? 2an ?1an ,

求{ a n }的通项公式。
2 2 解: an ?1 ? an ? 16 ? 8(an ?1 ? an ) ? 2an ?1an

? (an ?1 ? an )2 ? 8(an ?1 ? an ) ? 16 ? 4an?1an

) ? (an ?1 ? an ? 4)2 ? 4an ?1an ? an ?1 ? an ? 4 ? 2 an ?1an (由题意可知取正号。
? ( an ?1 ? an ) 2 ? 4 ? an ?1 ? an ? 2

因此,

? a ? 公差为2的等差数列,即
n

an ? 2n 。从而可得 an ? 4n 2

x2 3x ? y ? ; 4. (1)设 x ? 0, y ? 0, 求证: x? y 4 (2)设 x ? 0, y ? 0, z ? 0,
x3 y3 z3 xy ? yz ? zx ? ? ? . 求证: x? y y?z z?x 2

证明: (1)?

x2 3x ? y ( x ? y ) 2 x2 3x ? y ? ? ? 0 ,∴ ? . x? y 4 4( x ? y ) x? y 4 x3 3x 2 ? xy ? . x? y 4

(2)由(1)得 类似的

y3 3 y 2 ? yz z3 3z 2 ? zx ? ? , , y?z 4 z?x 4

x3 y3 z3 3x 2 ? xy ? 3 y 2 ? yz ? 3z 2 ? zx ? ? ? ∴ x? y y?z z?x 4

3( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? xy ? yz ? zx 4 3( xy ? yz ? zx) ? xy ? yz ? zx ? 4 xy ? yz ? zx ? 2 ?


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