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高考数学知识模块复习能力训练——简单几何体


高考数学知识模块复习能力提升综合训练

——简单几何体
一、选择题 1. 如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆, 那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为 ( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

B.

/>? 2

2.如图 8-22,用一个平面去截一个正方体,得到一个三棱锥。在这个三棱锥中,除截面 外的三个面的面积分别为 S1、S2、S3,则这个三棱锥的体积为( ) A.V=

2 S1 S 2 S 3 3 2S1 S 2 S 3 3

B.V=

2S1 S 2 S 3 3 S1 S 2 S 3 6

C.V=

D.V=

3.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( A.必定都不是直角三角形 B.至多有一个直角三角形 C.至多有两个直角三角形 D.可能都是直角三角形



4.长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上, 则这个球面的表面积为( ) A.

7? 2

B.56π

C.14π

D.64π

5. 把一个半径为 R 的实心铁球熔化铸成两个小球 (不计损耗) , 两个小球的半径之比为 1∶ 2,则其中较小球半径为( ) A.

1 R 3

3

B.

3 R 3

3

C.

25 R 5

D.

3 R 3

6.棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应 的截面面积分别为 S1、S2、S3,则( )

A.S1<S2<S3

B.S3<S2<S1

C.S2<S1<S3

D.S1<S3<S2

7. 图 8-23 中多面体是过正四棱柱的底面正方形 ABCD 的顶点 A 作截面 AB1C1D1 而截得的, 且 B1B=D1D。已知截面 AB1C1D1 与底面 ABCD 成 30°的二面角,AB=1,则这个多面体的体积为 ( )

A.

6 2

B.

6 3

C.

6 4

D.

6 6

8.设地球半径为 R,在北纬 30°圈上有甲、乙两地,它们的经度差为 120°,那么这两 地间的纬线之长为( ) A.

3 πR 3

B. 3 π R

C .π R

D.2π R

9.如图 8-24,在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面 都接触上,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

10.如图 8-25,在三棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P,Q,且满足 A1P=BQ,过 P、 Q、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( )

A.3∶1

B.2∶1

C.4∶1

D. 3 ∶1

11.如图 8-26,下列四个平面形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿两个正方形 的相邻边折叠围成一个立方体的图形是( )

12.已知 A、B、C、D 为同一球面上的四点,且连接每点间的线段长都等于 2,则球心 O 到平面 BCD 的距离等于( ) A.

6 3

B.

6 6

C.

6 12

D.

6 18

二、填空题 13.命题 A:底面为正三角形,且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命 题 A 的等价命题 B 可以是:底面为正三角形,且 的三棱锥是正三棱锥。

14.如图 8-27,在三棱锥 S—ABC 中,E、F、G、H 分别是棱 SA、SB、BC、AC 的中点,截 面 EFGH 将三棱锥分割为两个几何体 AB—EFGH、SC—EFGH,其体积分别是 V1、V2,则 V1∶V2 的值是 。 15.已知三棱锥的一条棱长为 1,其余各条棱长皆为 2,则此三棱锥的体积为 。 16.已知正四棱柱的体积为定值 V,则它的表面积的最小值为 。 三、解答题 17.正四棱台上、下底面边长分别为 a 和 b,上、下底面积之和等于侧面积,求棱台体积。

18.如图 8-28,已知三棱锥 P—ABC 中,PA=PB,CB⊥平面 ABP,PM=MC,AN=3NB。 (1)求证:MN⊥AB; (2)当∠APB=90°,BC=2,AB=4 时,求 MN 的长。

19.如图 8-29,半球内有一内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体 的一边长为 6 ,求半球的表面积和体积。

20.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如图 8-30) ,设容器的高为 h 米,盖子边长为 a 米。 (1)求 a 关于 h 的函数解析式; (2)设容器的容积为 V 立方米,则当 h 为何值时,V 最大?求出 V 的最大值。 (求解本题时,不计容器的厚度)

21.如图 8-31,已知三棱柱 ABC—A′B′C′的底面 ABC 是边长为 a 的正三角形,侧面 ABB′A′是菱形,且∠A′AB=60°,M 是 A′B′的中点,已知 BM⊥AC。 (1)求证:BM⊥平面 ABC; (2)证明:平面 ABB′A′⊥平面 ABC; (3)求棱锥 M—CBB′C′的体积; (4)求异面直线 AA′与 BC 所成角的大小。

22.如图 8-32,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E∈BB1,截面 A1EC⊥侧面 AC1。 (1)求证:BE=EB1; (2)若 AA1=A1B1,求平面 A1EC 与平面 A1B1C1 所成二面角(锐角)的度数。

参考答案 【综合能力训练】 1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 10.B 11.C 12.B 13.侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 14.1∶1 15.

11 6

16.6 3 V 2

17.解:V=

ab (a2+ab+b2) 。 3(a ? b)

18.解(1)取 AB 的中点 D,连结 PD,DC,又取 DC 的中点 E,连 ME,NE,则 ME∥PD, 由 PA=PB,D 为 AB 的中点得 PD⊥AB,∴AB⊥ME。又 AN=3NB,∴N 是 DB 的中点,又 E 是 DC 的中点,则 EN∥CB。∵CB⊥平面 ABP,∴CB⊥AB,∴EN⊥AB 而 ME∩EN=E,∴AB⊥面 MNE, 由此可得 MN⊥AB。 (2)当∠APB=90°,BC=2,AB=4 时,有 PD⊥AB,且 PD=2,∴ME=1,EN=1。由 CB⊥平 面 ABP 可得面 ABC⊥面 PAB,∵PD⊥AB,∴PD⊥面 ABC,又 ME∥PD,∴ME⊥面 ABC,又 EN 面 ABC,∴ME⊥EN。在直角三角形 MNE 中,有 MN= 2 。

19.解

设球的半径为 r,过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α ,则α 截半球面得半

圆,α 截正方体得一矩形,且矩形内接于半圆,如图所示,则矩形一边长为 6 ,另一边长为

2 · 6 =2 3 ,

∴r2=( 6 )2+( 3 )2=9,∴r=3,故 S 半球=2π r2+π r2=27π , V 半球=

2 π r3=18π ,即半球的表面积为 27π ,体积为 18π 。 3

注:本题是正方体内接于半球问题,它与正方体内接于球的问题是有本质差别的,请注 意比较。 20.解(1)设 h′为正四棱锥的斜高,

1 ? 2 a ? 4 ? h' a ? 2, ? ? 2 由已知得 ? 1 ?h 2 ? a 2 ? h ' 2 , ? 4 ?

解得 a=

1 h2 ?1

(h>0)。

(2)V=

1 2 h ha = (h>0), 2 3 3(h ? 1)

易得 V=

1 1 3( h ? ) h



因为 h+

1 1 1 ≥2 h ? =2,所以 V≤ , h 6 h

等号当且仅当 h=

1 ,即 h=1 时取得。 h 1 立方米。 6

故当 h=1 米时,V 有最大值,V 的最大值为

21.解 (1)连结 A′B,由 ABB′A′是菱形, 且∠A′AB=60°,知△A′BB′是正三角形, 故 BM⊥A′B′,即 BM⊥AB, 又 BM⊥AC,得 BM⊥平面 ABC。

(2)由 BM⊥平面 ABC,得平面 A′ABB′⊥平面 ABC。 (3)S △A'B'C ' =

3 2 3 2 a ,S △M 'B 'C ' = a, 4 8 3 a, 2

∵BM⊥平面 A′B′C,BM= ∴V B-MB′C′=

1 1 3 S△MB′C′·BM= a, 3 16 1 3 a。 8

∴VM-CBB′C′=VM—B′BC+VM—C′CB′= 2VB ? MB 'C ' =

(4)作 MN⊥B′C′,垂足为 N,连结 BN, 又 BM⊥B′C,故 B′C′⊥平面 BNM, ∴B′C′⊥BN。在直角△BB′N 中,

∵B′N=

1 1 B' N 1 B′C′= a,BB′=a,∴cos∠BB′N= = 。 4 4 BB ' 4
1 。 4

又∵AA′∥BB′,BC∥B′C′,则∠BB′N 即为异面直线 AA′与 BC 所成的角, 故 AA′与 BC 所成的角的大小为 arccos

22.解 (1)在截面 A1EC 内,过 E 作 EG⊥A1C,G 是垂足。∵面 A1EC⊥面 AC1,∴EG⊥侧 面 AC1,取 AC 的中点 F,连结 BF,FG,由 AB=BC 得 BF⊥AC。∵面 ABC⊥侧面 AC1,∴BF⊥侧 面 AC1,得 BF∥EG。由 BF,EG 确定一个平面,交侧面 AC1 于 FG。∵BE∥侧面 AC1,∴BE∥FG, 四边形 BEGF 是平行四边形,BE=FG。∵BE∥AA1,∴FG∥AA1。又△AA1C∽△FGC,且 AF=FC, ∴FG=

1 1 1 AA1= BB1,即 BE= BB1,故 BE=EB1。 2 2 2 1 1 BB1= CC1 ,∴ 2 2

( 2 )分别延长 CE 、 C1B1 交于点 D ,连结 A1D 。∵ EB1 ∥ CC1 , EB1= DB1=

1 1 DC1=B1C1=A1B1。 ∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°, ∠DA1B1=∠A1DB1= (180°-∠DB1A1)=30°, 2 2

∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°,即 DA1⊥A1C1。∵CC1⊥平面 A1C1B1,即 A1C1 是 A1C 在平 面 A1C1D 上的射影,根据三垂线定理得 DA1⊥A1C1,∴∠CA1C1 是所求二面角的平面角。∵CC1= AA1=A1B1=A1C1, ∠A1C1C=90°,∴∠CA1C1=45°,即所求二面角为 45°。


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