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数学:《柱、锥、台、球的结构特征》教案(新人教A版必修2)


第 1 课时

1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征(一)

教学要求:通过实物模型,观察大量的空间图形,认识柱体、锥体、台体、球体结构特征, 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 教学重点:让学生感受大量空间实物及模型,概括出柱体、锥体、体、球体结构特征. 教学难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括. 教学过程: 一、新课导入:

1. 讨论:经典的建筑给人以美的享受,其中奥秘为何?世间万物,为何千姿百态? 2. 提问:小学与初中在平面上研究过哪些几何图形?在空间范围上研究过哪些? 3. 导入:进入高中,在必修②的第一、二章中,将继续深入研究一些空间几何图形,即学习 立体几何,注意学习方法:直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算. 二、讲授新课: E 1. 教学棱柱、棱锥的结构特征: A (1)提问:举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象? N D (2)讨论:给一个长方体模型,经过上、下两个底面用刀垂直切, B C 得到的几何体有哪些公共特征?把这些几何体用水平 力推斜后,仍然有哪些公共特征? E (3)定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻 A 两个四边形的公共 边都互相平行,由这些面所围成 M D C 的几何体叫棱柱. B → 列举生活中的棱柱实例(三棱镜、方砖、六角螺帽) 结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线. S (4)分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱 柱、五棱柱等. 表示:棱柱 ABCDE-A’B’C’D’E’ (5)讨论:埃及金字塔具有什么几何特征? (6)定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三 角形,由这些面所围成的几何体叫棱锥. E 结合图形认识:底面、侧面、侧棱、顶点、高. A D O → 讨论:棱锥如何分类及表示? B C (7)讨论:棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质?有什么共同的 性质? 棱柱:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相 等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形 棱锥:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似, 其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方. (8)讨论:用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体,所得几何体有何特征? (9) 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台;用一 个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分叫做圆台. →列举生活中的实例 结合图形认识:上下底面、侧面、侧棱(母线) 、顶点、高. 讨论:棱台的分类及表示? 圆台的表示?圆台可如何旋转而得? (10)讨论:棱台、圆台分别具有一些什么几何性质? 棱台:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行的相似多边形;侧面是梯形; 侧棱的延长线相交于一点. 圆台:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形;任意两条母线的延长线交于一点; 母线长都相等. (11) 讨论:棱、圆与柱、锥、台的组合得到 6 个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台 与圆柱、圆锥有什么关系? (以台体的上底面变化为线索)

2. 教学圆柱、圆锥的结构特征: (1) 讨论:圆柱、圆锥如何形成? (2) 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆 柱;以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆 锥. → 列举生活中的棱柱实例 →结合图形认识:底面、轴、侧面、母线、高. → 表示方法 (3) 讨论:棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征? → 柱体、锥体. (4) 观察书 P2 若干图形,找出相应几何体; 举例:生活中的柱体、锥体. (5) 讨论:用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体,所得几何体有何特征? (6) 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台;用一个 平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分叫做圆台. →列举生活中的实例 结合图形认识:上下底面、侧面、侧棱(母线) 、顶点、高. 讨论:棱台的分类及表示? 圆台的表示?圆台可如何旋转而得? (7) 讨论:棱台、圆台分别具有一些什么几何性质? 棱台:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行的相似多边形;侧面是梯形; 侧棱的延长线相交于一点. 圆台:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形;任意两条母线的延长线交于一点; 母线长都相等. (8) 讨论:棱、圆与柱、锥、台的组合得到 6 个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台 与圆柱、圆锥有什么关系? (以台体的上底面变化为线索) 3.教学球体的结构特征: ① 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体,叫球体. →列举生活中的实例 结合图形认识:球心、半径、直径. → 球的表示. ② 讨论:球有一些什么几何性质? ③ 讨论:球与圆柱、圆锥、圆台有何关系?(旋转体) 棱台与棱柱、棱锥有什么共性?(多面体) 4. 小结:几何图形;相关概念;相关性质;生活实例 三、巩固练习:1. 练习:教材 P7 1、2 题. 2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为 12cm,求圆锥的底面半径. 3.已知圆柱的底面半径为 3cm,,轴截面面积为 24cm,求圆柱的母线长. 4.正四棱锥的底面积为 46 cm 2 ,侧面等腰三角形面积为 6 cm 2 ,求正四棱锥侧棱.

§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
学习目标:认识柱、锥、台、球的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
逐步培养观察能力和抽象概括能力.

知识要点:
结 构 特 征 (1)两底面相 互平行,其余各 面都是平行四 边形; (2)侧棱平行 且相等. (1) 两底面相互平行; (2)侧面的母线平行 于圆柱的轴; (3)是以矩形的一边 所在直线为旋转轴, 其 余三边旋转形成的曲 面所围成的几何体.
F A B 侧棱 侧面 F B C E D 顶点 E C 底面 D

图例
A 母线 O B 轴 侧面 A O 底面 B

棱 柱

圆 柱

棱 锥

(1)底面是多 边形,各侧面均 是三角形; (2)各侧面有 一个公共顶点. (1)两底面相 互平行; (2)是 用一个平行于 棱锥底面的平 面去截棱锥,底 面和截面之间 的部分.

圆 锥

(1)底面是圆; (2) 是以直角三角形的一 条直角边所在的直线 为旋转轴, 其余两边旋 转形成的曲面所围成 的几何体. (1) 两底面相互平行; (2)是用一个平行于 圆锥底面的平面去截 圆锥, 底面和截面之间 的部分.

S 侧棱 侧面 F A B E C

顶点

S 轴 母线

底面 D

侧面 A O 底面 B

O F E D B C E C

棱 台

圆 台

侧棱 侧面

A

侧面
底面 D 顶点

母线 A O

轴 底面 B

F A B



(1)球心到球面上各点的距离相等; (2)是 以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转 一周形成的几何体.

半径 圆心

例题精讲:
【例 1】请描述下列几何体的结构特征,并说出它的名称. (1)由 7 个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其它面都是全等的矩形; (2)如右图,一个圆环面绕着过圆心的直线 l 旋转 180°. 解: (1)特征:具有棱柱的特征,且侧面都是全等的矩形,底面是正五边形. l 几何体为正五棱柱. (2)由两个同心的大球和小球,大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体, 即空心球. 【例 2】若三棱锥的底面为正三角形,侧面为等腰三角形,侧棱长为 2,底面周长为 9, 求棱锥的高. 解:底面正三角形中,边长为 3,高为 3 ? sin 60? ?

3 3 ,中心到顶点距离为 2

3 3 2 S S ? ? 3 ,则棱锥的高为 22 ? ( 3)2 ? 1 . 2 3 r r 【例 3】用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、 下底面的面积之比为 1:16,截去的圆锥的母线长是 3cm, l l 求圆台的母线长. 解:设圆台的母线为 l ,截得圆台的上、下底面半径分别为 r , 4r . 4r 4r A A O O 3 r 根据相似三角形的性质得, ,解得 l ? 9 . ? 3 ? l 4r 所以,圆台的母线长为 9cm. 点评:用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相 似) ,同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质,利用相似三角形 中的相似比,构设相关几何变量的方程组而解得. 【例 4】长方体的一条对角线与一个顶点处的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? ,求

cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? 与 sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? 的值.

b c 解: 设长方体的一个顶点出发的长、 高分别为 a、、 相应对角线长为 l, l ? a 2? 2? 宽、 b c, 则

2

a b c cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? ( )2 ? ( )2 ? ( )2 ? 1 , l l l ∴ cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? =1.

D1

.

C1 B1

A1

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ?

b2 ? c 2 a 2 ? c 2 a 2 ? b2 ? ? ? 2, l2 l2 l2
A

D B

C

∴ sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? =2. 点评:从长方体的一个顶点出发的对角线与三条棱,均位于直角三角形中,利用直角三角形中 邻 对 的边角关系“ cos ? ? ” “n ? ? 、 i ”而求. 关键在于找准直角三角形中的三边, s 斜 斜 斜边是长方体的对角线,角的邻边是各棱长,角的对边是相应矩形面的对角线. ※基础达标 1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( ). A.底面是正方形,有两个侧面是矩形 B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 2.下列说法中正确的是( ). A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D. 圆锥侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径 3.下列说法错误的是( ). A. 若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面的面积相等 B. 九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面为平行四边形 C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱 D. 三棱柱的侧面为三角形 4.用一个平面去截正方体,所得的截面不可能是( ).

A. 六边形 B. 菱形 5.下列说法正确的是( ).

C. 梯形

D. 直角三角形
B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形 . .

A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 6.设圆锥母线长为 l,高为

l ,过圆锥的两条母线作一个截面,则截面面积的最大值为 2 7.若长方体的三个面的面积分别为 6 cm 2 ,3 cm 2 ,2 cm 2 ,则此长方体的对角线长为
※能力提高 8.长方体的全面积为 11,十二条棱的长度之和为 24,求这个长方体的一条对角线长.

9.如图所示,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 .(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为
什么? (2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几 棱柱,并用符号表示. 如果不是,说明理由. D1 N C1 A1 B1 M D C
A B

※探究创新

10.现有一批长方体金属原料,其长宽高的规格为 12×3×3.1(长度单位:米). 某车间要用这些原 料切割出两种长方体,其长宽高的规格第一种为 3×2.4×1,第二种为 4×1.5×0.7.若这两种 长方体各需 900 个, 假设忽略切割损耗, 问至少需多少块金属长方体原料?如何切割?此时材 料的利用率是多少?(计算到小数点后面 3 位)

1~5

DCDDC;

6.

3 2 l ; 4

7.

14cm .

? 2( ab ? bc ? ac ) ? 11 8. 解:设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,则 ? ,而对角线长 ? 4( a ? b ? c) ? 24

l ? a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ? 62 ?11 ? 5 . 9. 解:(1)是棱柱,并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形, 其余各面都是矩形,且四条侧棱互相平行,符合棱柱定义. (2)截面 BCNM 的上方部分是三棱柱 BB1 B ? CC1 M ,下方部分是四棱柱 ABMA1 ? DCND1 .
10. 解:把原料切割出所需的两种长方体而没有余料,只有 两种切法, 见图(Ⅰ)和(Ⅱ). 切法(Ⅰ)切割出 12 个第一种长方体和 6 个第二种长方体,切法(Ⅱ)切割出 5 个第一种长方体和 18 个第 二种长方体. 取 3 块原料,2 块按切法(Ⅰ)切割,1 块按切法(Ⅱ)切割.得 到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体.因此,取 90 块原 料,其中 60 块按切法(Ⅰ)切割, 30 块按切法(Ⅱ)切割,共得到 870 个第一种长方体和 900 个第二 种长方体.至此,没产生任何余料,但还差 30 个第一种长方体.再取 2 块原料,按切法(Ⅲ)切割(见 图), 30 个第一种长方体. 得 每块原料剩下 12×3×0.1 的余料. 因此, 为了得到这两种长方体各 900 个,至少需 90+2=92 块原料. (3 ? 12 ? 0.1) ? 2 0.2 ? 1? ? 99.9? 此时,材料的利用率为 1 ? (3 ? 12 ? 3.1) ? 92 3.1 ? 92


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