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高中数学必修一期末测试题【答案】


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期末测试题(人教版必修一) (满分:150 分)
题号 得分 本试题满分 150 分,时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 26 小题,每小题 2 分,共 52 分.在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩ UB=( ). 得分 评卷人 A.{x|

0≤x<1} B.{x|0<x≤1} C.{x|x<0} D.{x|x>1} 2.下列四个图形中,不是 以 x 为自变量的函数的图象是( ). .. 一、选择题 二、填空题 三、解答题 总分

A B C D 2 3.已知函数 f(x)=x +1,那么 f(a+1)的值为( ). 2 2 2 A.a +a+2 B.a +1 C.a +2a+2 D.a2+2a+1 4.下列等式成立的是( ). log2 8 8 A.log2(8-4)=log2 8-log2 4 B. = log2 C.log2 23=3log2 2 D.log2(8+4)=log2 8+log2 4 log2 4 4 5.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=|x|,g(x)= x2 C.f(x)=
x 2-1 ,g(x)=x+1 x-1

).

B.f(x)=lg x2,g(x)=2lg x
1 · x- 1 ,g(x)= x2- D.f(x)= x+ 1

6.幂函数 y=xα(α 是常数)的图象( ). A.一定经过点(0,0) B.一定经过点(1,1) C.一定经过点(-1,1) 7.国内快递重量在 1 000 克以内的包裹邮资标准如下表: 运送距离 x(km) 邮资 y(元) O<x≤500 5.00 500<x≤1 000 6.00 1 000<x≤1 500 7.00

D.一定经过点(1,-1) … …

1 500<x≤2 000 8.00 ).

如果某人从北京快递 900 克的包裹到距北京 1 300 km 的某地,他应付的邮资是( A.5.00 元 B.6.00 元 C.7.00 元 D.8.00 元 x 8.方程 2 =2-x 的根所在区间是( ). A.(-1,0) B.(2,3) C.(1,2) D.(0,1)
?1? 9.若 log2 a<0, ? ? >1,则( ?2?
b

). C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0

A.a>1,b>0

B.a>1,b<0 ).

10.函数 y= 16-4x 的值域是( A.[0,+∞) B.[0,4]

C.[0,4)

D.(0,4)

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11.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)的是( A.f(x)=

).

1 B.f(x)=(x-1)2 C .f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) x 12.奇函数 f(x)在(-∞,0)上单调递增,若 f(-1)=0,则不等式 f(x)<0 的解集是( ). A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,+∞)
?log x,x>0 13.已知函数 f(x)= ? 2 ,则 f(-10)的值是( ? f ( x+3),x ≤0

). D.1

A.-2

B.-1

C .0

1 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则有( ). 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 15.设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN ={2,4},则 N=( ) A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4}
14.已知 x0 是函数 f(x)=2x+ 16.函数 y ? A.{x|x>1} C.{x|x>0}
2

x ? lg x 的定义域为( x ?1



B.{x|x≥1} D.{x|x≥1}∪{0} ) D.-1,-3

17.函数 f(x)= ? x ? 5 x ? 6 的零点是( A.-2,3 B.2,3 C.2,-3

18. 已知函数 f(x) 的定义域为 A ,如果对于属于定义域内某个区间 I 上的任意两个不同的自变量 x1 , x2 都有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? >0,则( x1 ? x2



A.f(x)在这个区间上为增函数 B.f(x)在这个区间上为减函数 C.f(x)在这个区间上的增减性不变 D. f(x)在这个区间上为常函数 19.已知定义域为 R 的函数 f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数 y=f(x+8)为偶函数,则( A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10) 20.观察下列各式: 5 ? 3125 , 5 ? 15625 , 5 ? 78125 ,?,则 5
5 6 7 2011



的末四位数字为(



A.3 125

B.5 625
x

C.0 625

D.8 125 )

21.若函数 f(x)= ?1 ? 2 a ? 在实数集 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

B. ? 0, ?

? ?

1? 2?

C. ? ? ?, ?

? ?

1? 2?

D. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

22.函数 y= 2 x (x≥0)的反函数为(


2 2

A.y=

x2 (x∈R) 4

B.y=

x2 (x≥0) 4

C.y= 4 x

(x∈R)

D.y= 4 x

(x≥0)

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23.设 a= log5 4 ,b= ? log 5 3 ? ,c= log4 5 ,则(
2

) C.a<b<c D.b<a<c
2

A.a<c<b

B.b<c<a

24.对于集合 M,N,定义 M-N={x|x∈M 且 x ? N},M ? N=(M-N)∪(N-M).设 M={y|y= x ? 4 x ,x∈R}, N={y|y= ? 2 ,x∈R},则 M ? N= (
x

) C.(-∞,-4)∪[0,+∞) D.(-∞,-4)∪(0,+∞) )

A.(-4,0]

B.[-4,0)

25.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)= 2010x ? log2010 x ,则方程 f(x)=0 的实数根的个数是(

A.1 B.2 C.3 D.5 26.如图,点 P 在边长为 1 的正方形上运动,设 M 是 CD 的中点,则当 P 沿 A—B—C—M 运动时,点 P 经过的路 程 x 与△APM 的面积 y 之间的函数 y=f(x)的图象大致是图中的( ) 得分 评卷人 二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分.将答案填在题中横线上. 1.A={x|-2≤x≤5},B={x|x>a},若 A ? B,则 a 取值范围是 . 2.若 f(x)=(a-2)x2+(a-1)x+3 是偶函数,则函数 f(x)的增区间是 3.函数 y= log2 x-2 的定义域是 . .

?1? 4.求满足 ? ? ?4?

x 2-8

> 4- 2 x 的 x 的取值集合是



5.已知 C1 :y= loga x , C2 :y= logb x , C3 :y= log c x , C4 :y= logd x 四个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图, 其中 a,b,c,d 均为不等于 1 的正数,则将 a,b,c,d,1 按从小到大的顺序排列为_______. 6.已知函数 f(x)= e
x ?a

(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,

则 a 的取值范围是________. 7.已知函数 f ( x) ? ?

?(2a ? 3) x ? 4a ? 3( x≥1),
x ?a ( x ? 1)

在(-∞,+∞)上是增函数,

则 a 的取值范围是________. 8.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x)万元,当年产量不足 80 千件 时,C(x)=

1 2 10000 x ? 10 x (万元) ;当年产量不小于 80 千件时,C(x)=51x+ -1 450(万元).每件商品售价为 0.05 3 x

万元, 通过市场分析, 该厂生产的商品能全部售完.则年利润 L (x) (万元) 关于年产量 ( x 千件) 的函数解析式为_________. 三、解答题:本大题共 9 小题,共 82 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(8 分) 已知函数 f(x)=lg(3+x)+lg(3-x). 得分 评卷人 (1)求函数 f(x)的定义域;

(2)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由.

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2.(10 分)已知函数 f(x)=2|x+1|+ax(x∈R). (1)证明:当 a>2 时,f(x)在 R 上是增函数.

(2)若函数 f(x)存在两个零点,求 a 的取值范围.

3.(10 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车?

(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

4.(7 分)已知集合 A={x|x<-1 或 x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若 B ? A,求实数 a 的取值范围.

5.(7 分)已知函数 f(x+3)的定义域为[-5,-2],求函数 f(x+1)+f(x-1)的定义域.

6.(8 分)已知函数 y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(x)<0(x>0), 试判断 F(x)=

1 在(0,+∞)上的单调性并给出证明过程. f ( x)

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7.(10 分)已知 f(x)=2+ log3 x ,x∈[1,3],求 y= ? ? f ? x ?? ? +f(x)的最大值及相应的 x 的值.
2

8.(10 分)设 a>0,f(x)= (1)求 a 的值;

ex a ? 是定义在 R 上的偶函数. a ex

(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

9.(12 分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投 资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元. (1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系式;

(2)该家庭有 20 万元资金,全部用于理财投资,怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?

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期末测试题(人教版必修一)参考答案 一、选择题 1.B 解析: UB={x|x≤1},因此 A∩ UB={x|0<x≤1}. 2.C 3.C 4.C 5.A 6.B
?1? 7.C 8.D 9.D 解析:由 log2 a<0,得 0<a<1,由 ? ? >1,得 b<0,所以选 D 项. ?2?
b

10.C 解析:∵ 4x>0,∴0≤16- 4x<16,∴ 16-4 x ∈[0,4). 11.A 解析:依题意可得函数应在(0,+∞)上单调递减,故由选项可得 A 正确. 12.A 13.D 14.B 解析:当 x=x1 从 1 的右侧足够接近 1 时, 当 x=x2 足够大时, 15. B 16. A

1 是一个绝对值很大的负数,从而保证 f(x1)<0 1-x

1 可以是一个接近 0 的负数,从而保证 f(x2)>0.故正确选项是 B. 1-x 点拨:如图所示,可知 N={1,3,5}.

? x( x ? 1)≥0, ? x≥1或x≤0, ? ? 点拨:x 应满足 ? x ? 1 ? 0, 即 ? x ? 1, ∴定义域为{x|x>1}. ? x>0, ? x>0, ? ?

17. B 18. A 点拨:①当 x1 > x2 时, x1 - x2 >0,则 f( x1 )-f( x2 )>0,即 f( x1 )>f( x2 ),∴f(x)在区间 I 上是增函数; ②当 x1 < x2 时, x1 - x2 <0,则 f( x1 )-f( x2 )<0,即 f( x1 )<f( x2 ),∴f(x)在区间 I 上是增函数. 综合①②可知,f(x)在区间 I 上是增函数. 19. D 点拨:方法一:∵y=f(x+8)为偶函数.∴f(-x+8)=f(x+8).可知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=8 对称. ∴f(7)=f(-1+8)=f(1+8)=f(9).又 f(x)在(8,+∞)上为减函数.∴f(9)>f(10),即 f(7)>f(10),故选 D. 方法二:y=f(x+8)的图象关于 y 轴对称,故由图象向右平移 8 个单位长度可知 y=f(x)的图象关于直线 x=8 对称.其他同上. 20. D 21. B 点拨:由已知得 0<1-2a<1,解得 0<a<

1 ? 1? ,即实数 a 的取值范围是 ? 0, ? . 2 ? 2?

21. B

点拨:由 y=2

x (x≥0)得 x=

y2 x2 (y≥0).因此,函数 y=2 x (x≥0)的反函数是 y= (x≥0),故选 B. 4 4
2

22. D 点拨:∵a= log5 4< 1, 1,0<log5 3<log5 4<, 1 ? b ? ? log 5 3? <log 5 3<log 5 4 ? a . Q c ? log4 5>, ∴c>a>b. 23. C
2 x 点拨:∵y= x ? 4 x = ? x ? 2 ? ? 4 ≥-4,∴M=[-4,+∞).又∵y= ? 2 <0(x∈R),∴N=(-∞,0).
2

依题意,有 M-N=[0,+∞),N-M=(-∞, -4), ∴M ? N=(M-N)∪(N-M)=(-∞,-4)∪[0,+∞).故选 C. 24. C 点拨:设 g(x)= a ? log a x (a > 1),g(x)=0, 即 a x ? log 1 x (a > 1), 函数 y1 ? a x ,
x
a

x y2 ? log 1 x 的图象有唯一的交点, 从图中可看出 a ? log 1 x0 ,即 g( x0 )=0,∴g(x)= a ? log a x
x0
a
x

a

(a>1)有唯一的零点.取 a=2 010,则函数 f(x)= 2 010 + log 2010 x 在区间(0,+∞)内有唯一的零
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点,设这个零点为 x0 ,因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 0, ? x0 也是函数 f(x)的零点. 25. A 点拨:依题意,当 0<x≤1 时,

S

△ APM

?

1 1 ?1? x ? x ; 2 2

当 1<x≤2 时,

S

△APM

1 1 1 3 1 ? 1? 1 ? S 梯形ABCM ? S △ABP ? S △PCM ? ? ?1 ? ? ?1 ? ?1? ? x ? 1? ? ? ? ?2 ? x ? ? ? x ? ; 2 2 4 4 2 ? 2? 2
? S 梯形ABCM ? S 梯形ABCP ?
3 1 1 1 5 1 ? 1? 1 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? ?1 ? x ? 2? ? 1 ? ? x ? ? ? x ? . 4 2 2 2 4 2 ? 2? 2

当 2<x<2.5 时,

S

△ APM

?1 ? 2 x, 0<x≤1, ? 3 ? 1 ∴ y ? f ( x ) ? ? ? x ? ,1<x≤2, 再结合图象知应选 A. 4 ? 4 5 ? 1 ? ? 2 x ? 4 , 2<x<2.5. ?
二、填空题 1.参考答案:(-∞,-2). 2.参考答案:(-∞,0). 3.参考答案:[4,+∞). 4.参考答案:(-8,+∞). 5. c<d<1<a<b 点拨:如图,作直线 y=1,则它分别与四个函数的图象交于四点,其横坐标就是底数,从而不难 看出, C3 的底数最小,其次为 C4 的底数,且 C3 和 C4 的横坐标都小于 1,再次为 C1 的底数,最大的为 C2 的底数, 且 C1 和 C2 的横坐标都大于 1.故填 c<d<1<a<b.

6. ( -∞,1] 点拨:函数 f(x)= e 7.(1,2]

x ?a

|的图象如答图 4 所示,其对称轴为直线 x=a.函数在[a,+∞)上是增函数,由

已知条件函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数,可得[1,+∞)?[a,+∞),则 a≤1,即得 a 的取值范围为(-∞,1].

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250(0≤x<80) ? ? 3 8. L(x)= ? 10 000 ? ?1 200 ? ? x? ? ? ( x≥80) ? x ? ? ?
点拨:因为每件商品售价为 0.05 万元,则 x 千件商品的销售额为 0.05×1 000x(万元) ,依题意得 当 0≤x<80 时,L(x)=(0.05×1 000x)-

1 2 1 x ? 40 x ? 250 =- x 2 ? 40 x ? 250 ; 3 3
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当 x≥80 时,L(x)=(0.05×1 000x) -51x-

10000 10000 ? ? +1 450-250=1 200- ? x ? ?. x x ? ?

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250(0≤x<80) ? ? 3 所以 L(x)= ? 10 000 ? ?1 200 ? ? x? ? ? ( x≥80) ? x ? ? ?
三、解答题
?3+x>0 1.参考答案:(1)由 ? ,得-3<x<3,∴ 函数 f(x)的定义域为(-3,3). ?3-x>0

(2)函数 f(x)是偶函数,理由如下:由(1)知,函数 f(x)的定义域关于原点对称, 且 f(-x)=lg(3-x)+lg(3+x)=f(x), ∴ 函数 f(x)为偶函数.
(a+2)x+2,x ≥-1 ? 2.参考答案:(1)证明:化简 f(x)= ? 因为 a>2,所以,y1=(a+2)x+2 (x≥-1)是增函数, (a-2)x-2,x<-1 ?

且 y1≥f(-1)=-a;另外,y2=(a-2)x-2 (x<-1)也是增函数,且 y2<f(-1)=-a.所以,当 a>2 时,函数 f(x)在 R 上是增函数.(2)若函数 f(x)存在两个零点,则函数 f(x)在 R 上不单调,且点(-1,-a)在 x 轴下方,所
(a+2)(a-2)<0 ? 以 a 的取值应满足 ? 解得 a 的取值范围是(0,2). ?-a<0

3.参考答案:(1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,未租出的车辆数为 所以这时租出了 100-12=88 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为

3 600-3 000 =12, 50

1 x-3 000 ? x-3 000 ? f(x)= ?100- ×50=- (x-4 050)2+307 050. ? (x-150)- 50 ? 50 50 ?
所以,当 x=4 050 时,f(x)最大,其最大值为 f(4 050)=307 050. 当每辆车的月租金定为 4 050 元时,月收益最大,其值为 307 050 元. 4. 解:当 B= ? 时,只需 2a>a+3,即 a>3; 当 B≠? 时,根据题意作出如图所示的数轴,可得 ?

?a ? 3≥2a, ?a ? 3≥2a, 解得 a<-4 或 2<a≤3. 或? ?a ? 3< ? 1 ?2a>4,

综上可得,实数 a 的取值范围为{a|a<-4 或 a>2}.点拨:在遇到“A ? B”或“A 和 A≠? 两种情况进行讨论,其中 A=? 的情况易被忽略,应引起足够的重视. 5. 解:∵-5≤x≤-2,∴-2≤x+3≤1,故函数 f(x)的定义域为[-2,1].由 ? 故函数 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[-1,0].

B 且 B≠?”时,一定要分 A=?

??2≤x ? 1≤1, 可得-1≤x≤0, ??2≤x ? 1≤1,

6. 解:F(x)在(0,+∞)上为减函数.下面给出证明:任取 x1 , x2 ∈(0,+∞),且Δ x= x2 - x1 >0,
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∴Δ Y=F( x2 )-F( x1 )=

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 1 .∵y=f(x)在(0,+∞)上为增函数,且Δ x= x2 ? x1 >0, ? ? f ? x2 ? f ? x1 ? f ? x2 ? f ? x1 ?

∴Δ y=f( x2 )-f( x1 )>0,即 f( x2 )>f( x1 ).∴f( x1 )-f( x2 )<0.而 f( x1 )<0,f( x2 )<0,∴f( x1 )f( x2 )>0. ∴F( x2 )-F( x1 )<0,即Δ Y<0.又∵Δ x>0,∴F(x)在(0,+∞)上为减函数. 7.解: ∵f(x)=2+ log3 x ,x∈ [1,3] , ∴y= ? [1,3] .令 t= log3 x , ? f ? x ?? ? ? f ( x) ? ? log3 x ? ? 5log3 x ? 6 ,其定义域为
2 2 2 ∵t= log3 x 在[1,3]上单调递增,∴0≤t≤1.∴y= ? ? f ? x ?? ? ? f ( x) ? t ? 5t ? 6 (0≤t≤1). 2

从而要求 y= ? ? f ? x ?? ? ? f ( x) 在[1,3]上的最大值,只需求 y=
2

t

2

? 5t ? 6 在[0,1]上的最大值即可.∵y= t 2 ? 5t ? 6
2

在[0,1]上单调递增,∴当 t=1,即 x=3 时,

y

max

=12.∴当 x=3 时,y= ? ? f ? x ?? ? ? f ( x) 的最大值为 12.

8.(1)解:依题意,对一切 x∈R 有 f(x)=f(-x), 即

ex a 1 1 ?? 1 ? ? ? x ? x ? ae x .所以 ? a ? ?? x ? ? e x =0 对一切 x∈R 恒成立. a e ae a ?? e ? ?

由此可得 a ?

1 2 =0,即 a =1.又因为 a>0,所以 a=1. a

(2)证明:任取 x1 , x2 ∈(0,+∞),且 x1 < x2 ,则

f ? x1 ? ? f ? x2 ? = e x1 ? e x2 ?
x x

? 1 ? e x1 ? x2 1 1 1 ? x2 x1 x2 x1 ? = = e ? e ? ? e ? e ? 1 ? ? e x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ? e x1 e x2 ?e ? ?

?

?

? ? .由 x1 >0, x2 >0, x1 < x2 , ?

得 x1 + x2 >0, e 2 ? e 1 >0, 1 ? e 1

x ? x2

<0,所以 f( x1 )-f( x2 )<0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数.

点拨: (1)中要注意 f(x)=f(-x)是关于 x 的恒等式, (2)中要注意证明函数单调性的解题步骤. 9.解: (1)设投资债券类产品、股票类产品的收益与投资 x(万元)的函数分别为 f(x)= k1 x ,g(x)= k2 x .由已知 得 f(1)=

1 1 1 1 ? k1 ,g(1)= ? k2 ,所以 f(x)= x (x≥0),g(x)= 8 2 8 2

x (x≥0).

(2) 设投资债券类产品为 x 万元, 投资获得收益为 y 万元.依题意得 y=f(x)+g(20-x)= 令 t= 20 ? x (0≤t≤ 2 5 ),则 y=

1 1 x + 20 ? x (0≤x≤20). 8 2

20 ? t 2 1 1 2 ? t ? ? ? t ? 2 ? ? 3 .所以当 t=2, 8 2 8

即 x=16 时收益最大,其最大收益是 3 万元. 答:将 16 万元用于投资债券类产品,4 万元用于投资股票类产品,能使投资获得最大收益,其最大收益是 3 万元.

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