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2.5平面向量应用举例导学案2课时


喀什市 28 中学 2013—2014 学年第二学期高一级数学导学案 课题:第二章 平面向量 2.5.1 主备人: 审核人: 授课时间:第 周 第 平面几何中的向量方法 日

时间:2014 年 3 月

定稿人: 节

教学目标: 知识与技能: 通过平行四边形这个几何模型 ,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”

三步曲”; 过程与方法: 明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量 的线性运算及数量积表示. 情感态度与价值观: 让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 学生学案 教师导案 学习目标: 1. 运用向量的有关知识(向量加减法与向量数量积的运算法则等)解决平面几何 和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题. 2. 会在实际中应用。 教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法: 向量法解决几何问题的 “三步曲” . 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题. 课前准备:导学案、课件、书本、 教 学 方 法: 教学过程: (一)探究研习 探究一:

(1)向量运算与几何中的结论"若 a ? b ,则 | a |?| b | ,且 a, b 所在 直线平行或重合"相类比,你有什么体会? 组织教学 检查预习 情况

(2)举出几个具有线性运算的几何实例.

例 1.证明:平行四边形两条对角线的平方和 等于四条边的平方和. 已知:平行四边形 ABCD. 2 2 2 2 2 2 求证: AC ? BD ? AB ? BC ? CD ? DA . 教师提问 小组展示 结果 教师评价

试用几何方法解决这个问题

教师提问 教师评价 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”? (1) 建立平面几何与向量的联系, (2) 通过向量运算,研究几何元素之间的关系, (3) 把运算结果“翻译”成几何关系。 变式训练: ?ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,BF 与 CD 交于点 O,设 AB ? a, AC ? b. 分组讨论 (1)证明 A、O、E 三点共线; (2)用 a, b. 表示向量 AO 。 师生评价 师生共识

例 2,如图,平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、DC 边的 中点,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,你能 发现 AR、RT、TC 之间的关系吗?

探究二:两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向 上运动,两臂夹角越小越省力. 这些力的问题是怎么回事?

例 3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人 共提一个旅行包, 夹角越大越费力; 在单杠上作引体向上 运动, 两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这 种现象吗? 教师巡视

小组展示

师生评价 请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题: ⑴ ? 为何值时,|F1|最小,最小值是多少? ⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?

例 4 如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 500 m,一艘船从 A 处出发到河对岸.已 知 船 的 速 度 |v1|=10km/h , 水 流 的 速 度 |v2|=2km/h ,问行驶航程最短时,所用的时间 是多少(精确到 0.1min)?

变式训练:两个粒子 A、B 从同一源发射出来,在某一时刻,它们 的位移分别为 (1)写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 s; (2) sA ? (4,3), sB ? (2,10) , 计算 s 在 sA 方向上的投影。

(二)反思教学 结合图形特点,选定正交基底,用坐标表示向量进行运算解决几何 问题,体现几何问题 引导学生 代数化的特点,数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。向量作为桥梁工 反思 具使得运算简练标致,又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角 三角形等平行、垂直等问题常用此法。 本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题;掌握向 量法和坐标法,以及用向量解决实际问题的步骤。 (三)当堂检测 1.已知 ?ABC中,a ? 2, b ? 3, C ? 600 ,求边长 c。

教师巡视 2.在平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1,AB=2,对角线 BD=2,求对角 线 AC 的长。 小组展示 师生评价

3. 在 平 面 上 的 三 个 力 F1 , F2 , F3 作 用 于 一 点 且 处 于 平 衡 状 态 ,
F1 ? 1N , F2 ? 6? 2 N , F1与F2 的夹角为 45o ,求: (1) F3 的大小; (2) 2

F1 与 F3 夹角的大小。

(四)课堂小结 用向量方法解决平面几何的“三步曲”: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将 引 导 学 生 平面几何问题转化为向量问题; 小结 (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系.

(五)作业 课本 P113 1 2

布置作业

喀什市 28 中学 2013—2014 学年第二学期高一级数学导学案 课题:第二章 平面向量 2.5.2 主备人: 审核人: 授课时间:第 周 第 向量在物理中的应用举例 日

时间:2014 年 3 月

定稿人: 节

教学目标: 知识与技能: 通过力的合成与分解模型、 速度的合成与分解模型, 掌握利用向量方法研究物 理中相关问题的步骤, 明了向量在物理中应用的基本题型, 进一步加深对所学向量 的概念和向量运算的认识; 过程与方法: 1、通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数 学的能力,体会数学在现实生活中的作用.通过平行四边形这个几何模型,归纳 总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”; 2、明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由 向量的线性运算及数量积表示. 情感态度与价值观: 让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性. 学生学案 教师导案 学习目标: 3. 运用向量的有关知识 (向量加减法与向量数量积的运算法则等) 解决平面几何 和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题. 4. 运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 教学重点:运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计 算. 教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. 课前准备:导学案、课件、书本、 教学方 法: 教学过程: (一)探究研习 例 1. 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹 角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力. 你 能从数学的角度解释这种形象吗?

组织教 学 检查预

探究 1: (1)? 为何值时,| F1 |最小,最小值是多少? (2)| F1 |能等于| G |吗?为什么?

习情况

探究 2: 你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗? (1)问题的转化:把物理问题转化为数学问题; (2)模型的建立:建立以向量为主体的数学模型; (3)参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值; (4)问题的答案:回到问题的初始状态, 解决相关物理现象. 教师提 例 2. 如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=500 m,一艘船从 A 处出 问 发到河对岸.已知船的速度| v1 |=10 km/h,水流速度| v 2 |=2 km/h,问行 驶航程最短时,所用时间是多少(精确到 0.1 min)? 小组展 示结果 教师评 价

教师提 问 教师评 价

思考: 1. “行驶最短航程”是什么意思? 2. 怎样才能使航程最短?

分组讨 论

师 生评 例3. 有两个向量 e1 ? (1, 0), e2 ? (0, 1), 今有动点P从P0 ( ?1, 2)开始沿着与向量 e 1 ? e2 价 相同的方向做匀速运动 , 速度为| e1 ? e2 |, 另有一动点Q, 从Q0 ( ?2, ?1)开始沿着与 3e1 ? 2e2相同的方向做匀速运动 , 速度为| 3e1 ? 2e2 |, 设P、Q在时刻t ? 0秒时分别在 师生共 P0、Q0处, 则当PQ ? P0Q0时,求t的值. 识

(二)当堂检测 练习与提高 一、 选择题 1.给出下面四个结论: ① 若线段 AC=AB+BC,则向量 AC ? AB ? BC ; ② 若向量 AC ? AB ? BC ,则线段 AC=AB+BC; ③ 若向量 AB 与 BC 共线,则线段 AC=AB+BC; ④ 若向量 AB 与 BC 反向共线,则 AB ? BC ? AB ? BC . 其中正确的结论有 ( A. 0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

2.河水的流速为 2 m ,一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m 的速 s s 度驶向对岸,则小 船的静止速度大小为 A.10 m
s



) C. 4 6 m s D.12 m
s

B. 2 26 m s

3.在 ?ABC 中,若 (CA ? CB) ? (CA ? CB) =0,则 ?ABC 为 ( A.正三角形 二、填空题 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定

) 教师巡 视

4.已知 ?ABC 两边的向量 AB ? e1 , AC ? e2 ,则 BC 边上的中线向量

AM 用 e1 、 e2 表示为
5.已知 OP 则 OP ,OP OP OP3 1 ? OP 2 ? OP 3 ?0 1 ? OP 2 ? OP 3 ? 1, 1 、 2 、 两两夹角是

小组展 示

师生评 价

(三)课堂小结 向量解决物理问题的一般步骤: (1)问题的转化:把物理问题转化为数学问题; (2)模型的建立:建立以向量为主体的数学模型; (3)参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值; (4)问题的答案:回到问题的初始状态, 解决相关物理现象.

引导学 生小结

(四)作业 课堂 P113 3 4 布置作 业


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