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天津一中2013届高三上学期一月考 理科数学


天津一中 2012—2013 学年高三 数学一月考试卷(理科)
一、选择题:(共 40 分,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.有关下列命题的说法正确的是 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:若“x =1 则 x≠1” B.“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“ ? x∈R,使得 x +x+1

<0”的否定是:“ ? x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 2.定义在 R 上的偶函数 f(x),当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π ),f(-3)的大小关系是 A.f(π )>f(-3)>f(-2) B.f(π )>f(-2)>f(-3) C.f(π )<f(-3)<f(-2) D.f(π )<f(-2)<f(-3) 3 3.函数 f(x)=sin2x-4sin xcosx(x∈R)的最小正周期为 A.π /8 B.π /4 C.π /2 D.π 4.设函数 f(x)=|sin(x+π /3)|(x∈R),则 f(x) A.在区间[-π ,-π /2]上是减函数 B.在区间[2π /3,7π /6]上是增函数 C.在区间[π /8,π /4]上是增函数 D.在区间[π /3,5π /6]上是减函数
2 2 2

5.在?ABC 中,A,B,C 为内角,且 sinAcosA=sinBcosB,则?ABC 是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 x -y -z 6.x,y,z 均为正实数,且 2 =-log2x,2 =-log2y,2 =log2z,则 A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<x<z 7.已知向量 a,b,c 中任意两个都不共线,且 a+b 与 c 共线,b+c 与 a 共线,则向量 a+b+c= A.a B.b C.c D.0 8.定义在 R 上的可导函数 f(x),且 f(x)图像连续,当 x≠0 时,f (x)+x ?f(x)>0,则函数 g(x)=f(x)+x
/ -1 -1

的零点的个数为 A.1 B.2 二、填空题:(共 30 分,每小题 5 分) x 9.函数 f(x)=a + a x ? 2 的值域为_________.

C.0

D.0 或 2

10.已知 sinxcosx=3/8,且 x∈(π /4,π /2),则 cocx-sinx=_________. 11.曲线 xy=1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面图形的面积为_________. 12.函数 f(x)=sin(2x-π /3)(x∈R)的图象为 C,以下结论中: ①图象 C 关于直线 x=11π /12 对称; ②图象 C 关于点(2π /3,0)对称; ③函数 f(x)在区间(-π /12,5π /12)内是增函数; ④由 y=3sin2x 的图象向右平移 π /3 个单位长度可以得到图象 C. 则正确的是 .(写出所有正确结论的编号) 13.点 P(x,y)在曲线 ?

? x ? ?2 ? cos ? (θ 为参数,θ ∈R)上,则 y/x 的取值 ? y ? sin ?

范围是 . 14.如图过⊙0 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠ APB,则 AB= . 三.解答题: 15.甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率 为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2 局中,甲,乙各胜 1 局. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设 ξ 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ξ 的分布列及数学期望.

16.设命题 p:函数 f(x)=lg(ax -4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x +x>2+ax,对 ? x∈(-∞,-1)上恒 成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围.
2 2

17.已知 A(cosα ,sinα ),B(cosβ ,sinβ ),且 5 |AB|=2, (1)求 cos(α -β )的值; (2)设 α ∈(0,π /2),β ∈(-π /2,0),且 cos(5π /2-β )=-5/13,求 sinα 的值.

18.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+π /3)- 3 sin x+snxcosx (1)求函数 f(x)的单调递减区间;

2

(2)将函数 f(x)的图象沿水平方向平移 m 个单位后的图象关于直线 x=π /2 对称,求 m 的最小正值. 2 2 x 19.已知函数 f(x)=(x +ax-2a +3a)e (x∈R),其中 A∈R. (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)当 a≠2/3 时,求函数 f(x)的单调区间与极值.

20.已知函数 f(x)=aln(e +1)-(a+1)x,g(x)=x -(a-1)x-f(lnx), a∈R,且 g(x)在 x=1 处取得极值. (1)求 a 的值; (2)若对 0≤x≤3, 不等式 g(x)≤|m-1|成立,求 m 的取值范围; (3)已知?ABC 的三个顶点 A,B,C 都在函数 f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨 论?ABC 是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.

x

2

天津一中 2012—2013 学年高三数学一月考试卷(理科答案) 一、选择题 1-4 DACB 5-8 DADC 二、填空题 9. ( 2 ,+∞) 10. -0.5 11. 4-ln3 12. ①②③ 13.[-

3 , 3

3 ] 3

14.

35

三、解答题 15. 解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是 0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是 2*0.6*0.6*0.4=0.288. 所以甲获胜的概率是 0.36+0.288=0.648. (2)设进行的局数为ξ ,则ξ 的可取值为 2,3, p(ξ = 2)= 0.6*0.6+0.4*0.4=0.52, p(ξ = 3)= 2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. Eξ =2*0.52+3*0.48=2.48 16. 解:p:?<0 且 a>0,故 a>2; q:a>2x-2/x+1,对 ? x∈(-∞,-1),上恒成立,增函数(2x-2/x+1)<1 此时 x=-1,故 a≥1 “p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,等价于 p,q 一真一假.故 1≤a≤2 17. 解:(1)由题知 (cos? ? cos?) 2 ? (sin ? ? sin ?) 2 ? 2 5 ? 2 ? 2 cos( ? ? ?) ? 4 ,所以 cos( ? ? ?) ? 3
5

5

5

(2)? 0 ? ? ? ? ,? ? ? ? ? 0 ?0 ? ? ? ? ? ? ,又 cos( ? ? ?) ? 3 ? sin( ? ? ?) ? 4 .
2 2 5
5

而 cos( 5? ? ? ) ? ? 5 则 sin ? ? ? 5 ? cos ? ? 12 ? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? 33
2 13
13

13

65

18.解 (1)

1 3 f ( x) ? 2 cos x( sin x ? cosc) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 2 2

? sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3 sin 2 x ? sin cos x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?

?
3

)

? ? 3 由 ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? ? , k ? Z 2 3 2 ? 7 得k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z 12 12
故函数f ( x)的单调递减区间为k? ? [

?

12

, k? ?

7? ], k ? Z . 12

y ? 2 sin( 2 x ?
(2)

?
3

,0 ) ?a ?( m?? y ? 2 sin( 2 x ? ? ?)

?
3

? 2 m)

? y ? 2 sin(2 x ? ?2?

?
3

? 2m)的图象关于直线 ? x

?
2

对称.

? 2m ? k? ? (k ? Z ) 3 2 1 ? ? m ? ? (k ? 1)? ? (k ? Z ) 2 12 5 当k ? 0时, m的最小正值为 ? . 12 2 ?

?

?

?

19. (1)解: 当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 e. 3
(2) 解:f ' ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a e x .

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, 2a ? a ? 2. ? 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

? x ?? ?, 2a ?
+ ↗

? 2a
0 极大值

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值

?a ? 2, ?? ?
+ ↗

所以f ( x)在(??, 2a), ? 2, ?)内是增函数,在 ?2a,a ? 2)内是减函数 ? (a ? ( .
函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . f 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . f
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
a?2
0 极大值

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

?a ? 2, 2a ? ?
— ↘

? 2a
0 极小值

?? 2a, ?? ?
+ ↗

所以f ( x)在(??,a ? 2), 2a, ?)内是增函数,在a ? 2, 2a)内是减函数。 (? ? ( ?
函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . f
函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . f

20. 解:(1) g ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ln(1 ? x) ? (a ? 1) ln x( x ? 0) , g ' ( x) ? 2 x ? (a ? 1) ? a ? a ? 1 ( x ? 0) ,
1? x x

依题设,有 g ' (1) ? 0 ,所以 a=8. (2) g ( x) ? x 2 ? 7 x ? 8 ln( ? x) ? 9 ln x( x ? 0) 1
g ' ( x) ? 2 x ? 7 ?
' 8 9 ( x ? 1)(x ? 3)(2 x ? 3) ? ? ( x ? 0) ,由 g ( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 3 1? x x x( x ? 1)

函数 g (x) 增区间(0,1),减区间(1,3) 函数 g (x) 在 x=3 处取得极小值,g(x)min=g(3);函数 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(x)max=g(1), 不等式|m-1|≥g(x),对 0≤x≤3 成立,等价于|m-1|≥g(x)max 成立 即 m-1≥g(x)max=g(1)orm-1≤-g(x)max=-g(1), m≤1-g(1) or m≥1+g(1) (3)设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) . C( x3 , f ( x3 )) ,且 x1 ? x2 ? x3 , x 2 ? x1 ? x3 , 2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) , ∴ BA ? ( x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 )) , BC ? ( x3 ? x2 , f ( x3 ) ? f ( x2 )) , ∴ BA ? BC ? ( x3 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x2 ) ? 0 . 所以 B 为钝角, ? ABC 是钝角三角形.

f ( x) ? 8 ln(1 ? e x ) ? 9 x , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( x1 ? x2 )
2

= 8 [ln( ? e x1 )(1 ? e x1 ) ? ln(1 ? e 1

x1 ? x2 2

)2 ]
x1 ? x2 2

= 8[ln( ? e x1 ? e x2 ? e x1 ? x2 ) ? ln(1 ? 2e 1 ∵ x1 ? x 2 ∴ e x1 ? e x2 ? 2 e x1 ? e x2 ? 2e ∴1 ? e 1 ? e
x x2

? e x1 ? x2 )]

x1 ? x2 2

? e x1 ? x2 ? 1 ? 2e

x1 ? x2 2

? e x1 ? x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (

x1 ? x2 )?0 2

∴ f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,故 f(x)是 R 上的凹函数. 2 2
f ' ( x) ? 8e x ? 9 ? ex ?9 ? ? 0 恒成立∴ f (x) 在 (?? , ? ?) 上单调递减. x 1? e 1? ex

若 ? ABC 是等腰三角形,则只能是 BA ? BC . 即 ( x1 ? x2 ) 2 ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]2 ? ( x3 ? x2 ) 2 ? [ f ( x3 ) ? f ( x2 )]2

∵ x 2 ? x1 ? x3 ∴ [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]2 ? [ f ( x3 ) ? f ( x2 )]2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x2 ) .
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ∴ f ( x1 ? x3 ) ?
2

f ( x1 ) ? f ( x3 ) , 2

这与 f(x)是 R 上的凹函数矛盾,故 ? ABC 是钝角三角形,但不可能是等腰三角形.


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