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2016长春二模理数答案及解析(C-3月)


长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二) 数学理科(试卷类型 C)

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目 .... 要求的,请将正确选项涂在答题卡上) 1. 复数 z1 , z2 在复平面内对应的点关于直线 y ? x 对称,且 z1 ?

3 ? 2i ,则 z1 ? z2 ? A. 12 ? 13i A. B. 13 ? 12i
2

C. ?13i

D. 13i C.

2. 设集合 A ? {x | x ? 3x ? 0}, B ? {x | x ? 2} ,则 A ? B ?

?x | 2 ? x ? 3?
开始

B.

?x | ?2 ? x ? 0?

?x | 0 ? x ? 2? D. ?x | ?2 ? x ? 3?

3. 运行如图所示的程序框图,则输出的 S 值为

k ? 1, S ? 0

k ? 10

S ? S ? 2? k

否 输出 S 结束

k ? k ?1

29 ? 1 A. 29

29 ? 1 B. 29

210 ? 1 C. 210

210 D. 10 2 ?1

4. 若实数 a, b ? R 且 a ? b ,则下列不等式恒成立的是
2 2 A. a ? b

B.

a ?1 b

C. 2 ? 2
a

b

D. lg(a ? b) ? 0

5. 几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为

A.

32 3

B. 16 ?

2? 3

C.

40 3

D. 16 ?

8? 3

6. 已知变量 X 服从正态分布 N (2, 4) ,下列概率与 P(X ≤ 0) 相等的是
第 1 页 共 10 页

A.

P(X ≥ 2) B.
A.

P(X ≥ 4)
2 2

C.

P(0 ≤ X ≤ 4) D. 1 ? P(X ≥ 4)
D. 2 2

7. 已知 AB 为圆 O : ( x ?1) ? y ? 1 的直径,点 P 为直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点,则 PA ? PB 的最小值为

??? ? ??? ?

1

B.

2

C. 2

8. 设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 0 且

a6 9 ? ,当 Sn 取最大值时, n 的值为 a5 11

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 9. 小明试图将一箱中的 24 瓶啤酒全部取出,每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒,那么小明取 出啤酒的方式共有 种. A. 18 B. 27 C. 37 D. 212 10. 函数 y ? sin(2 x ?

2? ) 的图象关于直线 x ? a 对称,则 a 可能是 3 3 ? ? ? 11? A. B. C. D. 24 12 24 8 11. 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x)? f ( 2 ? x) ? , 2 当 x ? ( 0 , 1时 ] , f ( x) ? x2 , 当 x ? (?1, 0] 时 , 2 ,若定义在 (?1,3) 上的函数 g ( x) ? f ( x) ? t ( x ?1) 有三个不同的零点,则实数 t 的取 f ( x )? 2 ? f ( x? 1 ) ) 与 y ? cos(2 x ?
值范围是 A. (0, ] 12.过双曲线 x ?
2

?

1 2

B. [ , ??)

1 2

C. (0,6 ? 2 7)

D. (0,6 ? 2 7)

y2 ? 1的右支上一点 P ,分别向圆 C1 : ( x ? 4)2 ? y2 ? 4 和圆 C2 : 15 2 2 ( x ? 4) ? y ? 1作切线,切点分别为 M , N ,则 | PM |2 ? | PN |2 的最小值为 A. 10 B. 13 C. 16 D. 19

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题—24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上).
?x ? y ? 2 ≤ 0 13. 已知实数 x, y 满足 ? ? x ? y ? 4 ≤ 0 ,则 y ? 2 x 的最小值为___________. ?x ? 2 y ? 4 ≥ 0 ?

(0,t 2 ? 1 ) 14. 已知向量 a ? ,b ? ,则当 t ?[? 3, 2] 时, | a ? t (, 1 3)
15. 已知 a ? 0 , (

b | 的取值范围是___________. |b|

a a ? x)6 展开式的常数项为 15,则 ? ( x2 ? x ? 4 ? x2 )dx ? ___________. ?a x * 16. 已知数列 {an} 中,对任意的 n ? N 若满足 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? s ( s 为常数) ,则称该数列为 4 阶等 和数列,其中 s 为 4 阶公和;若满足 an ? an?1 ? an?2 ? t ( t 为常数) ,则称该数列为 3 阶等积数列,其中 t 为 3 p p p 阶公积.已知数列 { pn } 为首项为 1 的 4 阶等和数列,且满足 4 ? 3 ? 2 ? 2 ;数列 {qn } 为公积为1 的 3 阶 p3 p2 p1 等积数列,且 q1 ? q2 ? ?1 ,设 Sn 为数列 { pn ? qn } 的前 n 项和,则 S2016 ? ___________.

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调减区间;
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(2) 已 知 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 其 中 a ? 7 , 若 锐 角 A 满 足

f(

A ? ? )? 2 6

3,且 sin B ? sin C ?

13 3 ,求 ?ABC 的面积. 14

18. (本小题满分 12 分) 近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015 年双 11 期间,某购物平台的销售业绩高达 918 亿人民币.与此同时, 相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出 200 次成 功的交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为 0.6,对服务的好评率为 0.75,其中对商品和服务都做 出好评的交易为 80 次. (1)是否可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关? (2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的 5 次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机 变量 X : ①求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列(概率用组合数算式表示) ; ②求 X 的数学期望和方差.

P( K 2 ≥ k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, PD ⊥平面 ABCD ,点 D1 为棱 PD 的中点,过 D1 作与 平面 ABCD 平行的平面与棱 PA , PB , PC 相交于 A1 , B1 , C1 , ?BAD ? 60? .

(1)证明: B1 为 PB 的中点; (2)若 AB ? 2 ,且二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 60 ? , AC 、 BD 的交点为 O ,连接 B1O .求三棱锥

B1 ? ABO 外接球的体积.
20. (本小题满分 12 分) 椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且离心率为 ,点 P 为椭圆上一动点, ?F1PF2 内切 2 2 a b

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圆面积的最大值为 (1)求椭圆的方程;

? . 3

(2) 设椭圆的左顶点为 A1 ,过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A , B 两点,连结 A 1A , A 1B 并延长交直线

x ? 4 分别于 P , Q 两点,以 PQ 为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ? 2 ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? ?4 x ? 1 平行. x2

(1)求实数 a 的值及 f ( x ) 的极值; (2)若对任意 x1 , x2 ? (0, ] ,有 |

1 e

f ( x1 ) ? f ( x2 ) k |> 2 2 ,求实数 k 的取值范围; 2 2 x1 ? x2 x1 ? x2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 如图, 过圆 O 外一点 P 的作圆 O 的切线 PM ,M 为切点, 过 PM 的中点 N 的直线交圆 O 于 A 、B 两 点,连接 PA 并延长交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O 于点 D ,若 MC ? BC .

(1)求证: ?APM ∽ ?ABP ; (2) 求证:四边形 PMCD 是平行四边形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ?t cos ? ( t 是参数) ,以原点 O 为极点, x 轴正 ? ? y ? 3 ?t sin ?

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8cos(? ? (1)求曲线 C2 的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;

?
3

).

(2)若曲线 C1 与曲线 C2 交于 A , B 两点,求 |AB| 的最大值和最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f ( x) ?| x+2 | ? | x ? a |

( a ? R) .

(1)若不等式 f ( x) ? a ≥ 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2) 若不等式 f ( x )… x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
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3 2

长春市普通高中 2016 届高三质量监测(二) 数学(理科)参考答案及评分参考
客观题答案
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. D 2. C 3. A 4. C 5. C 6. B 7. A 8. B 9. C 10. A 11. D 12. B 简答与提示: 1. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算,以及复平面上的点与复数的关系,属于基础题. 【试题解析】D 复数 z1 在复平面内关于直线 y ? x 对称的点表示的复数 z2 ? 2 ? 3i ,所以

z1 ? z2 ? (3 ? 2i)(2 ? 3i) ? 13i . 故选 D.
2. 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算,属于基础题. 【试题解析】C 由题意可知 A ? {x | 0 ? x ? 3} , 则 B ?{ x|? 2 ? x? 2 } 故选 C. 【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识,是一道基础题. 【试题解析】A 为 4. 5. 由算法流程图可知,输出结果是首项为 , 所以 A ? B ? {x | 0 ? x ? 2} .

3.

1 1 ,公比也为 的等比数列的前 9 项和,即 2 2

29 ? 1 . 故选 A. 29
a b

【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质,是书中的原题改编,考查学生对函数图像的认识. 【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知:当 a ? b 时, 2 ? 2 为正确选项,故选 C. 【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法,对学生运算求解能力有一定要求. 【试题解析】C 该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥,所以其体积为 2 ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 2 ?

1 3

40 . 3

6.

故选 C. 【命题意图】本题考查正态分布的概念,属于基础题,要求学生对正态分布的对称性有充分的认识. 【试题解析】B 由变量 X 服从正态分布 N (2, 4) 可知, x ? 2 为其密度曲线的对称轴,因此

7.

P( X ≤ 0) ? P( X ≥ 4) . 故选 B. 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算. 2 2 【试题解析】A 由题可知,从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值,即为 d ? r ,其
中 d 为圆外点到圆心的距离, r 为半径,因此当 d 取最小值时, PA ? PB 的取值最小,由方程的图像可

??? ? ??? ?

8.

知 d 的最小值为 2 ,故 PA ? PB 的最小值为 1. 故选 A. 【命题意图】本题主要等差数列的性质,借助前 n 项的取值来确定项数,属于基础题. a5 ? 11t , a11 ? ?t , B 由题意, 【试题解析】 不妨设 a6 ? 9t , 则公差 d ? ?2t , 其中 t ? 0 , 因此 a10 ? t , 即当 n ? 10 时, Sn 取得最大值. 故选 B. 【命题意图】本题是一道排列组合问题,考查学生处理问题的方法,对学生的逻辑思维和抽象能力提出 很高要求,属于中档题. 【试题解析】C 由题可知,取出酒瓶的方式有 3 类,第一类:取 6 次,每次取出 4 瓶,只有 1 种方式; 3 第二类:取 8 次,每次取出 3 瓶,只有 1 种方式;第三类:取 7 次,3 次 4 瓶和 4 次 3 瓶,取法为 C7 ,

??? ? ??? ?

9.

为 35 种;共计 37 种取法. 故选 C. 10. 【命题意图】本题主要考查三角函数图像,学生对三角函数图像的对称,诱导公式的运用是解决本题的 关键. 【试题解析】A 由题意,设两个函数关于 x ? a 对称,则函数 y ? sin(2 x ?

?

为 y ? sin(2(2a ? x) ?

?
3

3

) 关于 x ? a 的对称函数

) ,利用诱导公式将其化为余弦表达式为

? ? 5? y ? cos[ ? (2(2a ? x) ? )] ? cos(2 x ? ? 4a) , 2 3 6
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令 y ? cos(2 x ?

? 2? 5? ) ? cos(2 x ? ? 4a) ,则 a ? . 故选 A. 24 3 6

11. 【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题,是一道较为复杂 的难题. 【试题解析】D 先求 f(x)在(-1,0)上的解析式,因为-1<x<0,所以 0<x+1<1, f
2

x + 1 = x + 1 = x + 1,又f x + 2 =

2

2 f( x+1)

可得,
2
1

f x + 2 = x+1由题可知函数在 x ? (?1,1] 上的解析式为

? ?2 x ???x ? (?1,0] ? ,又由 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 可知 f ( x ) 的 f ( x) ? ? x ? 1 ? x 2 ???????x ? (0,1] ? 图像关于 (1,1) 点对称,可将函数 f ( x ) 在 x ? (?1,3) 上的大致图像呈

-1 O

1

2

3

x

现如图: 根据 y ? t ( x ? 1) 的几何意义, x 轴位置和图中直线位置为 y ? t ( x ? 1) 表示直线的临界位置,其中

? y ? t ( x ? 1) ,并令 ? ? 0 ,可求得 t ? 6 ? 2 7 . 因此 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? ?( x ? 2)2 ? 2 ,联立 ? 2 y ? ? ( x ? 2) ? 2 ? 直线的斜率 t 的取值范围是 (0,6 ? 2 7) . 故选 D.
12. 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义与圆切线的性质,是一道中档题. 【试题解析】B 由题可知, | PM |2 ? | PN |2 ? (| PC1 |2 ?4) ? (| PC2 |2 ?1) ,因此

| PM |2 ? | PN |2 ?| PC1 |2 ? | PC2 |2 ?3 ? (| PC1 | ? | PC2 |)(| PC1 | ? | PC2 |) ? 3 ? 2(| PC1 | ? | PC2 |) ? 3 ≥ 2 | C1C2 | ?3 ? 13 . 故选 B.

主观题答案
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 1【命题意图】本题主要考查线性规划问题,是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域,再结合目标函 数的几何意义,全面地进行考查. 【试题解析】 根据方程组获得可行域如下图, 令 z ? y ? 2x , 可化为 y ? 2 x ? z , 因此, 当直线过点 (1,3) z 1. 时, 取得最小值为

14. [1, 13] 【命题意图】平面向量的几何意义是热点问题,本题结合数形结合思想,考查平面向量的几何 意义,同时也对余弦定理的考查,对学生的计算求解能力提出很高要求. 【试题解析】由题意,

b b b 为 (0,1) ,根据向量的差的几何意义, | a ? t 向量终点到 a 终点 | 表示 t |b| |b| |b|

的距离,当 t ? 3 时,该距离取得最小值为 1,当 t ? ? 3 时,根据余弦定理,可算得该距离取得最大 值为 13 ,即 | a ? t 15. 2

b | 的取值范围是 [1, 13] . |b|

【命题意图】本题考查积分的运算,是一道中档的常规问题. 2? ? 3 3 3 a 4 4 ? x)6 的常数项为 C6 a ? 15 ,可得 a ? 1 ,因此原式为 【试题解析】由 ( x

?

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?

1

?1

( x2 ? x ? 4 ? x2 )dx ? 2? ( x2 ? 4 ? x2 )dx ? 2(? x2dx ? ?
0 0

1

1

1

0

4 ? x2 dx)

1 ? ? 22 1 2 2? ? 2( ? ? ?1? 3) ? ? ? 3. 3 12 2 3 3 16. ?2520 【命题意图】本题主要考查非常规数列求和问题,对学生的逻辑思维能力提出很高要求,属于一
道难题. 【试题解析】由题意可知, p1 ? 1 , p2 ? 2 , p3 ? 4 , p4 ? 8 , p5 ? 1 , p6 ? 2 , p7 ? 4 , p8 ? 8 ,

p9 ? 1 , p10 ? 2 , p11 ? 4 , p12 ? 8 , p13 ? 1 ,……,又 pn 是 4 阶等和数列,因此该数列将会照此规 律循环下去, 同理,q1 ? ?1 ,q2 ? ?1 ,q3 ? 1 ,q4 ? ?1 ,q5 ? ?1 ,q6 ? 1 ,q7 ? ?1 ,q8 ? ?1 ,q9 ? 1 , q10 ? ?1 , q11 ? ?1 , q12 ? 1 , q13 ? ?1 ,……,又 qn 是 3 阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环 下去, 由此可知对于数列 { pn ? qn} , 每 12 项的和循环一次, 易求出 p1 ? q1 ? p2 ? q2 ? ... ? p12 ? q12 ? ?15 , 因此 S2016 中有 168 组循环结构,故 S2016 ? ?15 ?168 ? ?2520 .
三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17.(本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查三角函数的化简运算,以及三角函数的性质,并借助正弦定理考查边角关 系的运算,对考生的化归与转化能力有较高要求. 【试题解析】解:(1) f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3cos2 x ? 3 ? sin 2x ? 3cos2 x ? 2sin(2 x ? 因此 f ( x ) 的最小正周期为 T ?

?

f ( x) 的单调递减区间为 2k? ?
即 x ? [ k? ?

?

2? ?? . 2 2
≤ 2x ?

3

) (3 分)

?
3

≤ 2k? ?

7? ] (k ? Z) . (6 分) 12 12 ? A ? A ? ? (2) 由 f ( ? ) ? 2sin(2( ? ) ? ) ? 2sin A ? 3 ,又 A 为锐角,则 A ? . 3 2 6 2 6 3 a 7 14 b ? c 13 3 ? ? 得 2R ? , sin B ? sin C ? , ? sin A 2R 14 3 3 2 13 3 14 则b?c ? ? ? 13 , 14 3 , k? ?
由余弦定理可知, cos A ? 可求得 bc ? 40 ,故 S ?ABC

?

3? , 2

由正弦定理可

b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c)2 ? 2bc ? a 2 1 ? ? , 2bc 2bc 2 1 ? bc sin A ? 10 3 . (12 分) 2

18.(本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及 数学期望和方差的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力. 【试题解析】(1) 由题意可得关于商品和服务评价的 2 ? 2 列联表: 对服务好评 对服务不满意 合计 80 40 120 对商品好评 70 10 80 对商品不满意 150 50 200 合计

K2 ?

200 ? (80 ?10 ? 40 ? 70)2 ? 11.111 ? 10.828 , 150 ? 50 ?120 ? 80

可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关. (6 分)
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2 ,且 X 的取值可以是 0,1,2,3,4,5. 5 3 5 1 2 3 4 2 2 2 3 3 3 2 3 3 2 其中 P ( X ? 0) ? ( ) ;P( X ? 1) ? C5 ( )( ) ;P ( X ? 2) ? C5 ( ) ( ) ;P ( X ? 3) ? C5 ( ) ( ) ; 5 5 5 5 5 5 5 2 3 2 P ( X ? 4) ? C54 ( ) 4 ( )1 ; P ( X ? 5) ? ( )5 . 5 5 5 X 的分布列为: 0 1 2 3 4 5 X 3 2 3 3 2 3 3 2 2 ( )5 C5 ( )( ) C54 ( ) 4 ( )1 1 2 3 4 2 2 2 3 3 C ( )( ) C ( ) ( ) ( )5 P 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
(2) 每次购物时,对商品和服务都好评的概率为 由于 X ~ B (5, ) ,则 EX ? 5 ?

2 5

2 ? 2; 5

2 2 6 DX ? 5 ? ? (1 ? ) ? . (12 分) 5 5 5
19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间 向量在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解:(1)连结 B1D1 .

? ? 平面PBD ? 平面ABCD ? BD ? ? BD // B1 D1 ,即 B1D1 为△ PBD 的中位线, 平面PBD ? 平面A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ? ? 即 B1 为 PB 中点. (4 分) (2) 以 O 为原点, OA 方向为 x 轴, OB 方向为 y 轴, OB1 方向为 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,
平面ABCD // 平面A1 B1C1 D1

则 A( 3,0,0) , B(0,1,0) , B1 (0,0, t ) , C (? 3,0,0)

从而 AP ? (? 3,0, t ) , AB ? (? 3,1,0) ,则 n1 ? ( 3,3, ) ,又 n2 ? (0,0,1)

??? ?

??? ?

??

3 t

?? ?

9 t2 由题可知, OA ? OB , OA ? OB1 , OB ? OB1 , 即三棱锥 B1 ? ABO 外接球为以 OA 、 OB 、 OB1 为长、宽、高的长方体外接球, 3?9?

?? ?? ? ?? ?? ? | n1 ? n2 | ? ? cos ? n1, n2 ?? ?? ?? | n1 | ? | n2 |

3 t

?

3 1 ,则 t ? . 2 2

5 5 ,即外接球半径为 . 4 2 4 4 5 3 125? 3 则三棱锥 B1 ? ABO 外接球的体积为 V ? ? R ? ? ( ) ? . (12 分) 3 3 4 48
则该长方体的体对角线长为 d ? 1 ? 3 ? ( ) ?
2 2 2

3 2

20.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到椭圆方程的求法,直线与圆 锥曲线的相关知识,以及恒过定点问题. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.

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1 , 不妨设 c ? t ,a ? 2t , 即 b ? 3t , 其中 t ? 0 , 又△ F 1PF 2 2 r 3 ? 内切圆面积取最大值 时,半径取最大值为 r ? ,由 S ?F1PF2 ? ? C?F1PF2 ,由 C?F1PF2 为定值,因此 2 3 3 1 r 1 1 3 即点 P 为短轴端点, 因此 ? 2c ? b ? ? (2a ? 2c) , ? 2t ? 3t ? ? ? (4t ? 2t ) , S?F1PF2 也取得最大值, 2 2 2 2 3 解得 t ? 1 , x2 y 2 ? ? 1 . (4 分) 则椭圆的方程为 4 3 ? x ? ty ? 1 ? (2) 设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1 , A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) 联立 ? x 2 y 2 可得 ?1 ? ? 3 ?4 ? 6 t ? 9 , y1 y2 ? (3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0 ,则 y1 ? y2 ? 3 ? 4t 2 3 ? 4t 2 y1 直线 AA1 的方程为 y ? ( x ? (?2)) , x1 ? (?2) y2 直线 BA1 的方程为 y ? ( x ? (?2)) , x2 ? (?2) 6 y1 6 y2 则 P(4, ) , Q(4, ) ,假设 PQ 为直径的圆是否恒过定点 M (m, n) , x1 ? 2 x2 ? 2 ???? ???? ? 6 y1 6 y2 则 MP ? (4 ? m, ? n) , MQ ? (4 ? m, ? n) , x1 ? 2 x2 ? 2 ???? ???? ? 6 y1 6 y2 MP ? MQ ? (4 ? m)2 ? ( ? n)( ? n) ? 0 x1 ? 2 x2 ? 2 ???? ???? ? 6 y1 6 y2 即 MP ? MQ ? (4 ? m)2 ? ( ? n)( ? n) ? 0 ty1 ? 3 ty2 ? 3 (36 ? 12nt ) y1 y2 ? 18n( y1 ? y2 ) 即 ? n2 ? (4 ? m)2 ? 0 2 t y1 y2 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? 9 (36 ? 12nt )(?9) ? 18n(?6t ) ? n2 ? (4 ? m)2 ? 0 ,即 6nt ? 9 ? n2 ? (4 ? m)2 ? 0 ?9t 2 ? 3t (?6t ) ? 9(3t 2 ? 4) ???? ???? ? 若 PQ 为直径的圆是否恒过定点 M (m, n) ,即不论 t 为何值时, MP ? MQ ? 0 恒成立, 因此, n ? 0 , m ? 1 或 m ? 7 . 即恒过定点 (1, 0) 和 (7, 0) . (12 分)
【试题解析】 解: (1) 已知椭圆的离心率为 21.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极 值等情况. 本题对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求. ?2 ? 2a ? 4ln x 【试题解析】解(1) 由题意得 f ?( x) ? ,又 f ?(1) ? ?4 ,解得 a ? 1 . x3 ?2 ? 2a ? 4ln x ?4 ? 4ln x 令 f ?( x) ? ? ?0, x3 x3 解得 x ? e ,即 f ( x ) 有极小值为 f (e) ? ? (2) 由 |

f ( x1 ) ? f ( x2 ) k f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 2 ,可得| |? k 2 2 1 1 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 2 x12 x2

1 . e2

(6 分)

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因为 f(x)=

1 ) ? f ( x) ,则 g ( x) ? x ? x ln x ,其中, x ?[e2, ??) x2 g?( x) ? 2 ? ln x ,又 x ?[e2, ??) ,则 g?(x) ? 2 ?ln x ≥ 4 ,
1?2lnx x2

=

1

x2

ln 2 ,令 g (
x

1

即| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 ,因此实数 k 的取值范围是 ( ??, 4] . (12 分) 1 1 ? 2 x12 x2 22. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到切割线定理以及三角形相似等内容. 本小题 重点考查考生对平面几何推理能力. 【试题解析】解(1) 由题意可知, MN 2 ? NA ? NB ,则 N 为 PM 的中点,

NA NP ? ,因此△ NAP ∽△ NPB ,则 ?NBP ? ?NPA , NP NB 由 CM ? CB 可得 ?MAC ? ?BAC ,即 ?MAP ? ?BAP ,则 ?APM ∽ ?ABP .
则 PN 2 ? NA ? NB ,即 (5 分) (2) 由(1) ?PMA ? ?APB ,又 ?PMA ? ?PCM ,则 ?PCM ? ?APB , 可得 MC // PD ,由 ?NBP ? ?NPA , ?NBP ? ?ACD ,则 ?NPA ? ?ACD ,可得 MP // CD ,因 此四边形 PMCD 是平行四边形. (10 分) 23.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标 方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方 程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】解(1) 对于曲线 C2 有 ? ? 8cos(? ?

?

3

4 3? sin ? ,因此曲线 C2 的直 ) ,即 ? 2 ? 4? cos ? ?

角坐标方程为 x2 ? y2 ? 4x ? 4 3 y ? 0 ,其表示一个圆. (5 分) (2) 联立曲线 C1 与曲线 C2 的方程可得: t ? 2 3sin ? ? t ?13 ? 0 ,
2

| AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? (2 3 sin ? ) 2 ? 4(?13) ? 12sin 2 ? ? 52 ,
因此 | AB | 的最小值为 2 13 ,最大值为 8. (10 分) 24.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式及 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 【试题解析】(1) 当 a ≥ 0 时, f ( x) ? a ≥ 0 恒成立,

不等式证明等内容 .

当 a ? 0 时,要保证 f ( x) ≥ ?a 恒成立,即 f ( x) 的最小值 | a ? 2 |≥ ?a ,解得 a ≥ ?1 . (5 分) (2) 根据函数 f ( x ) 图像的性质可知,当 a ? 2 ? 所以 a 的取值范围是 (??,4] 时 f ( x) ≥

3 3 a 时, f ( x) ≥ x 恒成立,即 a ? 4 , 2 2
(10 分)

3 x 恒成立. 2

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