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湛江市第一中学2016届高一上学期第二次月考(数学)


湛江市第一中学 2016 届高一上学期第二次月考 数 学 满分:150 分

考试时间:120 分钟

注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封 线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需

改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定 区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.

第一部分选择题(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.设全集 U= A ? B ,定义: A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B},集合 A, B 分别用圆表示,则下 列图中阴影部分表示 A ? B 的是 B A B B B C ( )

A

A

A

A D

B

已知集合 A ? ? x x ? , k ? Z ? , B ? ? x x ? , k ? Z ? ,则 2. 2 4 ? ? ? ?

?

k

?

?

k

?





A. A ? B

B. B ? A

C. A ? B

D. A与B的关系不确定
( ) D. f ( x) ? x 3

3.下列函数中,偶函数是

A. f ( x) ? tan x
4.已知函数 f ( x ) ? ?

B. f ( x) ? 2 x ? 2 ? x

C. f ( x) ? x ) D.-3

? x ? 3, x ? 0
x ?3 , x ? 0

,则 f ( f (2)) 的值是(

A .

1 3

B. 3

C. ?

1 3

5.用小立方体搭一个几何体,使得它的主视图和俯视图如图所示。这样的几何体需要的小立 方块最少与最多分别是 ( )

1

主视图

俯视图

A. 10 与 15

B.9 与 17

C.10 与 16

D.9 与 16

6.已知函数 f(x)=log2 (x+1),若 f(α)=1,则 α=( ) A.0 B.1 C.2 7.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( A.异面 B.相交
) C.ln 2 D.ln 2

D.3 )

C.平行

D.异面或相交

8.下列四个数中最大的是( A.(ln 2)2

B.ln(ln 2)

9.已知直线 a、b 和平面 α,下列命题中正确的是( A.若 a∥α,b?α,则 a∥b C.若 a∥b,b?α,则 a∥α 10.函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是

)

B.若 a∥α,b∥α,则 a∥b D.若 a∥b,a∥α,则 b?α 或 b∥α ( )

11.已知 f ?x ? ? 2 ? x ? a ? 1 有唯一的零点,则实数 a 的值为( )
| x| 2

A. -3 12.已知函数 f ? x ? ? ln A. ?2

B. -2

C. -1

D. 0 ( D.1 )

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 3? ? f ? lg ? ? ? 3?
B.2 C. - 1

?

(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.如图圆柱的底面周长为 4? ,高为 2,圆锥的底面半径是 1, 则该几何体的体积为 14.在四面体 PABC 中, PA、PB、PC 两两垂直,且均相等, E 是 AB 的中点,则异面直线 AC 与 PE 所成的角为 15.用二分法求方程 2 x ? 3x ? 3 ? 0 在区间(0,2)内的实根,取区间中点为 x0 =1,那么下
3

第二部分非选择题

一个有根的区间是
2

16. 给出下列四个命题:

1? x2 ①函数 y ? 为奇函数;②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点; x?2 ?2
③函数 y ? 2 x 的值域是 ? 0, ? ?? ;
x ④若函数 f (2 x) 的定义域为 [1, 2] ,则函数 f (2 ) 的定义域为 [1, 2] ; 其中正确命题的序号是 . (填上所有正确命题的序号)
1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)已知 f ( x) ? ? (1) 求 f ( x)的零点 (2) 求f ( x)的值域 18.(12 分)如下三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,右面是它 的主视图和左视图(单位: cm). (1)画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

? x2 ? 5x ? 6, x ? 4 ?2 ? log 2 x, x ? 4

19.(12 分)设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?
(1)讨论函数 y ? f ( x) 的单调性;

2x ? a 2x ? a

(2)根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由.
20. (12 分)在正方体

ABCD-A1B1C1D1 中,

D1
A1

E

C1

E,F 分别为 C1 D1 ,BC 的中点

B1C1D1

(1)求证 EF / / 平面BDD1B1 ; (2)求异面直线 EF与AC 1 1 的夹角 A D F B C

3

21.(12 分)为了让“AEPC 蓝”持续下去,北京市某研究所经研究发现:在一定范围内, 每喷洒 1 个单位的净化剂,空气中释放的浓度 y (单位:毫克/立方米)随着时间 x (单位:
? 16 ? 1 , 0 ≤ x ≤ 4 , ? 天)变化的函数关系式近似为 y ? ? 8 ? x ?5 ? 1 x , 4 ? x ≤ 10. ? 2

若多次喷洒, 则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度 之和.由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时,它才能起到净化空气的 作用. (1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂,则净化时间可达几天? (2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂,6 天后再喷洒 a ( 1 ≤ a ≤ 4 )个单位的药剂, 要使接下来的 4 天中能够持续有效净化, 试求 a 的最小值 (精确到 0.1, 参考数据: 2 ? 1.4

- k ],[ k ,+?), 参考知识: y ? x ? (k>0)俗称“对勾函数”的增区间为(-?,

k x

减区间为( - k ,0),(0, k))

22.(12 分)已知函数 y ? log2 (4 ?1) ? kx 是偶函数.
x

(1)求 k 的值; (2)若 f ( x) ? log 2 5 ? 1,求 x 的取值范围; (3)设函数 g ( x) ? log 2 (a ? 2 ?
x

4 a) ,其中 a ? 0. 若函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象有且只有一 3

个交点,求 a 的取值范围

4

数学参考答案 考试时间:120 分钟 满分:150 分

分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题 号 答 案 1 C 2 A 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 9 D 10 D 11 D 12 B

第一部分选择题(共 60

第二部分非选择题
22? 3

(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

13.

14.

? 3

15.(0,1)

16. ①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

? x 2 ? 5 x ? 6, x ? 4 17(10分)解:(1) ? f ( x) ? ? ?2 ? log 2 x, x ? 4 x ? 4时,f ( x) ? x 2 ? 5 x ? 6 ? 0解得x ? 6(舍去)或x ? -1?? 2分 x ? 4时,f ( x) ? 2 ? log 2 x ? 0解得x=4????????4分 ? f ( x)的零点为4, -1????????????????5分 5 49 49 (2)x ? 4时,f ( x) ? x 2 ? 5 x ? 6 ? (x ? ) 2 ? ? ? ??7分 2 4 4 x ? 4时,f ( x) ? 2 ? log 2 x由对数函数性质知f ( x)在[4, +?)单调递减?8分 ? x ? [4, ??), f ( x) ? (??, 0]??????????????9分 ? f ( x)的值域为R????????????????10分
18.(12 分)[解析] (1)如图.

??????????6 分 (每标出一个量给 1 分) (2)所求多面体的体积 V=V 长方体-V 正三棱锥…………………………7 分 1 1 =4×4×6- ×( ×2×2)×2………………11 分 3 2 284 = (cm3). 3 ………………12 分

5

2x ? a 19 ( 12分) (1) ? f ( x) ? x ,? 知f ( x)的定义域为R??1分 2 ?a 2 x1 ? a 2 x2 ? a 任取x1 ? x2 , 有f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ??2分 2 ? a 2 x2 ? a (2 x1 ? a)(2 x2 ? a) ? (2 x2 ? a)(2 x1 ? a) 2a(2 x1 ? 2 x2 ) ? ? x1 ??3分 (2 x1 ? a)(2 x2 ? a) (2 ? a)(2 x2 ? a) ? x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 0 2a (2 x1 ? 2 x2 ) 又 ? a ? 0 ? (2 ? a)(2 ? a) ? 0 ? x1 ? 0??4分 (2 ? a)(2 x2 ? a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
x1 x2

? f ( x)是在R上的递增的函数???????????5分 (2)若f ( x)为偶函数,则f ( x) ? f ( ? x)对任意x均成立,?6分 2 x ? a 2? x ? a ? x = ?x , 整理可得a(2 x ? 2? x ) ? 0, ??????7分 2 ?a 2 ?a ? 2 x ? 2? x 不恒为0, ? a ? 0, 此时f ( x) ? 1, x ? R, 满足条件;?8分 若f ( x)为奇函数,则f ( x) ? - f (? x)对任意x均成立,??9分 2 x ? a 2? x ? a ? x =- ? x ,整理可得a 2 ? 1 ? 0,? a ? ?1??10分 2 ?a 2 ?a 2x ?1 ? a ? 0,? a ? 1, 此时f ( x) ? x , 满足条件;????11分 2 ?1 综上所述,a=0时,f(x)是偶函数;a=1时,f(x)是奇函数??12分

20(12分)解:取BD中点O,连接OF,D1O ???1分 ? ?BDC中O, F 分别为BD, BC中点 ? OF / / DC且OF ? 1 DC??????2分 A1 2 又 ? 正方体中DC / / D1C1,DC ? D1C1 , E是D1C1的中点
G

D1

E

C1

B1

? OF / / D1 E且OF=D1 E??????3分 ? OFED1为平行四边形??????4分 ? EF //D1O 又 ? EF ? 平面BDD1 B1,D1O ? 平面BDD1 B1??5分 ? EF / / 平面BDD1 B1????????????6分
1 (2)取A1 D1中点G连接GE , GF , 则GE / / A1C1 , 且GE= A1C1 2 ? A1C1与EF 夹角为GE与EF 夹角??????????7分 ? 正方体中A1 D1 ? BC , G , F 分别为A1 D1,BC的中点
A D O B F C

6

? GD1CF 为平行四边形 ? GF ? D1C??????????????????8分 设正方体的边长为a,则面对角线BD=D1C=A1C1 ? 2a 2a , GF ? 2a??????????????9分 2 BD 2 6 ?由( 1)知EF ? D1O ? DD12 ? ( ) ? a????10分 2 2 ? GE 2 ? EF 2 ? GF 2 ??????????????11分 ? GE ? ??GEF ? 900 ? EF 与A1C1的夹角为900 ????????????12分
21(12 分 ) 因 为 一 次 性 喷 洒 4 个 单 位 的 净 化 剂 ,

? 64 ? 4, 0 ? x ? 4 ? ????1 分 所以f ( x) ? 4 y ? ? 8 ? x ? ?20 ? 2 x, 4 ? x ? 10
则,当0 ? x ? 4时,由 64 ? 4 ? 4, 解得x ? 0, 所以0 ? x ? 4 ????????3 分 8-x

当4 ? x ? 10时, 20 ? 2 x ? 4, 解得x ? 8, 所以4 ? x ? 8 ????????????4 分 综上所述: 0 ? x ? 8,即若一次投放4个单位净化剂则有效净化时间可达8天。 ????
5分

(2)设从第一次喷洒起,经( x 6 ? x ? 10)天, ??????????6 分
浓度g ( x) ? 2(5 ? 1 16 16a 16a x) ? a[ ? 1] ? 10 ? x ? ? a ? (14 ? x) ? ?a?4 2 8 ? ( x ? 6) 14 ? x 14 ? x

????9 分

?14 ? x ?[4,8], 而1 ? a ? 4, 4 a ?[4,8] ??10 分
由对勾函数的单调性知 14-x ? 4 a时g(x)有最小值8 a ? a ? 4 ??????11 分
令8 a ? a ? 4 ? 4,解得24-16 2 ? a ? 4, 所以a的最小值为24-16 2 ? 1.6??12 分
22、 (12 分)解: (1)∵

f ( x) ? log 2 (4 x ?1) ? kx ( k ? R) 是偶函数,

?x ∴ f (?x) ? log2 (4 ?1) ? kx ? f ( x) 对任意 x ? R ,恒成立 ????1 分 log2 (4x ?1) ? 2x ? kx ? log2 (4x ?1) ? kx 恒成立,

∴ 2(k ? 1) x ? 0 恒成立??????????????????2 分 ∴ k ? 1 ??3 分

7

(4 x ? 1) (2)若 log 2 (4 ? 1) ? x ? log 2 5 ? 1则 log 2 ? x ?1 5 (4 x ? 1) 所以 ? 2 x ?1 , 所以4 x ? 5 ? 2 x ?1 ? 1 ? 0 5 5 令t ? 2 x 则有t 2 ? t ? 1 ? 0即2t 2 ? 5t ? 2 ? 0????? 4分 2 1 解得t ? 或t ? 2????????????????5分 2 1 所以2 x ? 或2 x ? 2 2 所以x ? ?1或x ? 1????????????????6分 4 4 x (3)由于 a ? 0 ,所以 g ( x) ? log2 (a ? 2 ? a ) 定义域为 (log 2 , ??) ,也就是满足 3 3 4 2x ? 3 ?7 分
x

∵函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个交点,
4 4 x x ∴方程 log 2 (4 ? 1) ? x ? log 2 (a ? 2 ? a ) 在 (log 2 , ??) 上只有一解 3 3

4 4x ? 1 4 即:方程 x ? a ? 2 x ? a 在 (log 2 , ??) 上只有一解 3 2 3
2 因 而 等 价 于 关 于 t 的 方 程 (a ? 1)t ?

,令 2 x ? t , 则 t ?

4 , 3

4 4 a t? 1 ? 0 ( * ) 在 ( ,?? ) 上 只 有 一 3 3

解 ???8 分 ①
3 4 当 a ? 1 时,解得 t ? ? ? ( , ??) ,不合题意;????9 分 4 3

2a 4 2 ? 0 ∴函 当 0 ? a ? 1 时,记 h(t ) ? (a ? 1)t ? at ? 1 ,其图象的对称轴 t ? 3(a ? 1) 3

4 4 2 ) 数 h(t ) ? (a ? 1)t ? at ? 1 在 (0, ??) 上递减,而 h(0) ? ?1 ∴方程(*)在 ( , ?? 3 3 无解??10 分



2a 4 2 ? 0, 当 a ? 1 时,记 h(t ) ? (a ? 1)t ? at ? 1 ,其图象的对称轴 t ? 3(a ? 1) 3

4 16 16 h(0) ? ?1 ,所以,只需 h( ) ? 0 ,即 (a ?1 ) ? a? 1 ? 0 ,此恒成立∴此时 a 3 9 9 的范围为 a ? 1 ?11 分

综上所述,所求 a 的取值范围为 a ? 1

?????????????12 分

8

除以上解法若还有其他解法请改卷老师酌情给分。

9


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