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《空间向量的正交分解及其坐标表示》 (1)


3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示

复习: 共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 ( b b ? 0), a // b的 充要条件是存在实数?,使a=? b。

共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线,则向量 p与向量a, b 共面的充要条件是存在 实数对x,y,使 p=x a+yb。

平面向量基本定理:
如果e1, e 2是同一平面内的两个不 共线向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a,有且只有 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 (e1、 e 2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底。)

平面向量的正交分解及坐标表示

y

a ? xi ? y j
i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0). i
o j

a
x

问题: 我们知道,平面内的任意一个向量 p 都可以用

两个不共线的向量 a, b 来表示(平面向量基本定理)。 对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?
OP ? OQ ? zk.

OQ ? xi ? y j.

z

OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk.
由此可知,如果 i, j , k 是空间两 两垂直的向量,那么,对空间任一 向量 p ,存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk . 我们称

k i
x
O

p
j

P

y Q

xi, y j, zk

为向量 p 在

i, j, k上的分向量。

探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量

a , b, c

代替两两垂直的向量
结论吗? 空间向量基本定理:

i, j , k

,你能得出类似的

如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一 向量 p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z, 使 p ? xa ? yb ? zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

a, b, c 都叫做基向量

特别提示:对于基底{a,b,c}, a,b,c不共面, (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

三个向量不共面,就隐含着它们都不是 0 。

(2) 由于 0 与任意一个非零向量共线,所以

(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念。

一、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用 e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点,向量e1,e2,e3都叫做坐标向 量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。

二、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p ,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)
x e3 e1 O e2

z

p
y

在空间直角坐标系O--xyz中,对空间任一点, A,对应一个向量OA,于是存在唯一的有序实数 组x,y,z,使 OA=xe1+ye2+ze3
z

在单位正交基底e1, e2, e3 中与向量OA对应的有序实数 组(x,y,z),叫做点A在此空间 直角坐标系中的坐标,记作 A(x,y,z),其中x叫做点A的横 坐标,y叫做点A的纵坐标,z 叫做点A的竖坐标.
x

A(x,y,z) e3 e1 O e2 y

练习:

e2、 e3 分 AB ? e1 ? 2e2 ? 3e2 ( e1、 1、在空间坐标系o-xyz中, 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 AB 的坐标为 .
2、点M(2,-3,-4)在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ,关于原点的对称点 为 ,关于x轴的对称点为 .

例题
已知空间四边形OABC,其对角线为OB, AC,M,N,分别是对边OA,BC的中点, 点P,Q是线段MN三等分点,用基向量OA, OB,OC表示向量OP,OQ.
O M A Q P C

N
B

练习
1、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底. 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.

练习2


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