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数列求和


数列求和是数列的重要内容之一,在现行高中教材中,只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计 算推导,而数列种类繁多,形式复杂,绝大多数既非等差数列又非等比数列,也就不能直接用公式来求解。 对于这种非常规数列的求和问题,针对具体情况,现归结为以下几种方法,供大家参考。 一、倒序相加法 此法来源于等差数列求和公式的推导方法。
n n ?1 n ?2 2 n 例 1. 已知 l

g(xy) ? a, Sn ? lg x ? lg(x y) ? lg(x y ) ? ? ? lg y , 求 S n .

解: Sn ? lg x ? lg(x y) ? lg(x y ) ? ? ? lg y 。 把等式①的右边顺序倒过来写,即①可以写成以下式子:
n 2 n

n ?1

n ?2

① ②

Sn ? lg y n ? lg(y n ?1 x) ? lg(y n ?2 x 2 ) ? ? ? lg x n .
把①②两式相加得 2Sn ? (n ? 1) lg(xy) ? n(n ? 1) lg(xy) ? a ? n(n ? 1).
n

?Sn ?

a ? n(n ? 1). 2

二、错位相消法 此法来源于等比数列求和公式的推导方法。
2 3 n 例 2. 求数列 a,2a ,3a , ?na , ? 的前 n 项和。
2 3 n 解:设 Sn ? a ? 2a ? 3a ? ? ? na .

当 a ? 1 时,

Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

n(n ? 1) . 2

3 4 n ?1 2

2 3 n 当 a ? 1 时, Sn ? a ? 2a ? 3a ? ? ? na .

①式两边同时乘以公比 a,得 aS n ? a ? 2a ? 3a ? ? ? na ①②两式相减得

.
n



(1 ? a )S n ? a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? na n ?1 ?

a (1 ? a ) ? na n ?1 . 1? a

?S n ?

na n ? 2 ? (n ? 1)a n ?1 ? a . (1 ? a ) 2

三、拆项分组法 把一个数列分拆成若干个简单数列(等差数列、等比数列) ,然后利用相应公式进行分别求和。

1? ? 2 1 ? 1 ? ? ? n ? x ? ? , ? x ? 2 ? ,? ? ? x ? n ? x? ? x ? x ? 的前 n 项和。 ? 例 3. 求数列 ?
解 : 设 数 列 的 前 n 项 和 为 Sn

2

2

2

1? 1 ? 1 ? ? ? ? Sn ? ? x ? ? ? ? x 2 ? 2 ? ? ? ? ? x n ? n ? ? x? x ? x ? ? ? ? , 则

2

2

2

1 1 1 1 ? 2 ? ? 4 ? ? 2n ? ? 1 2 4 2n ? x ? 2 ? 2 ? ? ? x ? 4 ? 2 ? ? ? ? ? x ? 2n ? 2 ? ? (x ? x ? ? ? x ) ? ? 2 ? 4 ? x x x x ? ? ? ? ? ? ?x 1 ? ? ? 2 n ? ? 2n. x ?
当 x ? ?1 时, 当 x ? ?1时, S n ? 4n.

Sn ?

x 2 ( x 2n ? 1) x ?2 ( x ?2n ? 1) ( x 2n ? 1)( x 2n ? 2 ? 1) ? ? 2 n ? ? 2n. x2 ?1 x ?2 ? 1 x 2 n ( x 2 ? 1)

说明:在运用等比数列的前 n 项和公式时,应对 q=1 与 q ? 1 的情况进行讨论。 四、裂项相消法

1 1 1 ? ? , n ? n! ? n ( n ? 1 ) n n ?1 用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项技巧。如

(n ? 1)!?n!,
1

? n 1 1 1 1? 1 1 ? ? , ? ? ? ?, (n ? 1)! n! (n ? 1)! n(n ? 1)( n ? 2) 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ?
? n ? 1 ? n.

n ?1 ? n

1 1 1 1 , , ,?, ,? n (n ? 2) 例 4. 求数列 1 ? 3 2 ? 4 3 ? 5 的前 n 项和。
?
解:

1 1?1 1 ? ? ? ? ?, n (n ? 2) 2 ? n n ? 2 ?
1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n n ? 2 ??

?S n ? ?

1? 1 1 1 ? 1?3 1 1 ? ? ? ?1 ? ? ?? ? ? ?. 2? 2 n ?1 n ? 2? 2 ? 2 n ?1 n ? 2?

五、奇偶数讨论法 如果一个数列为正负交错型数列,那么从奇数项和偶数项分别总结出 S n 与 n 的关系进行求解。
n 例 5. 已知数列 {a n }, a n ? ?2[n ? (?1) ], 求该数列的前 n 项和 S n 。 n n 解: a n ? ?2[n ? (?1) ] ? ?2n ? 2(?1) , 对 n 分奇数、偶数讨论求和。





n ? 2m(m ? N* ) n ? 2m ? 1(m ? N* )





Sn ? S2m ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? 2[(?1) ? (?1) 2 ? ? ? Sn ? S2m?1 ? S2m ? a 2m ? ?(2m ? 1) ? 2m ? 2[2m ? (?1) 2m ]

(?1) 2m ] ? ?2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2m) ? ?(2m ? 1) ? 2m ? ?n(n ? 1).
② 当 时 ,

? ?(2m ? 1) ? 2m ? 2(2m ? 1) ? ?4m 2 ? 2m ? 2 ? ?(n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2 ? ?n 2 ? n ? 2.
? ?? n(n ? 1)(n为正偶数), ?S n ? ? 2 ? ?? n ? n ? 2(n为正奇数).
六、通项公式法 利用 a n ? S n ? S n ?1 , 问题便转化成了求数列 {S n } 的通项问题。 这种方法不仅思路清晰, 而且运算简洁。
n ?1 例 6. 已知数列 {a n }, a n ? n ? 3 , 求该数列的前 n 项和 S n 。

1 1 Sn ?1 ? Sn ? a n ?1 ? (n ? 1) ? 3n ? 3n ? (4n ? 4) ? 3n ? [(2n ? 1) ? 3 ? (2n ? 1)] ? 4 4 解: 1 1 1 1 (2n ? 1) ? 3n ?1 ? (2n ? 1) ? 3n , Sn ?1 ? (2n ? 1) ? 3n ?1 ? Sn ? (2n ? 1) ? 3n . 4 4 4 4 即
1 ? n? 1 3 1 ?S n ? (2n ? 1) ? 3 ? S1 ? ? 3 ? a 1 ? ? . 4 ? 是一个常数列,首项为 4 4 4 ∴数列 ?

?Sn ?

1 1 ? (2n ? 1) ? 3n . 4 4

七、综合法 这种方法灵活性比较大,平时注意培养对式子的敏锐观察力,尽量把给定数列转化为等差或等比数列 来处理。

2 2 2 2 n ?1 2 例 7. 已知 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) n , 求 S n . 2 2 分析:注意观察到: 1 ? 2 ? (1 ? 2)(1 ? 2) ? ?(1 ? 2),

3 2 ? 4 2 ? (3 ? 4)(3 ? 4) ? ?(3 ? 4), ?? 其他可依次类推。关键是注意讨论最后的 n 是奇数还是偶数。 解:①当 n 为奇数时,由以上的分析可知: n(n ? 1) n(n ? 1) Sn ? ?[1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)] ? n 2 ? ? ? n2 ? . 2 2 ②当 n 为偶数时,可知: n(n ? 1) Sn ? ?(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? . 2 n(n ? 1) Sn ? (?1) n ?1 . 2 由①②可得 说明:对于以上的各种方法,大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。当然, 数列求和的方法还有很多,大家平时还应多注意总结。
七、公式法求和


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