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等差数列习题课教案


课题

等差数列习题课 1、掌握等差等比数列的性质的应用 2、掌握数列中的一些特殊的解题技巧 3、能够熟练的应用数列的性质解题 重点是数列性质的灵活应用,做到熟能生巧,融 会贯通 难点是数列的综合应用,求和以及证明 等差数列习题课 教学过程

三维目标

重难点 课件名称 上课时间

一、知识梳理 数

列概念 1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列 中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项与序号之间可以用一个 式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式, 即 an ? f (n) . 4.数列的前 n 项和与通项的公式 ? S1 ( n ? 1) ① S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ; ② a n ? ? . ? S n ? S n ?1 ( n ? 2) 5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类: 有穷数列, 无穷数列; 递增数列, 递减数列, 摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 an?1 ? an . ②递减数列:对于任何 n ? N ? ,均有 an?1 ? an . ③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1, ?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. 等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起, 每一项与它前一项的差等于同一个 常数 d , 这个数列叫做等差数列, 常数 d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差. ⑵前 n 项和公式 S n ?
n ( a1 ? a n ) 1 或 S n ? na1 ? n( n ? 1)d . 2 2

3.等差中项 如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即:A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b ? a ,A ,b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法
1

⑴定义法: an?1 ? an ? d ( n ? N ? , d 是常数) ? ?an ? 是等差 数列; ⑵中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 ?an ? 是等差数列,则数列 ?an ? p?、 ?pan ? ( p 是常数) 都是等差数列; ⑵在等差数列 ?an ? 中,等距离取出若干项也构成一个等差数 列,即 an , an?k , an?2k , an?3k ,?为等差数列,公差为 kd . ⑶ an ? am ? (n ? m)d ; an ? an ? b ( a , b 是 常 数 ) ;

Sn ? an2 ? bn ( a , b 是常数)
⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;
?S ? ⑸若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 ? n ? 是等差数列; ?n? 二、典型例题

热点考向一:等差数列的基本量 例1. 在等差数列{ an }中, (1) 已知 S8 ? 48, S12 ? 168 ,求 a1, 和 d (2) 已知 a6 ? 10, S5 ? 5 ,求 a8 和 S8 变式训练: 1、 已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,a6 ? 100, 则 S11 ? ; S 7n ? 2 2、设 Sn 、 Tn 分别是等差数列 ?an ? 、 ?an ? 的前 n 项和, n ? , Tn n?3 a 则 5 ? . b5 a S 5 3、设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 5 ? , 则 9 ? ( ) a3 9 S5 S a 2n 4 、等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn , 若 n ? ,则 n = Tn 3n ? 1 bn
( )

热点考向二:等差数列的判定与证明. 例 2.已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,bn ? 数列 ?bn ?是等差数列.
的值为( )

Sn ( n ? N ? ) .求证: n

变式训练: 在等差数列 ?an ? 中, 若 S 4 ? 1, S8 ? 4 , 则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 热点考向三:等差数列前 n 项和 例3 在等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . (1)若 a1 ? 20 ,并且 S10 ? S15 ,求当 n 取何值时, Sn 最大,并求 出最大值;
2

(2)若 a1 ? 0 , S9 ? S12 ,则该数列前多少项的和最小? 跟踪训练:设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知

a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0.
(I)求公差 d 的取值范围; (II)指出 S1 , S 2 , S3 ,?, S12 中哪一个最大,并说明理由。 热点考向四:数列单调性最值问题 例 4、数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 49 ,当数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得 最小值时,求 n 的值。 跟踪训练: . 1.已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,a1 ? 25, a4 ? 16. 当 n 为何值 时, Sn 取得最大值;
2 2.数列 ?an ? 中, an ? 3n ? 28n ? 1 ,求 an 取最小值时 n 的值.

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n , 求数列{|an|}的前 n 项 和 Tn. 热点考向五:求数列通项公式 例 5 给出前 n 项和求通项公式
⑴ Sn ? 2n 2 ? 3n ; ⑵ Sn ? 3n ? 1.(3)Sn=12n-n
2

2

跟踪训练:设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? …+3n-1an ?
求数列 ?an ? 的通项公式

n (n ? N * ) , 3

三。随堂训练 1、等差数列{an}中,a1=60,an+1=an+3 则 a10 为 ( ) A、-600 B、-120 C、60 D、-60 2、若等差数列中,a1=4,a3=3,则此数列的第一个负数项是 ( ) A、a B、a10 C、a11 D、a12 3.若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 5 ,则此数列是 () A.公差为 2 的等差数列 B. 公差为 5 的等差数列 C.首项为 5 的等差数列 D. 公差为 n 的等差数列 4. 已知{an}是等差数列,a7+a13=20,则 a9+a10+a11= A、36 B、30 C、24 D、18 5.等差数列 ?3, ?7, ?11, ( A. 4n ? 7
, 的一个通项公式为





) B. ?4n ? 7

C. 4n ? 1
3

D. ?4 n ? 1

6.已知等差数列 ?an ? 中,a2与a6 的等差中项为 5 ,a3与a7 的等差中

项为 7 ,则 an ?

.
,

7.判断数 52 ,2k ? 7(k ? N? ) 是否是等差数列 ?an ? : ?5, ?3, ?1,1, 中的项,若是,是第几项? 反思

4


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