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2015届高考一轮复习课时提升作业(人教A版数学理):5.3 等比数列及其前n项和


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课时提升作业(三十二)
一、选择题 1.已知等比数列{an}的公比 q=2,其前 4 项和 S4=60,则 a2 等于( (A)8 (B)6 (C)-8 (D)-6 ) )

2.等比数列{a

n}中,若 log2(a2a98)=4,则 a40a60 等于( (A)-16 (B)10 (C)16 (D)256

3.在正项等比数列{an}中,a1,a19 分别是方程 x2-10x+16=0 的两根,则 a8·a10·a12 等于( (A)16 (B)32 ) (C)64 (D)256

4.(2013·南昌模拟)数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为 等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn}的公比为( (A) 2 (B)4 (C)2 (D)
1 2

)

5.(2013·沈阳模拟)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9,则 log 1 ?a 5 ? a 7 ? a 9 ? 的值是(
3

) (D)
1 5

(A)-5

(B)-

1 5

(C)5

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2 011=3S2 010+2 012,a2 010=3S2 009+2 012,则公比 q=( (A)4 (C)2 ) (B)1 或 4 (D)1 或 2

7.(2013·吉安模拟)已知 a1 ,

a 2 a3 a , , ?, n , ?是首项为 1,公比为 2 的等 a1 a 2 a n ?1

比数列,则数列{an}的第 100 项等于( (A)25 050 (B)24 950 (C)2100

) (D)299

8.(2013·汉中模拟)在等比数列{an}中,a6 与 a7 的等差中项等于 48, a4a5a6a7a8a9a10=1286.如果设数列{an}的前 n 项和为 Sn,那么 Sn=( (A)5n-4 (C)3n-2 二、填空题
2 9.(2012·广东高考)若等比数列{an}满足 a 2a 4 ? , 则 a1a3 a 5 =________.

)

(B)4n-3 (D)2n-1

1 2

10.(2013· 莆田模拟)设{an}是公差不为 0 的等差数列, a1=2,且 a1,a3,a6 成等比数列,则 a5 的值为______. 11.数列1 , 2 ,3 , 4
1 2 1 4 1 8 1 , ? 的前 n 项和为________. 16

12.(能力挑战题)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a1=1, Sn+1=2Sn+n+1(n ∈N*),则数列{an}的通项公式 an=___________. 三、解答题 13.(2013·漳州模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2-an. (1)求数列{an}的通项公式. (2)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn. 14.(能力挑战题)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且
a1 ? a 2 ? 2( 1 1 ? ) , a1 a 2 1 1 1 ? ? ), a3 a 4 a5

a 3 ? a 4 ? a 5 ? 64(

(1)求{an}的通项公式. (2)设 bn ? (a n ?
1 2 ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an

15.(能力挑战题)设一元二次方程 anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根 α 和β ,且满足 6α -2α β +6β =3. (1)试用 an 表示 an+1. (2)求证:数列{an- }是等比数列. (3)当 a1= 时,求数列{an}的通项公式.
7 6 2 3

答案解析
1.【解析】选 A.S4=60,q=2? ∴a2=a1q=4×2=8. 2.【解析】选 C.a40a60=a2a98,根据 log2(a2a98)=4 即可求解.根据已知 a2a98=24=16,所以 a40a60=16. 3. 【解析】 选 C.根据根与系数的关系得 a1a19=16, 由此得 a10=4, a8a12=16, 故 a8·a10·a12=64. 4.【解析】选 C.设{an}的公差为 d,则(a1+2d)2=a1(a1+6d),即 a1=2d,所以 q=
a 3 a1 ? 2d 2d ? 2d ? ? ? 2. a1 a1 2d

a1 (1 ? q 4 ) =60? a1=4, 1? q

5.【思路点拨】根据数列满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*)且 a2+a4+a6=9 可 以确定数列是公比为 3 的等比数列,再根据等比数列的通项公式即可

通过 a2+a4+a6=9 求出 a5+a7+a9 的值. 【解析】选 A.由 log3an+1=log3an+1(n∈N*),得 an+1=3an,又因为 an>0, 所以数列{an}是公比为 3 的等比数列,a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×33=35,所以
log 1 ? a 5 ? a 7 ? a 9 ? ? ?log3 35 ? ?5.
3

6.【解析】选 A.由 a2 011=3S2 010+2 012,a2 010=3S2 009+2 012 两式相减得 a2 011-a2 010= 3a2 010,即 q=4. 7.【解析】选 B.假设 a0=1,数列{ a100= a1
an a }的通项公式是 n ? 2n ?1. 所以 a n ?1 a n ?1

a a 2 a3 ·…· 100 =20+1+…+99=24 950. a 99 a1 a 2

8.【解析】选 D.设等比数列{an}的公比为 q,由 a6 与 a7 的等差中项等于 48,得 a6+a7=96,即 a1q5(1+q)=96.
2 由等比数列的性质,得 a4a10=a5a9=a6a8= a 7 .



因为 a4a5a6a7a8a9a10=1286,
6 6 7 6 6 则 a7 7 =128 =(2 ) ,即 a1q =2 .



由①②解得 a1=1,q=2, ∴ Sn ?
1 ? 2n ? 2n ? 1, 故选 D. 1? 2

9. 【思路点拨】 本题考查了等比数列的性质: 已知 m,n,p∈N*, 若 m+n=2p,
2 则 am an ? ap .
2 ? , 【解析】∵ a 2a 4 ? , ∴ a 3 2 4 a5 ? a3 ? . ∴ a1a 3

1 2

1 2

1 4

答案:

1 4

10.【解析】设等差数列{an}的公差为 d,则(a1+2d)2 =a1(a1+5d),即(2+2d)2=2(2+5d), 解得 d ? 或 d=0(舍去),∴a5=a1+4d=2+4× =4. 答案:4 11.【解析】设所求的前 n 项和为 Sn,则
n ? n ? 1? 1 1 1 1 Sn ? (1 ? 2 ??? n) ? ( ? ??? n ) ? ?1? n . 2 4 2 2 2
1 2 1 2

答案:

n ? n ? 1? 1 ?1? n 2 2

12.【解析】∵Sn+1=2Sn+n+1,当 n≥2 时 Sn=2Sn-1+n, 两式相减得:an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1),即
a n ?1 ? 1 =2. an ?1

又 S2=2S1+1+1,a1=S1=1, ∴a2=3,∴
a2 ?1 =2, a1 ? 1

∴{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, ∴an+1=2n 即 an=2n-1(n∈N*). 答案:2n-1 【方法技巧】含 Sn,an 问题的求解策略 当已知含有 Sn+1,Sn 之间的等式时, 或者含有 Sn,an 的混合关系的等式时, 可以采用降级角标或者升级角标的方法再得出一个等式,两个等式相 减就把问题转化为数列的通项之间的递推关系式.

13.【解析】(1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2-an)-(2-an-1)=an-1-an, ∴2an=an-1,a1=1, ∴数列{an}是等比数列,其首项为 1,公比为 , ∴an= ( ) n ?1. (2)Sn=2-an= 2 ? ( ) n ?1 ,
1 2 1 1 ? ( )n 2 = 2n ? 1 1? 2 1 = 2n ? 2 ? n ?1 . 2
1 2 1 2
1 2

∴Tn= 2 ? ( )0 ? 2 ? ( )1 ??? 2 ? ( ) n ?1

1 2

1 2

14.【思路点拨】(1)设出公比根据条件列出关于 a1 与 q 的方程组求得 a1 与 q,即可求得数列的通项公式. (2)由(1)中求得数列的通项公式,可求出{bn}的通项公式,由其通项公 式可知分开求和即可. 【解析】(1)设公比为 q,则 an=a1qn-1.由已知得
1 1 ? ?a1 ? a1q ? 2( a ? a q ), ? 1 1 ? ?a q 2 ? a q3 ? a q 4 ? 64( 1 ? 1 ? 1 ). 1 1 1 ? a1q 2 a1q3 a1q 4 ?
2 ? ?a1 q ? 2, 化简得 ? 2 6 ? ?a1 q ? 64.

又 a1>0,故 q=2,a1=1,所以 an=2n-1. (2)由(1)得 bn ? (a n ? = 4n ?1 ?
1 ? 2. 4n ?1

1 2 1 2 ) ? an ?2? 2 an an

所以 Tn ? (1 ? 4 ? … ? 4n ?1 ) ? (1 ? ? … ?
1 1 ? ( )n 1? 4 4 ? 2n ? ? 1 1? 4 1? 4 1 ? (4n ? 41? n ) ? 2n ? 1. 3
n

1 4

1 ) ? 2n 4n ?1

15.【解析】(1)∵一元二次方程 anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两根α 和β, 由根与系数的关系易得 ? ? ? ? ∵6α-2αβ+6β=3,∴ 即 a n ?1 ? a n ? .
1 1 2 3 2 1 2 ∴ a n ?1 ? ? (a n ? ) , 3 2 3 1 2 1 3

a n ?1 1 , ?? ? , an an

6a n ?1 2 ? =3, an an

(2)∵ a n ?1 ? a n ? ,

2 2 3?1 , 当 a n ? ≠0 时 , 2 3 2 an ? 3 2 2 当 a n ? ? 0 ,即 a n ? 时, 3 3 2 2 此时一元二次方程为 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 3 3 a n ?1 ?

即 2x2-2x+3=0, ∵Δ=4-24<0, ∴不合题意,即数列{ a n ? }是等比数列. (3)由(2)知:数列{ a n ? }是以 a1 ? ? ? ? 为首项,公比为 的等比 数列, ∴ a n ? ? ? ( )n ?1 ? ( )n ,
2 3 1 2 1 2 1 2
2 3 2 3

2 3

7 6

2 3

1 2

1 2

即 a n ? ( )n ? , ∴数列{an}的通项公式是 a n ? ( ) n ? . 【变式备选】定义:若数列{An}满足 An+1= A 2 n ,则称数列{An}为“平方递 推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=2x2+2x 的图 象上,其中 n 为正整数. (1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列” ,且数列{lg(2an+1)}为等比 数列. (2)设(1)中 “平方递推数列” 的前 n 项之积为 Tn, 即 Tn=(2a1+1)(2a2+1)… (2an+1),求数列{an}的通项公式及 Tn 关于 n 的表达式. 【解析】(1)由条件得:an+1= 2a 2 n +2an,
2 ∴2an+1+1= 4a 2 n +4an+1=(2an+1) ,

1 2

2 3

1 2

2 3

∴{2an+1}是“平方递推数列”. ∵lg(2an+1+1)=2lg(2an+1), ∴
lg ? 2a n ?1 ? 1? ? 2, lg ? 2a n ? 1?

∴{lg(2an+1)}为等比数列. (2)∵lg(2a1+1)=lg5, ∴lg(2an+1)=lg5·2n-1, ∴2an+1= 52 ,∴ a n ? (52 ? 1) . ∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)= ∴Tn= 52 ?1 .
n n ?1

1 2

n ?1

lg5 (1 ? 2n ) ? (2n ? 1)lg5 , 1? 2

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