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9函数的奇偶性


引 入课题:
1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1), f(-2) , f(2),及f(-x) ,并 画出它的图象。 y
解:
f(0)=0,f(-1)=(-1)2=1 f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-x)=(-x)2=x2 f(1)=1 f(-2)=f(2) f(-1)=f(1)
(-x,y) (

x,y)
f(-x) f(x)

x o f(-x)=f(x) -x x 2.已知f(x)=x3, 求f(0),f(-1),f(1) f(-2),f(2), 及f(-x),并画出 y 它的图象.

解: f(0)=0,f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-2)= - f(2)

(x,y)
f(x) -x f(-x)

f(-2)=(-2)3=-8
f(-x)=(-x)3=-x3

f (2)=8

f(-1)= - f(1)

f(-x)= - f(x)

o

x

x

(-x,-y)

思考:函数图象上横坐标互为相反数的 点的纵坐标有什么关系?

1.函数奇偶性的概念:
偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫偶函数.

奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)
那么函数f(x)就叫奇函数.

☆对奇函数、偶函数定义的说明:
(1).函数具有奇偶性的前提是:定义域关于原点对称。
[-b,-a]

o

[a ,b]

x

(2) 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=-f(x)成立。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
(3) 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说

函数f(x) 具有奇偶性。

练习1. 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ①f(x)=x4 ________
奇函数 ② f(x)=x ________ 奇函数 ③ f(x)=x5 __________

奇函数 ④ f(x)= x -1 __________
⑤f(x)=x -2 ⑥f(x)=x -3 偶函数 __________ 奇函数 _______________

结论:一般的,对于形如 f(x)=x n 的函数,
若n为偶数,则它为偶函数。

若n为奇数,则它为奇函数。

例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x
解: 定义域为R ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) = - f(x)

(2)

f(x)=2x4+3x2

解: 定义域为R
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 =2x4+3x2
= f(x)

∴f(x)为奇函数 ☆ 小结:用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域,看是否关于原点对称;

∴f(x)为偶函数

⑵再判断f(-x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。

练习2. 判断下列函数的奇偶性
1 (1) f(x)=x- x 解:定义域为﹛x|x≠0﹜ ∵f(-x)=(-x) = -x+ 1 1

(2) f(x)= - x2 +1
解:定义域为R

-x

∵f(-x)= -(-x)2+1
= - x2+1

x = - f(x)

= f(x)
∴f(x)为偶函数

∴f(x)为奇函数

(3). f(x)=5
解: f(x)的定义域为R ∵ f(-x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数 y

(4) f(x)=0
解: 定义域为R ∵ f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 = -f(x) ∴f(x)为既奇又偶函数 y

5

o

x

o

x

结论: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称),为既奇又 偶函数。

(5) f(x)=x2+x 解: ∵f(-1)=0,f(1)=2 ∴f(-1)≠f(1) ,f(-1)≠-f(1)

(6) f(x)= √x

解: 定义域为 [0 ,+∞) ∵ 定义域不关于原点对称

∴f(x)为非奇非偶函数

∴f(x)为非奇非偶函数

(7) f(x)= 3 √x

解: 定义域为R
√-x = - 3√x ∵ f(-x)= 3

= - f(x) ∴f(x)为奇函数

奇函数

小结:根据奇偶性,
函数可划分为四类:

偶函数

既奇又偶函数
非奇非偶函数

例2.判断函数f(x)= (1)求函数的定义域

√1-x2 的奇偶性。 |x+2|-2

(2)化简函数表达式
(3)判断函数的奇偶性 -1≤x≤1 1-x2≥0 解(1) x≠0且x≠-4 |x+2|≠2 ∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]
2 √1 -x (2)f(x)= (x+2)-2 2 √1 -(-x) (3)f(-x)= -x 2 √1 -x = x √1-x2 = x

-1≤x ≤1且x ≠0

= - f(x)

∴ f(x) 为奇函数.

2.奇偶函数图象的性质:
奇函数的图象(如y=x3
y

)

偶函数的图象(如y=x2)
y

p(a ,f(a))

P/(-a ,f(-a))

p(a ,f(a))

(-a,f(a)) o

-a

o

a a

x

-a

a

x

P/(-a ,f(-a))

(-a,-f(a))

2.奇偶函数图象的性质:
⑴ 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. ⑵ 偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数.
注:奇偶函数图象的性质可用于:
①.判断函数的奇偶性。 ②.简化函数图象的画法。

例3 已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图象如图, 画出y=f(x)在 y轴左边的图象。 y 解:画法略

o

x

本课小结:
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为奇函数。 f(x)为偶函数。

2.两个性质:
一个函数为奇函数 一个函数为偶函数 它的图象关于原点对称。 它的图象关于y 轴对称。

补充知识:
1、设 , 的定义域分别是 们的公共定义域上: ? 奇+奇=奇 ? 奇 奇=偶 ? 偶+偶=偶 ? 偶 偶=偶 ? 奇 偶=奇
f ( x) g ( x)

D1 , D2

,那么在它

?

? ?

2、定义:若T为非零常数,对于定义域内 的任一x,使 恒成立,则f(x)叫做 周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
f ( x ? T ) ? f ( x)

例:若函数 在R上是奇函数,且在 ? ? 上 是增函数,且 : ① 关于 对称; ② 的周期为 ; ③ 在(1,2)是 函数(增、减)。
f ( x)

? 1, 0

f ( x ? 2) ? f ( x)

f ( x)

f ( x)

f ( x)


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