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高二数学竞赛试卷66


高二数学竞赛试卷
1. 已知 a, b 是正实数,则不等式组 ? (A)充分不必要条件 (C) 充分且必要条件

?x + y > a + b ?x > a 是不等式组 ? 成立的( ) ? xy > ab ?y > b

(B) 必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

2. 设函

数 f ( x) 的定义域为 ( ?∞, a ) U ( a, +∞ ) , f ( x) ≥ 0 的解集为 M , f ( x ) < 0 的解集 为 N ,则下列结论正确的是( (A) M = CR N (C) M U N = R ) (B) C R M I C R N = ? (D) C R M U C R N = R [答] ( )

3.连掷两次骰子得到的点数分别为 x 和 y ,记向量 a = ( x, y ) 与 b = (1, ?1) 的夹角为 θ , 则 θ ∈ (0, (A)

r

r

π

2

) 的概率是(
(B)

) (C)

5 12

1 2

7 12

(D)

5 6

[答] (

)

? y ( x≥y ) ,则函数 f ( x) = (sin 2 x) ? (cos x) 的最大值为 ……… ( 4.定义运算 x ? y = ? ? x ( x<y ) A.
1 2



B.

2 2

C.

3 2

D. 1

5.从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 A.至少有一个黒球与都是黒球 C.至少有一个黒球与至少有 1 个红球
2

B.至少有一个红球与都是黒球 D.恰有 1 个黒球与恰有 2 个黒球
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6.全称命题“ ?x ∈ R , x + 5 x = 4 ”的否定是 A. ?x ∈ R , x + 5 x = 4
2

B. ?x ∈ R , x + 5 x ≠ 4
2

C. ?x ∈ R , x + 5 x ≠ 4
2

D.以上都不正确

7.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示,则甲、乙两人得分 的中位数之和是 A.

62

B.

63

C.

64

D.

65

甲 8 6 3 6 8 8 9 2 1 0 1 2 3 4 5



4 3 3

2 5 1 4 0

5 4 6 9

1 6 7

9

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8. 如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k

的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是( ) (A)k= 8 3 (B)0<k≤12 (C) k≥12(D) 0<k≤12 或 k= 8 3 9. 已知函数 f ( n) = cos A.1 一、填空题

nπ f (1) + f (2) + L + f (2008) (n ∈ N *) ,则 =( 5 f (10) + f (21) + f (32) + f (43)
B.0 C. -1 D.4



?x ? y + 2 ≥ 0 ? 10. 实数 x, y 满足: x + y ? 4 ≥ 0 , z = x + 2 y + m 的最大值为 21 , 且 则实数 m = ? ?2 x ? y ? 5 ≤ 0 ?



11. 设命题 P: c < c 和命题 Q: 对任何 x ∈ R ,x + 4cx + 1 > 0 有且仅有一个成立, 则实
2 2

数 c 的取值范围是



12.右图的发生器对于任意函数 f ( x ) , x ∈ D 可制造出一 系列的数据,其工作原理如下:①若输入数据 x 0 ? D , 则发生器结束工作;②若输入数据 x0 ∈ D 时,则发生 器输出 x1 ,其中 x1 = f ( x 0 ) ,并将 x1 反馈回输入端.现 定义 f ( x ) = 2 x + 1 , D = (0,50) .若输入 x0 = 1 ,那么, 当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 13. 比较大小: 85 (9 ) .
输入 x 0

x0 = x1
输出 x1

x1 = f ( x0 ) x0 ∈ D
否 结束 是

(第 7 题图)

210 ( 6) ;
.

14. 已知数列 {a n } 满足 a1 = 0, a n +1 = a n + 1 + 2 1 + a n ( n = 1,2, L) ,则 a n =___ 15. 设函数 f : R → R, 满足f (0) = 1 ,且对任意 x, y ∈ R, 都有

f ( xy + 1) = f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x + 2 ,则 f ( x) =__ = x + 1 ___________________。
16 在区间 (0,1) 中随机地取出两个数,则两数之和小于 二、解答题 17.(本题满分 10 分)为了解高一学生的体 能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳 绳次数的测试,将所得数据整理、分组后, 画出频率分布直方图(如图).图中从左到右 各小长方形面积之比为 2 : 4 :17 :15 : 9 : 3 . 若第二组的频数为 12 . (1) 求第二组的频率是多少?样本容量是 多少? (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,
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5 的概率是_____________ ____________; ____________ 6
频率/组距

0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004 o 次数

90

100

110

120

130

140

150

18.(本题满分 10 分)已知命题 p :关于 x 的一元二次方程 x 2 + 2 x + m = 0 有两个不相等 的实数根,命题 q : f ( x ) = (5 ? 2m) x 是增函数,若 p 或 q 为真命题, p 且 q 为假命题, 求实数 m 的取值范围.

19.(本小题满分 10 分)如图是正三棱柱 ABC-A1B1C1,AA1=3,AB=2,若 N 为棱 AB 的中点.(1) 求证:AC1∥平面 CNB1;(2)求四棱锥 C-ANB1A1 的体积.

20. (10 分)过点 P(2,1)作直线 l 交 x、y 正半轴于 A、B 两点,当 PA ? PB 取得最小 值时,求直线 l 的方程.

21.(10)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大桥 的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流 密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度为 60 千米/小时。研究表明:当 20 ≤ x ≤ 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一 次函数。 (1)当 0 ≤ x ≤ 200 时,求函数 v(x ) 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f ( x ) = x ? v ( x ) 可以达到最大,并求出最大值。 (精确到 1 辆/小时)

22. (10)分解关于 x 的不等式 x ? a2 < 0( a ∈ R). x?a

23.(10)分已知数列 {a n } 与 {bn } 满足 bn a n + a n +1 + bn +1 a n + 2 = 0, bn = 且 a1 = 2, a 2 = 4. (1)求 a 3 , a 4 , a 5 的值; (2)设 c n = a 2 n ?1 + a 2 n +1 , n ∈ N ,证明 {c n } 是等比数列;
?

3 + (?1) n ,n ∈ N? , 2


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