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2014年全国高中数学联赛湖南赛区预赛


2 0 1 5年 第 4期 

2 7  

2 0   1 4年全 国高 中数学联赛湖南赛 区预赛 
中图分类号 : G 4 2 4 . 7 9   文献标识码 : A   文 章 编 号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) 0 4— 0 0 2 7— 0 6  

选择题 ( 每小题

5 分, 共3 0分 )   1 . 设 M ={ a   I   a=   一 y 2 , x , y∈ z} . 则选 




5 ? 如图 1 , 在三棱  A
。  

C l  

柱中, 已知点 A 、 B B 。 的  中点  及 B 。 C 。 的 中 
点 Ⅳ 所 决 定 的 平 面 

项正确 的是 (  

) .  

( A) 9∈ M , 1 0∈ M 

( B) 9   M, 1 0∈ M 
( c) 9∈  , 1 0   M  ( D) 9   M, 1 0   M 

将 三 棱 柱 割 成 体  A  
积 不 同 的 两 部 分.  
B 

C 

则较小 部 分 的 体 积  与原三棱柱 的体积之 比为(   4 ,  

图 1  

2 . 设条件 P:  

) .  

实数 …
条件 g :  

满足 

( A) 2   3  ( B)   1 3  ( c)   1 3  ( D)   1 2  

6 . 已知 圆 C :   +   2 = r 2 , 点 P、 P   在以 0  
为起点的射线上 , 且满 足 I   O P   I l   O P   I =r 2 , 则 

实 数 m 、 n 满 足 f 呈 三  ’  
则选项正确 的是 (   ) .   ( A) p为 g的充分不必要条件  ( B ) p为 g的必要不充分条件 

称 点 P、 P   关 于 圆周 c对 称. 那 么, 双 曲线 


y 2 =l上 的 点 P( x ,  ) 关 于单 位 圆周 C:  
) .  

+ y 2 =l 的 对 称 点 P   所 满 足 的 方 程 为  (  

( c ) p为 q的充分必要条件 
( D) p既不为 q的充分 条件 又不 为 q的  必要条件  3 . 若{ a   } 为等差数列 , 首项 a 。 > 0 , 且 
a 2   0 l 3+a 2   o 1 4>O, a 2   o l 3 a 2   o l 4<0,  

( A) x  一 y 2 =   +  
( S) x   一Y   =(   +Y   )  

( C ) x   一Y  = 2 ( x  +  )  
( D) x   一 y 2 = 2(   +  )  

二、 填 空题 ( 每小题 8分 , 共4 8 分)  
7 . 已知 

则使 前 n项和 S   > 0成立 的最大 自然数 n为 
(   ) .  

)=   一5 3 x+1 9 6+l   一 5 3 x+1 9 6   I .  

( A) 4   0 2 5   ( C) 4   0 2 7  

( B ) 4   0 2 6   ( D) 4   0 2 8  

则  2 O )+  1 4 )=


. 


4 . 已 知 向量 a=( 1 , 1 ) . 则 向 量 b=  

8 . 已 知 0 <   < 詈 , s i n   一 c 。 s   =  . 若  
t a n  +   t 一可表 示成 
a n   b一 7 c 。  

( L  , L  ) 是 向 量 口 经 过 (  ) 所 得 .  
( A) 顺 时针旋转 6 O 。  
( B) 顺时针旋转 1 2 0 。   ( C ) 逆 时针旋转 6 0 。   ( D) 逆时针旋转 1 2 0 。  

的形式 ( 0 、 b 、 c为 

正整数 ) , 则 a+ 6 + C =  
集 为  .  

.  

9 . 不等式 I  I  一 2  一 4   I 戈 I +3<0的解  1 O . 已知一无穷等差数列 中有 3项 ( 顺 次 

2 8  

中 等 数 学 

排 列但 不一 定相 连) : 1 3 、 2 5 、 4 1 . 则 2   0 1 3  
— —

( 填“ 是” “ 不是 ” 或“ 不 能确 定 ” ) 数列  1 1 . 随机挑选 一个 三 位数 , . 则 数 ,含有 

件的  n ) 的表达式.   ( 2 ) 一般 地 , 当该 地 区从 事 旅 游 服务 工 
作的人数在 4 0 0或 4 0 0以上时 , 该地 区也 进 
入 了一年中的旅 游“ 旺季 ” . 求一 年 中的哪几  个月是该地区的旅游 旺季 ? 请说 明理 由.  

中 的一 项 .  

因子 5的概率 为 
r x —y≤ O,  

.  

1 2 . 已知实数 、 Y 满足 
{  + Y一 5   >0 1 ,  
【 Y一3≤0 .  

1 5 . ( 2 0 分) 若 实数 。 满足f (   。 )=‰,  
则称 =   为 函数  ) 的一个不动点. 已知 
)=   +a x  +   +3 ( a 、 b为常数 )  

有互异的两个极 值 点  、  . 问: 是否 存 在实  数组 ( a , b ) , 使得 。 、   均 为不 动点 ? 并 证 明 
你 的结论.  

若不等式 a ( x   + ) , 2 ) ≤(  +   )  恒成立 ,  
则实数 a的最大值为 
三、 解答题 ( 共7 2分)  

1 6 . ( 2 O分 ) 已知数列 {  } 满足 
n + 2=2 x n + l+  n ,  1=2,  2=6;  

1 3 . ( 1 6分 ) 如图   2 , 已知 O为△ A B C内   部 的一点 , 满足 
/ B A O  
=  

数列 { Y   } 满足 
Y   + 2   Y   + l+2 y  , Yl=3, Y 2=9 .  
C  

证明 : 存在正整数  , 使得对任意 l ' t > n , 0 ,  
均 有  > Y   .  

C A0 

=  

C BD   ACO.  

图2  


=  

参 考 答 案 


试探究△ A B C的三边满足 的关 系 , 并 证 

1 . C.  

明你 的结论.  

因为 9=3  一 0   , 所以 , 9∈  

1 4 . ( 1 6 分) 某旅游 区每年各个月 份接待 
游客的人数近似地满足周期性规律 , 因而 , 第 

假设 1 O∈   则存在整数 m、   , 使得 
1 0= m2 一 n   =( m +n ) ( m —n ) .  

n 个月从事旅游服务工作的人数  n ) 可近似 
地用 函数 

又将 1 O 分解为两个整数 因子之积 , 必定 
有一个 因子为奇数 , 另一个 因子为偶数 , 这与 

n ) = 1 0 0 [ A c o s ( ( o n +  ) + k ]   来刻画 , 其中, 正整 数 n表示 月份 , A 、 k为正 

m+ n 、 m— n奇偶性相 同矛盾.  
从而 , 1 O  
2. B.  

整数,  > 0 ,   ∈f 詈, 叫.   \二  ,  
统计发现 , 该 地 区每年 各个 月份从 事旅  游服务工作 的人数有 以下规律 :  
( i ) 每年相 同的月份 , 该地区从事旅游 服 
务工作 的人数基本相 同 ;  

由条件 q 知 
2<m +   <4. 0<mn<3.  

( i i ) 该 地区从 事旅游服务 工作 的人 数最 
多的 8月份 和最少 的 2月份相差 约 4 0 0人 ;  

于是 , P为 q的必要 条件.   注意到 , 当 m=1 , n= 2时 , 满 足条件 P ,   而不满足条件 g .   于是 , P不为 g的充分条件.   综上 , P为 g的必要不充分条件 
3. B.  

( i i i ) 2月份该地 区从事旅 游服务 工作 的  人 数约 为 1 0 0人 , 随后逐月 递增直 到 8月份 
达到最多.  

由题 意 , 知在 该 数 列 中, 从第 1 项 到 第  2   0 1 3项为 正 数 , 且 从第 2   0 1 4项 开 始 为 负 

( 1 ) 根 据 已知 信息 , 试 确定 一 个 符合 条 

数. 显然 , 当  = 2   0 1 3时 , 所有 的正项 的和 I s  

2 0 1 5年 第 4期 

2 9  

取最大值.   又| s   为关于 n的无 常数项 的二 次 函数 ,  

高 为 . 平 面 将 原 三 棱 柱 分 为 上 、F两 个 邵  

分, 体积分别记 为  、  .   由于 M 为 B B 。 的中点 , 于是 ,  
△  l   △ 脚  D B=   1
. 

且开 1 2 1 向下 , 于是 , 第2   0 1 3项 离 对 称 轴 最 
近, 故 其对称轴介于 2   0 1 3到 2   0 1 3 . 5 之 间.   因为二次 函数 的图像与  轴的一个交 点  为( 0 , 0 ) , 所以, 设 另一 个交 点 为 (  , 0 ) ,  应 
介于 4   0 2 6到 4   0 2 7之间 ( 如图3 ) .  

从而 , s [ X A D C =   3 . s
. 

类似地 ,   E C l
=  


. 

又  =  
=  × 

一 脚 一  
× 

一  , F 一  

一 A D B  

3  
一  

1  

I   3   s ×   1 ) ×   1   7 l 一  

× 

× 

=  

一 s  ,   S h一2 3    

=  

1 3 s  
.  

从而 , 使S   > O的最大 自然数 为 4   0 2 6 .  
设两 向量所成 的角为 0 . 则 

故较小部分的体积与原三棱柱的体 积之 
比为  =   1 3
. 

6 . B.  

c。 s  

: 

兰 三   兰  
< o,   > o .  

: 丢
.  

在双 曲线  一 y 2 = 1上任取 点 (  , Y o ) ,  

设其关 于圆周 C的对称点为 (   。 t , Y o t ) . 则 

又 0∈[ 0 。 , 1 8 0 。 ] , 于是 ,  = 6 0 。 .  
注意到 ,  



、  
I t   l:   .  
X O+Y o  

: 1  

从而 , 向量 西可经 a逆时针转 6 0 。 得到.  
如 图 4,联 结 

令  = X o t , Y= y o t . 则 
,  , ,

2  x , o  
’  

E 

N M, 与C B、 C   的延 

2  
,  , , 

长线分 别 交 于 点 D、  
E, 联结 A D .  

/ /     ;

y =y o t  

‘  




依题意 , 知点 E   也在 A 、  r 、 Ⅳ、 D所 确  定 的平 面 内.  
设平 面 A MN与  A , C   交 于点 F . 令原  三棱 柱 底 面 积 为 5 ,  
D 

) , 2 = 蔫务=  
+y o  
一  

,  

2. 2  

1  
2   2 ‘  

上述两式联立得点 P   所满 足的方程 为 


y 2 =(   +Y   )   .  

图4  

二  7. O.  

3 0  

中 等 数 学 

令g ( x ) =   一 5 3 x+ 1 9 6  


a l =1 3, a  = 2 5, a  = 4 1 (  > m>1 ) .  
= 
=  
. 

(  一 4 ) (  一 4 9 ) .  



则 当  < 4或 > 4 9时 , g ( x )> 0 ;   当4 ≤  ≤4 9时 , g (  ) ≤O .   从而 , 当  = 4, 5 , …, 4 9时 ,  
): g ( 戈 )+I g ( x ) l = g (   )- g ( x ) = 0 .  
因此 ,   2 0 )+  1 4 )= 0 .  
8. 5 0 .  

l  

n — l  

于是 , ( m一1 ) d=1 2 , ( / ' t 一1 ) d= 2 8 .  

注意到 ,  
2   01 3= 1 3 +2   0 0 0  


1 3+( 8×1 2+6 8× 2 8 )  



1 3+8 ( , n—1 ) d+ 6 8 ( n一1 ) d   1 3+( 8 m+ 6 8 n一 7 6 ) d .  

将s 1 。 n  — c 。 s  =   两边平方并整理得 
.  



1 6—7 c 2  

故2   0 1 3为数列 的第 8 m+6 8 n一 7 5项.  
1 1 一   .  

s   n  ‘ c o s   — —   芝 — 一’  

故t a n   + 士 :   + C _ O S  

— —   — .

3 2  

由题 意 , 知 本 题 是 一个 古 典 概 型 , 因 为  试验包含 的所 有事 件是 三 位 数 , 共有 9 9 9—  
9 9= 9 0 0个 , 满足条件 的事件是数 , 中含有 因  子5 , 即数 , 为 5的倍 数 , 其 中, 5的倍 数 有  c 9 1  l 乙 1 0 C   =1 8 0个 .  



s i n  ? C O S   一1 6—7 c 2‘  

于是 , a= 3 2 , b =1 6, C = 2 .  

从而, a+b+ C =5 0 .  

9 ? ( _ 3 ' 一   ) U (   , 3 ) .  
原不等式可化为 
I  I   一2   I  I   一4   I   I+3<0.  

从而’ p =  

=   .  

1 2 . 蓄 .  
由题 意 知  ≤  
+y  

将其左边分解 因式得 

.  

( I x l - 3 ) (  一 譬  + 掣) < o . ①  
注意到 , I   x   I +   > 0 .  

令  a  

)=  
^ J 十  

. 则 

, Y )  

故 式 ①  ( I   x   I 一 3 ) ( I   x   I 一   ) < 0  
<   <3  

而   (   ,   ) = 1 + 古
— —   。 ‘

‘ 一

 

, 作 出 不 等 式 表  

示 的平面 区域如图 5 .  
  V  J

j一 3 <   < 一   或 掣 <   < 3 .  
从而 , 所求不等式 的解集 为 

\  

\  

2 ’ 3 )/  
~  

∈  一  ) t _ J (  , 3 ) .  
1 O . 是.  

设满足 条 件 的 等 差 数 列 为 { a   } , 公 差 
为d .  
不 妨 令 

0  
图5  

\ ;  

2 0 1 5年 第 4期 

3 1  

考 虑 到  表 示 过 平 面 区 域 内 的 一 点 

詈 × 8 +   = 2  (   E   z ) .  

(   , y ) 和 ( o , o ) 的 直 线 斜 率 , 得 考 ∈ [ 1 , 詈 】 .  
故 



结 合   ∈ ( 詈 , 兀 ) , 得   =  .  
由规律 ( i i ) 知 
n )   =  8 ):1 0 0 A+1 0 0 k ,  

孝 ∈ [ 2 ,  

从 而 ,  , y ) ∈ [ 篙 , 2 】 .   因 此 , 所 求 口 的 最 大 值 为 嚣 .  
三、 1 3 . △A B C的三边满足 的关系为 
BC  :AB. AC.  

n )   i  :  2 )=一1 0 0 A+1 0 0 k .  
由  8 )一  2 )=2 0 0 A= 4 0 0 , 得 A= 2 .  

又当 n= 2时 ,  

2 ) = 2 0 0 c o s ( 詈 × 2 +   ) + 1 0 o ㈦o 0  
k:3 .  

下 面 给 出证 明.  

如图 6 , 延长 A O,  

与△ B O C的外 接 圆交  于点 D, 联结 B D、 C D .  
设  B A O  


综 上 , 厂 ( n ) : 2 o o c 。 s ( 詈 n +   ) + 3 0 o 符  
合条件.  
( 2 ) 由条件知 
B  
、 \ \
/  
, 、 

A  C A0  
C BO  ACO 
.  

2 0 o c o s  +   ) + 3 0 0 > I 4 0 0  
c。 s

=  

\ \ \   /  
D 
图 6  

=  

( 詈 忍 +   ) ≥  

1 2 k一 6 ≤n ≤1 2 k一 2 ( k   E   Z) .  

因为  O D C=   O B C=   C A O , 所 以,  
AC =DC.  

因为 n   E[ 1 , 1 2 ] ( n   E   Z+ ) , 所 以, 当 
k=1时 , 6 ≤n ≤1 0 .  

又  C B D=   C OD =   O AC+   OC A  


故 n=6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 即一 年 中 的 6 、 7 、 8 、  

2a =  

BAC.  

9 、 1 0这五个月为该地 区的旅游旺季.  
OAB +   ABO 

BC D=  
=  

BOD =  

1 5 . 不存在.  
事实上 , 因为 
(  ): 3 x  + 2 a x+b ,  

ABC.  

故△ A B C∽ △ B C D  
A曰   8C  C B 
一 一 一  

BC   CD  AC  

所以, 由  

) 有互异的两个极值点 。 、   : , 知 

△ =4 口  一1 2 b>0 =  a 2>3 b .  
BC :A B. AC.  

1 4 . 根据规 律 ( i ) 、 ( i i ) 、 ( i i i ) , 知该 函数 

注意到,  1 、   2为方 程 3   +2 a x+6=0  
的两 个 实 根 .  

为周期 函数 , 且周期 为 1 2 .  
由此得 

若存在实数组 ( 0 , b ) , 使  、   : 均为  )  
的不动点 , 则 。 、   : 为方程 
3 +0   2 +( b一1 )  +3= 0  

:  : 1 2   c £ , : 孕.  
o 

又 因为在 8月份人数最 多 , 所以,  

的两 个 实 根 .  

3 2  

中 等 数 学 

故(   + 2  + 6 ) I [  +  c 2 + ( b 一 1 ) x + 3 ] .  
但 由欧几里德除法得 
+a g f   +( b一1 )  + 3  

( }+ 号  + 2 a x + 6 ) +   ( 一   口 2 +   6 一   )   + ( 一   。 6 + 3 ) ,   其 中 , 一 吾   + 詈 6 一 l = 一 吾 ( a 2 _ 3 b ) 一 1 < 0 .  


(  卜 n (  H   令 I 篇r   , 得  
n 。 > l 。 g 岛  ;  

令 2 (  
n 2 > l 。 g   百 1 ;  

, 得  

故(   + 2  + 6 ) 十 [  + 似  + ( b 一 1 ) x + 3 ] .  

从而, 不存在 实数 组 ( a , b ) , 使得 。 、   :  
均为不动点.   1 6 . 因 为递 推式  +  = 2 x   +   的特 征  方程为  一 2 x — I = 0 , 解得 = I ±  , 所 以, 设 
=   1 ( I + √ 2 _ )  +  ( 1 一 √ 2 l )   .  
由 l = 2,   2 = 6 , 得 

令 l 南l , n l 3   = (
n , > l 。 g   了 I
. 

扣:  

取n o =m a x ( n 1 , / 7 , 2 , n 3 ) .  

f 2 =( 1 + √   )   1 +( 1 一 √ 2 l )  ,  

则当 / 1 , > n 0 时,  

【 6 = ( 1 +  )  。 + ( 1 一  )  .  
由此解 得  . =   =1 .  

(  『 > _   ,  


则  =( 1+   )  +( 1一   ) “ .  

类似地 , 递推式 Y   +  = y 川 + 2 y   的特征 
方程 为 y 2 一Y一 2=0 , 解得 Y 1 = 2 , Y 2 =一1 .  


2 (  )   > 一   ,  

所以, 设  =u l 2  +/ . Z 2 ( 一1 )   .  

( 南) “ > { 
二  

由Y l = 3 , Y 2 : 9, 得 

同时成立 , 即 

1 3 = 2 u 1 - / / ' 2  ̄  
【 9=4 u 1 +  2 .  

( 1 +  )  

由此解得  = 2,   2 =1 .   则Y   =2 ”。 +( 一1 )   .  

故  一 Y  


( 篇] " - 2 (   H )  
>  一

( 1 +   )  +( 1 一   )  一 2   一( 一1 )   .  

号 一   一   = o  
>Y  .  

注意到 ,  


= = >  

Y  

f 昔枉 寿

根供 、  

( 1 +   ) “  


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