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2011年高中物理竞赛辅导(牛顿运动定律)


牛顿运动定律
班级 姓名 1、一小圆盘静止在桌布上,位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的 AB 边重合, 如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为 ?1 ,盘与桌面间的动摩擦因数为 ? 2 。现突然以 恒定加速度 a 将桌布抽离桌面,加速度方向是水平的且垂直于 AB 边。若圆盘最后未从 桌面掉下,则加速度 a 满足的条件是什么?(以 g 表示重力加速 A a 度)

r />B

解:设圆盘的质量为 m,桌长为 l,在桌布从圆盘上抽出的过程中,盘的加速度为 a1 ,有

? `1mg ? ma1 ①
桌布抽出后,盘在桌面上作匀减速运动,以 a2 表示加速度的大小,有

?`2 mg ? ma2



设盘刚离开桌布时的速度为 v1,移动的距离为 x1,离开桌布后在桌面上再运动距离 x2 后便停下,有

v12 ? 2a1 x1 ③
x2 ?

v12 ? 2a2 x2
1 l ? x1 2
⑦ ⑤



盘没有从桌面上掉下的条件是

设桌布从盘下抽出所经历时间为 t,在这段时间内桌布移动的距离为 x,有



1 at ⑥ 2 1 x ? l ? x1 ⑧ 2 x?

1 x1 ? a 1 t 2 2

由以上各式解得

a?

?1 ? 2 ? 2 ?1 g ?2



2、质量 m ? 1.5kg 的物块(可视为质点)在水平恒力 F 作用下,从水平面上 A 点由静止开 始运动,运动一段距离撤去该力,物块继续滑行 t ? 2.0 s 停在 B 点,已知 A、B 两点间 的 距 离 s ? 5.0m , 物 块 与 水 平 面 间 的 动 摩 擦 因 数 ? ? 0.20 , 求 恒 力 F 多 大 。 ( g ? 10m / s )
2

解:设撤去力 F 前物块的位移为 s1 ,撤去力 F 时物块速度为 v ,物块受到的滑动摩擦力

F1 ? ?mg

对撤去力 F 后物块滑动过程应用动量定理得 ? F1t ? 0 ? mv

由运动学公式得 s ? s1 ?
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v t 2

对物块运动的全过程应用动能定理 Fs1 ? F1 s ? 0

由以上各式得 F ?

2?m gs 2s ? ?gt 2

代入数据解得 F=15N

3、如图所示,两个用轻线相连的位于光滑水平面上的物块,质量分别为 m1 和 m2,拉力 F1 和 F2 方向相反,与轻线沿同一水平直线,且 F1>F2。试求在两个物块运动 过程中轻线的拉力 T。

设两物质一起运动的加速度为 a,则有

F1 ? F2 ? (m1 ? m2 )a



根据牛顿第二定律,对质量为 m1 的物块有

F1 ? T ? m1a
由①、②两式得



T?

m1 F2 ? m2 F1 m1 ? m2



4、如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连的物块 A、B,它们的质量分 别为 mA、mB,弹簧的劲度系数为 k,C 为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块 A 使之向上运动, 求物块 B 刚要离开 C 时物块 A 的加速度 a 和从开始到此 时物块 A 的位移 d。重力加速度 g。
C B θ A

解:令 x1 表示未加 F 时弹簧的压缩量,由胡克定律和牛顿定律可知

mA g sin ? ? kx



令 x2 表示 B 刚要离开 C 时弹簧的伸长量, a 表示此时 A 的加速度,由胡克定律和牛顿 定律可知: kx2=mBgsinθ ② F-mAgsinθ -kx2=mAa ③ 由②③式可得 a ? 由题意 d=x1+x2

F ? (m A ? mB ) g sin ? mA




由①②⑤式可得 d ?

(m A ? mB ) g sin ? k



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a?

?m ? m B ?g sin ? F ? ?m A ? mB ?g sin ? , d? A k mA

4、质量分别为 m1 和 m2 的两个小物块用轻绳连结,绳跨过位于倾角??=30°的光滑斜面顶端的 轻滑轮,滑轮与转轴之间的摩擦不计,斜面固定在水平桌面上,如图所示.第一次,m1 悬空, m2 放在斜面上,用 t 表示 m2 自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间.第二次,将 m1 和 m2 位置互换,使 m2 悬空,m1 放在斜面上,发现 m1 自斜面底端由静止开始运动至斜面顶 端所需的时间为 t 3 .求 m1 与 m2 之比. 解: 第一次, 小物块受力情况如图所示, 设 T1 为绳中张力, m2 a1 为两物块加速度的大小, l 为斜面长,则有 m1

m1 g ? T1 ? m1a1 T1 ? m2 g sin? ? m2 a1

(1) (2) (3)

??

l?

1 2 a1t 2

第二次,m1 与 m2 交换位置.设绳中张力为 T2,两物块加速度的大小为 a2,则有

m2 g ? T2 ? m2 a2 T2 ? m1 g sin? ? m1a2

(4) (5)

1 ?t? l ? a2 ? ? 2 ? 3?
由 (1)、(2) 式注意到? =30°得

2

(6)

a1 ?
由 (4)、(5) 式注意到? =30°得

2m1 ? m 2 g 2?m1 ? m 2 ?

(7)

a2 ?
由 (3)、(6) 式得

2m2 ? m1 g 2?m1 ? m2 ?

(8)

a1 ?
由 (7)、(8)、(9) 式可解得

a2 9

(9)

m1 11 ? m 2 19
5、如图 2—4 所示,用轻质细绳连接的 A 和 B 两个物体,沿着倾角为α 的斜面匀速下滑, 问 A 与 B 之间的细绳上有弹力吗? 解析: 弹力产生在直接接触并发生了形变的物体之间, 现 在细绳有无形变无法确定.所以从产生原因上分析弹力是否存 在就不行了,应结合物体的运动情况来分析.

(10)

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隔离 A 和 B,受力分析如图 2—4 甲所示,设弹力 T 存在,将各力正交分解,由于两物 体匀速下滑,处于平衡状态,所以有:

m A g sin ? ? T ? f A ……① mB g sin ? ? T ? f B ……②
设两物体与斜面间动摩擦因数分别为 ? A 、 ? B ,则

f A ? ? A N A ? ? A mA g cos? ……③ f B ? ? B N B ? ? B mB g cos? ……④
由以上①②③④可解得: T ? mA g (sin? ? ? A cos? )和T ? mB g (?b cos? ? sin ? ) 若 T=0,应有: ? A ? tan? 由此可见,当 ? A ? 若 ?A ?

?B ? t a n ?

? B 时,绳子上的弹力 T 为零.

? B ,绳子上一定有弹力吗?

我们知道绳子只能产生拉力. 当弹力存在时,应有:T>0 即

? A ? tan? , ? B ? tan?

6、有一轻质木板 AB 长为 L,A 端用铰链固定在竖直墙上,另一端用水平轻绳 CB 拉住。 板上依次放着 A、B、C 三个圆柱体,半径均为 r,重均为 G,木板与墙的夹角为θ ,如图 1 —8 所示,不计一切摩擦,求 BC 绳上的张力。

解析 以木板为 研究对象,木板处于力 矩平衡状态,若分别以圆柱体 A、B、C 为研究对象,求 A、B、C 对木板的压力,非常麻 烦,且容易出错。若将 A、B、C 整体作为研究对象,则会使问题简单化。 以 A、B、C 整体为研究对象,整体受 到重力 3G、木板的支持力 F 和墙对整体的 支持力 FN,其中重力的方向竖直向下,如 图 1—8—甲所示。合重力经过圆柱 B 的轴 心,墙的支持力 FN 垂直于墙面,并经过圆 柱 C 的轴心,木板给的支持力 F 垂直于木
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板。由于整体处于平衡状态,此三力不平 行必共点,即木板给的支持力 F 必然过合 重力墙的支持力 FN 的交点. 根据共点力平衡的条件:∑F=0,可得:F=3G/sinθ . 由几何关系可求出 F 的力臂 L=2rsin2θ +r/sinθ +r·cotθ 以木板为研究对象,受力如图 1—8—乙所示,选 A 点 为转轴,根据力矩平衡条件∑M=0,有: F·L=T·Lcosθ

3Gr(2 sin 2 ? ? 1 / sin ? ? cot? ) ? T ? L ? cos? 即 sin ?
解得绳 CB 的能力: T ?

图 1—8 乙

3Gr 1 ? cos ? (2 tan ? ? ) L sin 2 ? ? cos ?

7、如图所示,绳子不可伸长,绳和滑轮的质量不计,摩擦不计.重物 A 和 B 的质量分别为 m1 和 m2,求当左边绳的上端剪断瞬间,两重物的加速度. 左边上端绳断瞬时,其余绳上 A 力 尚 未 及 改 变 , A 、 B 受 力 如 图 答 6-5 , 则 有 T1 ? m1 g? m ; 1 a 1 m2 g ? T2 ? m2 a2 ,又
T2 ? 2T1 , a1 ? 2a2 ,可得 a1 ?
4m1 ? 2m2 g 4m1 ? m2 a2 ? 2m1 ? m2 g 4m1 ? m2
T1 A T1 T2 m1g B m2g 图答 6-5 B

8、如图所示,A 为定滑轮,B 为动滑轮,摩擦不计,滑轮及线的质量不计,三物块的质量 分别为 m1、m2、m3 ,求:⑴物块 m1 的加速度;⑵两根绳的张力 T1 和 T2 .
A

如图答 6-6 设定 坐标方向及线上拉力, 对 m1、 m2、 m3 建立运动方程 FT 1 ? m1 g ? m1a1 ① FT 2 ? m2 g ? m2 a2 ② m3 g ? FT 2 ? m3a3 ③ 又 FT 1 ? 2 FT 2 ④, 而由三者位

m1 m2

B m3

移关系: A T1 设三者位移各为 s1、s2、s3,m2 与 m3 相对滑轮 B 的位移设为 x,对 m2 有 x= s2+ s1, 对 m3 有 x= s3- s1,则 2 s1= s3- s2,故加速度关系为
4m2 m3 ? m1m2 ? m1m3 a1 ? g 4m2 m3 ? m1m2 ? m1m3

T1

a3 ? a2 B ⑤由上列五式可得 m1g T2 2 8m1m2 m3 4m1m2 m3 m2g T1 ? g T2 ? g 4m2 m3 ? m1m2 ? m1m3 4m2 m3 ? m1m2 ? m1m3 x a1 ?

T3 m3g

图答 6-6

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9、如图所示,在以加速度 a 行驶的车厢内,有一长为 L,质量为 m 的棒 AB 靠在光滑的后 壁上,棒与车厢底面间的摩擦因数为μ .为了使棒不滑动, A a 棒与竖直平面所成的夹角θ 应在什么范围内? θ
B

棒不向右滑,受力如图答 6-9 所示,水平方向: F2 ? Ff ? ma ,竖直方 A 向: FN ? mg ,以 A 端为支点,应满足:
a L L ma cos? ? ? mgL cos? ? mg sin ? ? mgL sin ? ,可得 tg? ? ? 2 ? 。 g 2 2

??

F2 FN mg 图答 6-9 Ff A

ma

棒不向左滑,受力如图答 6-10 所示,对 A 端有: a L L ma cos? ? mg sin ? ? mgL sin ? ? ? mgL cos? ,得 tg? ? ? 2 ? , g 2 2
1 1 ? 2 ?) ? ? ? tg ?( ? 2 ?) 所以 tg ?(

F2

??
ma mg 图答 6-10 FN Ff

a g

a g

10、如图所示,已知方木块的质量为 m,楔形体的质量为 M,斜面倾角为θ ,滑轮 及绳子的质量可忽略,各接触面之间光滑,求楔形体 M 的加速度. m

M θ

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