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江苏省东台市五烈中学2012届高三上学期第三次月考


江苏省东台市五烈中学 2012 届高三上学期第三次月考数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 集合 M={x|y= x-1},N={y|y= x-1},则 M∩N=_______. 1 1 若 lgx+lgy=2,则x +y 的最小值是 .

1-z 设复数 z

满足 =i,则|1+z|=________. 1+z 等比数列{an}中,an>0,且 a3· 6· 9=4,则 log2a2+log2a4+log2a8+log2a10=______ a a 若 x2 y2 + =1表示双曲线,则 m 的取值范围是_____________. 1+m 1-m 2 +a?是奇函数,则使 f (x)<0 成立的 x 的取值范围是__________. ?1-x ?

若过正三角形 ABC 的顶点 A 任作一条直线 l,则 l 与线段 BC 相交的概率为______. 设 f (x)=lg?

函数 f (x)=cosx-sinx(x∈[-π,0])的单调递增区间为_______________. → → → 若正方形 ABCD 边长为 1,点 P 在线段 AC 上运动,则 AP · PB + PD )的取值范围 ( 是 . .

10. 已知函数 f (x)在 R 上满足 f (x)=2· (2-x)-x2+8x-8,则 f ?(2)= f

→ → → 11. 已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、 两点, 是坐标原点, B O 向量 OA 、 满足| OA OB → → → + OB |=| OA - OB |,则实数 a 的值是__________. 12. 函数 y= 3 3-4x2的图像上至少存在不同的三点到(1,0)的距离构成等比数列, 则公比的

取值范围_____________. 13. 函数 y=-x2+mx-1 与以 A(0,3)、B(3,0)为端点的线段(包含端点)有两个不同的公共 点,则实数 m 的取值范围是_____________. x2 y2 14. 已知 F1、F2 分别为双曲线a2-b2=1错误!未找到引用源。(a>0,b>0)的左、右焦点, 若双曲线左支上存在一点 P 使得 是 二、解答题 15.(本小题满分 14 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, A 在 x 轴正半轴上, 点 直线 AB 的倾斜角为 设 ? AOB . |PF2|2 =8a,则双曲线的离心率的取值范围 |PF1|

3p , OB|=2, | 4
y

q, q

p 3p ( , ). 2 4

B

(Ⅰ)用 q 表示点 B 的坐标及 | OA | ;

O

A

x

(Ⅱ)若 tan q = -

uur uur u 4 ,求 OA× 的值. OB 3

16. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=AC,点 D 是 BC 的中点。 (1)求证:A1B//平面 ADC1; (2)如果点 E 是 B1C1 的中点,求证:平面 A BE ? 平面 BCC1B1。 1 17.某民营企业生产 A, B 两种产品,根据市场调查与预测, A 产品的利润与投资 成正比,其关系如图甲, B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系 如图乙(注:利润与投资单位:万元).





(Ⅰ)分别将 A, B 两种产品的利润表示为投资 x (万元)的函数关系式; (Ⅱ)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A, B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?

18. (本小题满分 15 分)如图,在 ?ABC 中,| AB |?| AC |? 椭圆恰好过 AC 的中点 P 。 (1)求椭圆的标准方程;

7 ,| BC |? 2 ,以 B 、 C 为焦点的 2
y A

(2)过椭圆的右顶点 A1 作直线与圆 E : ( x ?1) ? y ? 2 相交于 M 、
2 2

P x B O C

N 两点,试探究点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段
弧吗?若能,求出直线的方程;若不能,请说明理由.

19. (本小题满分 16 分) 已 知 数 列

?an ?
1

满 足
n?

a1 ? 0, a2 ? 2 , 且 对 任 意 m, ? n

*

N都 有

a2m? ? a n? 2 1 2 ?
(Ⅰ)求 a3 , a5 ;

am?

2 2 1( m ? )n ?

(Ⅱ)设 bn ? a2n?1 ? a2 n?1 (n ? N * ) ,证明: ?bn ? 是等差数列; (Ⅲ)设 cn ? (an?1 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn 20(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (1)求函数 f (x) 的单调区间。 (2)若函数 y ? f (x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ? ,问: m 在什么范围 取值时,对于任意的 t ? ?1,2? ,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 值?

?m ? ? f ' ( x)? 在区间 (t ,3) 上总存在极 ?2 ?

答案 1、[1,+∞ 5、(-∞,-1)∪(1,+∞) 1 9、[-2,4] 10 13、(3, 3 ] 二、解答题

1 2、5 1 6、3 10、4 14、(1,3]

3、 2 7、(-1,0) 11、2 或?2

8 4、3 π 8、[-π,- 4 ] 3 12、[ 3 ,1)∪(1, 3]

15(Ⅰ)解:由三角函数的定义,得点 B 的坐标 为 (2cos q,2sin q) . 在 V AOB 中,|OB|=2,

p , ? B p4 由正弦定理,得 | OB | = p sin 4 ? BAO

p 3p - q= - q, 4 4 | OA | | OA | ,即 2 , = 2 sin( 3p - q) sin ?B 4 2

所以 | OA |= 2 2 sin(

3p - q) . 4

---------7 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 OA ?OB

uur uur u 3p | OA | 鬃 | cosq=4 2 sin( - q) cos q , | OB 4 4 p 3p ), 因为 tan q = - , q ( , 3 2 4 4 3 所以 sin q = , cos q = - , ----------------------------10 分 5 5 3p 3p 3p - q) = sin ?cos q cos sin q 又 sin( 4 4 4
= 2 3 2 4 ?( ) - () 2 5 2 5
= 2 10


uur uur u

---------------------------12 分 所 以

u O ?

4

u 2 A 鬃 1

r 2 O 0

3

=

u

B( .

5

-

u 1

)

---------------------------14 分 16.

17. 18.(本小题共 15 分) 解: (Ⅰ)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f ( x ) 万元,B 产品的利润为 g ( x) 万元. 由题设 f ( x) ? k1 x, g ( x) ? k 2 x 由图知 f (1) =

1 1 ,故 k1 = 4 4

又 g ( 4) ?

5 5 ,? k 2 ? 2 4

从而 f ( x) ?

1 5 x( x ? 0), g ( x) ? x ( x ? 0) 4 4 . 1 5 x? 10 ? x (0 ? x ? 10) 4 4

(Ⅱ)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元.

y ? f ( x) ? g (10 ? x) ?
令 t ? 10 ? x ,则 y ?

10 ? t 2 5 1 5 65 ? t ? ? (t ? ) 2 ? (0 ? t ? 10) 4 4 4 2 16 .

当t ?

5 65 时, y max ? , 此时 x ? 3.75 2 16 .
65 万元. 16

答:当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元,企业最大利润为

18. (本小题满分 15 分) 解: (1)∵ | AB |?| AC |?

7 ,| BC |? 2 ∴ | BO |?| OC |? 1, 2

| OA |? | AC |2 ? | OC |2 ?
∴ B(?1, 0), C (1, 0), A(0, 依椭圆的定义有:

49 3 5 ?1 ? ………2 分 4 2

y A

3 5 1 3 5 ) ∴ P( , ) ……4 分 2 2 4

P x

1 3 5 1 3 5 2a ?| PB | ? | PC |? ( ? 1)2 ? ( ? 0)2 ? ( ? 1)2 ? ( ? 0)2 2 4 2 4 9 7 ? ? ?4 4 4
∴ a ? 2 ,…………………………………………………………………………6 分
2 2 2 又 c ? 1 ,∴ b ? a ? c ? 3 ………………………………………………………7 分

B

O

C

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………………8 分 ∴椭圆的标准方程为 4 3
(求出点 p 的坐标后,直接设椭圆的标准方程,将 P 点的坐标代入即可求出椭圆方程,也可 以给满分。 )

(2) 椭圆的右顶点 A (2,0) ,圆 E 圆心为 E (1, 0) ,半径 r ? 1

2。

假设点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧, 则 ?MEN ? 90? ,圆心 E (1, 0) 到直线的距离 d ? 当直线斜率不存在时,的方程为 x ? 2 , 此时圆心 E (1, 0) 到直线的距离 d ? 1 (符合)……………………………11 分 当直线斜率存在时,设的方程为 y ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 0 , ∴圆心 E (1, 0) 到直线的距离 d ?

2 r ? 1 ………………10 分 2

|k| k 2 ?1

? 1 ,无解……………………………13 分

综上:点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧,此时方程为 x ? 2 …15 分。 19.解:(1)由题意,零 m=2,n=1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20………………………………2 分 (2)当 n∈N *时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8 于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即 bn+1-bn=8 所以{bn}是公差为 8 的等差数列………………………………………………5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得 an= 那么 an+1-an=

a2 n ?1 ? a1 -(n-1)2. 2

a2 n ?1 ? a2 n ?1 8n ? 2 - -2n+1= -2n+1=2n 于是 cn=2nqn 1. 2 2

当 q=1 时,Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1) - 当 q≠1 时,Sn=2· 0+4· 1+6· 2+……+2n· n 1. q q q q 两边同乘以 q,可得 qSn=2· 1+4· 2+6· 3+……+2n· n. q q q q 2 n-1 上述两式相减得(1-q)Sn=2(1+q+q +……+q )-2nqn =2·

1 ? qn 1 ? (n ? 1)q n ? nq n?1 -2nqn=2· 1? q 1? q

所以 Sn=2·

nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1)2

?n(n ? 1) (q ? 1) ? 综上所述,Sn= ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 …………………………16 分 2? (q ? 1) ? (q ? 1) 2 ?
20.解: (1)由 f ' ( x) ?

a(1 ? x) 知: x

当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? ?3 是常数函数,无单调区间。 (2)由 f ' ? 2 ? ? ?

a ? 1 ? a ? ?2 , 2 2 . x

∴ f ? x ? ? ?2 ln x ? 2x ? 3 , f ' ? x ? ? 2 ? 故 g ( x) ? x 3 ? x 2 ?

m ?m ? ? f '( x) ? ? x3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x , 2 ?2 ?

∴ g '( x) ? 3x2 ? (4 ? m) x ? 2 , ∵ 函数 g (x) 在区间 (t ,3) 上总存在极值,∴ 函数 g ' ( x ) 在区间 (t ,3) 上总存在零点, 又∵函数 g ' ( x ) 是开口向上的二次函数,且 g ' (0) ? ?2 ? 0

∴ ?

? g ' (t ) ? 0 ? g ' (3) ? 0
2 2 2 ? 3t ? 4 ,令 H (t ) ? ? 3t ? 4 ,则 H ' (t ) ? ? 2 ? 3 ? 0 , t t t

由 g ' (t ) ? 0 ? m ?

所以 H (t ) 在 ?1,2? 上单调递减,所以 H (t ) ? H (t ) min ? H (1) ? ?9 ; 由 g ' (3) ? 27 ? (4 ? m) ? 3 ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? 综上得: ?

37 ; 3

37 ? m ? ?9. 3 37 ?m ? ,?9) 内取值时, 对于任意的 t ? ?1,2?, 函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? ? f ' ( x)? 在 3 ?2 ?

所以当 m 在 ( ?

区间 (t ,3) 上总存在极值。


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