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福建省长泰一中2014-2015学年高一数学下学期期中试卷 理(B卷,普通班)


2014-2015 学年度下学期长泰一中期中考 高一理科数学试卷(B 卷)
考试范围:必修 2;考试时间:120 分钟; 题号 得分 注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分 一 二 三 总分

一、单项选择(每小题 5 分,共 12 小题,合计 60 分。 )

1、用符号表示“点 A 在直线上 l ,在平面 ? 外” ,正确的是( A. A ? l , l ? ? C. A ? l , l ? ? B. A ? l , A ? ? D. A ? l , l ? ? )



2、直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为( A .错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。

B .错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

x y ? ?1 3、直线 5 2 和坐标轴所围成的三角形的面积是(
A.2 B.5 C.7 D.10 4、已知某几何体的三视图如,根据图中标出的尺寸 (单位:cm) ,可得这个几何体的体积是( )



A. 5、直线 A. ?7或 ? 1

B.4cm3

C. 2cm3

D. 平行,则 a=( D. ?7 )

和直线 B. ?1 C.7 或 1

6、已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面, 则下列命题中正确的是( A.若 ? ? ? ,? ? ? , 则? / / ? ) B.若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ?
-1-

C. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ?
2

D. 若 m / / n, m / /? , 则n / /?
2

7、 直线 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 与圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 9 相交于 A、 B 两点, 则 AB 的长度等于 ( A. 4 2
2



B. 2
2

C. 2 2

D.1 ) D. (?1,3), 2 )

8、圆 ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 2 的圆心和半径分别为( A. (1,?3), 2 B. ( ?1,3),2 C. (1,?3),2

9、如图,A1B1C1—ABC 是三棱柱,下列直线中与 AA1 成异面直线的是( A.BB1 B.B1C1 C.CC1 D.AB 10、过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面, 则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) A. B. C. D.

11、圆 C1: (x-1)2+y2=1 与圆 C2: x2+(y-2)2=4 的位置关系是( ) A.相交 B.相离 C.外切 D.内切 12、经过点(m,3)和(2,m)的直线 l 与斜率为-4 的直线互相垂直,则 m 的值是( A.2 评卷人
14 B. 5 10 C. 3

)

D.4

得分

二、填空题(每小题 4 分,共 4 小题,合计 16 分。 )

13、点 A(1,2) 关于点 P(3,4) 对称的点的坐标为__________. 14、 用两个平行平面同截一个直径为 20cm 的球面, 所得截面圆的面积分别是 64πcm2、 36πcm2, 则这两个平面间的距离是 . 15、点 P 在圆

C1 : x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 上,点 Q 在圆 C2 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 上,则 PQ 的最大

值为 . 16、在下列叙述中: ①若一条直线的倾斜角为 α,则它的斜率 k=tan α ; ②若直线斜率 k=-1,则它的倾斜角为 135°; ③若 A(1,-3),B(1,3),则直线 AB 的倾斜角为 90°; ④若直线过点(1,2),且它的倾斜角为 45°,则这条直线必过点(3,4); 3 ⑤若直线的斜率为 4 ,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点. 所有正确命题的序号是________. 评卷人 得分 三、 解答题 (前五大题每题 12 分, 最后一题 14 分, 合计 74 分。 )

-2-

17、 (本小题 12 分)分别求满足下列条件的直线方程. (1)过点 A(2,-1)且与直线 y=3x-1 垂直; (2)倾斜角为 60°且在 y 轴上的截距为-3.

18、 (本小题 12 分)在平面直角坐标系中,有三个点的坐标分别是 A(?4,0), B(0,6), C (1, 2) . (1)证明:A,B,C 三点不共线; (2)求过 A,B 的中点且与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行的直线方程; (3)求过 C 且与 AB 所在的直线垂直的直线方程.

19、 (本小题 12 分)如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,E、F 分别是 AC、BC 的中点.

(1)证明:EF//平面 PAB; (2)若 PA=PB,CA=CB,求证:AB ? PC.

20、 (本小题 12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°, AB=2,PD= ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点.

(Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积.

-3-

21、 (本小题 12 分)已知圆心 C 在 x 轴上的圆过点 A(2, 2) 和 B(4, 0) . (1)求圆 C 的方程; (2)求过点 M (4,6) 且与圆 C 相切的直线方程; (3)已知线段 PQ 的端点 Q 的坐标为 (3,5) ,端点 P 在圆 C 上运动,求线段 PQ 的中点 N 的 轨迹.

22、 (本小题 12 分)已知动点 M 到点 (8, 0) 的距离等于 M 到点 (2, 0) 的距离的 2 倍. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 y ? kx ? 5 与轨迹 C 没有交点,求 k 的取值范围;
2 2 (3)已知圆 x ? y ? 8x ? 8 y ? 16 ? 0 与轨迹 C 相交于 A, B 两点,求 | AB |

2014-2015 学年度下学期长泰一中期中考 高一理科数学试卷(B 卷)参考答案 一、单项选择 BBBDDC AABDAB 二、填空题 13、 【答案】(5,6) 14、 【答案】2cm 或 14cm 15、 【答案】8 16、 【答案】②③④ 三、解答题 17、 【答案】(1)已知直线的斜率为 3,设所求直线的斜率为 k,
1 由题意,得 3k=-1,∴k=- 3 . 1 故所求的直线方程为 y+1=- 3 (x-2).

(2)由题意,得所求的直线的斜率 k=tan 60°= 3 ,又因为直线在 y 轴上的截距为-3,代入 直线的斜截式方程,得 y= 3 x-3. 18、 【答案】 (1)见解析(2) x ? y ? 1 ? 0 (3) 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 试题解析:注意证明平面当中的三点不共线的方法,可以应用两点所在直线的斜率不相等来

-4-

处理,对应第二问需要知道两直线平行时的条件,应用点斜式方程可得结果,也可应用平行 直线系方程的应用,对应第三问,要明确两直线垂直的条件,可以应用点斜式方程,也可应 用垂直直线系方程,来求出对应的直线方程.

K AB ?
试题解析: (1)∵ ∴

6?0 3 ? 0 ? (?4) 2 ,

K AC ?

2? 0 2 ? 1? ( ? 4) , 5

K AB ? ? K AC ,

∴ A, B, C 三点不共线.

k ? ?1, (2)∵ A, B 的中点坐标为 M (?2,3) , 直线 x ? y ? 2 ? 0 的斜率 1
所以满足条件的直线方程为 y ? 3 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 1 ? 0 为所求.

(3)∵

K AB ?

3 2 k2 ? ? 2 ,∴与 AB 所在直线垂直的直线的斜率为 3,

2 y ? 2 ? ? ( x ? 1) 3 所以满足条件的直线方程为 ,即 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 .
考点:证明三点不共线的方法,平行直线系,垂直直线系,直线方程的点斜式. 19、 【答案】(1) ? E、F 分别是 AC、BC 的中点,?EF//AB, 又 EF ? 平面 PAB ,AB ? 平面 PAB,? EF//平面 PAB (2)取的中点 O,连结 OP、OC,

? PA=PB,? AB ? OP ;又? CA=CB,? AB ? OC ;
又? OP ? OC ? O ,? AB ? 平面POC ; 又? PC ? 平面POC ,? AB ? PC. 20、 【答案】 (Ⅰ)证明:∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴AC⊥PD.∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, 又∵PD∩BD=D,AC⊥平面 PBD. 而 AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBD. (Ⅱ)解:∵PD∥平面 EAC,平面 EAC∩平面 PBD=OE, ∴PD∥OE, ∵O 是 BD 中点,∴E 是 PB 中点. 取 AD 中点 H,连结 BH,∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, ∴BH⊥AD,又 BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BD⊥平面 PAD, ∴
2 2

. .

=

=

21、 【答案】 (1) ( x ? 2) ? y ? 4 (2) x ? 4 或 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 .
-5-

3 5 (3)点 N 的轨迹是以( 2 , 2 )为圆心,半径为 1 的圆.
试题解析:第一问先通过圆心在弦的中垂线上,从而得出圆心的位置,确定出圆的半径,从 而得出圆的方程,第二问涉及到圆的切线方程的求解问题,把握住圆心到直线的距离为半径 可得,对于第三问,把握住动点的轨迹方程的求法即可得结果. 试题解析: (1)线段 AB 的中点坐标为 M (3,1) ,斜率为

k AB ?

0?2 ? ?1 4?2

所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y ? 1 ? x ? 3 ,即为 y ? x ? 2 . 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即圆心为 C (2, 0) . 由两点间的距离公式,得

r ? (2 ? 2) 2 ? 2 2 ? 2
2 2

.

∴适合题意的圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 . 或:设圆心为 C (a, 0) ,由

AC ? BC



(a ? 2) 2 ? 22 ? ( a ? 4) 2
.

解得 a=2,所以圆心为 C (2, 0) .又半径

r ? BC ? 4 ? 2 ? 2
2

所以适合题意的圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 .
2

(2)由(1)知圆 C 的圆心坐标为 C (2, 0) ,半径 r ? 2 (i)当过点 M (4,6) 且与圆 C 相切的直线的斜率不存在时,其切线方程为 x ? 4 . (ii)当过点 M (4,6) 且与圆 C 相切的直线的斜率存在时, 设为 k ,则切线方程为 kx ? y ? 4k ? 6 ? 0 .

| 2k ? 4k ? 6 |
由圆心到切线的距离等于半径,得

1? k

2

?2
,解得

k?

4 3

4 4 x ? y ? 4? ? 6 ? 0 3 所以切线方程为 3 即 4x ? 3 y ? 2 ? 0
因此,过点 M (4,6) 且与圆 C 相切的直线方程为 x ? 4 或 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 . (3)设点 N 的坐标为 ( x, y ) ,P 点的坐标为

( x0 , y0 ) .
x? 3 ? x0 5 ? y0 ,y? 2 2 ,

由于 Q 点的坐标为 (3,5) 且 N 为 PQ 的中点,所以

-6-

于是有

x0 ? 2x ? 3, y0 ? 2 y ? 5 ①
2 ( x0 ? 2)2 ? y0 ?4

因为 P 在圆 C 上运动,所以有

2 2 将①代入上式得 (2 x ? 3) ? (2 y ? 5) ? 4 ,即

3 5 (x ? )2 ? ( y ? )2 ? 1 2 2

3 5 所以,点 N 的轨迹是以( 2 , 2 )为圆心,半径为 1 的圆.
考点:圆的方程,圆的切线,动点的轨迹.

2 2 22、 【答案】(1) x ? y ? 16

3 3 ?k? 4 (2) 4 ?

(3) 4 2

试题解析:注意把握求轨迹方程的四步曲,建系、设点、列式、化简,本题建系就省了,注 意求哪个点的轨迹方程, 就设哪个点的坐标为 ( x, y ) , 根据题意, 列出等量关系式, 化简即可, 对于第二问,注意考查的是圆与直线的位置关系,通过圆心到直线的距离与半径比较大小即 可判断,对于第三问,涉及到两圆的公共弦长的问题,注意转化,将所求量放到相应的直角 三角形中来求解. 试题解析: 解: (1)设 M ( x, y ) ,则
2 2

( x ? 8) 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 2) 2 ? y 2
2 2



整理得 x ? y ? 16 ,即动点 M 的轨迹 C 的方程为 x ? y ? 16 .

? x 2 ? y 2 ? 16 ? y ? kx ? 5 ,消去 y 并化简得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 10kx ? 9 ? 0 (2)由 ?
因为直线 y ? kx ? 5 与轨迹 C 没有交点,所以 ? ? 100k ? 36(1 ? k ) ? 0
2 2

即 16k ? 9 ? 0 ,解得
2

?

3 3 ?k? 4 4.

C (4, 4) ,半径 r ? 4 (3)圆 x ? y ? 8x ? 8 y ? 16 ? 0 的圆心坐标为 1
2 2



? x 2 ? y 2 ? 16 ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 8 x ? 8 y ? 16 ? 0

得 x ? y ? 4 ? 0 这就是 AB 所在的直线方程,

C (4, 4) 到直线 AB 的距离 又圆心 1

d?

|1? 4 ? 1? 4 ? 4 | 12 ? 12

?2 2


-7-

所以 | AB |? 2 r ? d ? 2 16 ? 8 ? 4 2 .
2 2

或:AB 所在的直线方程 x ? y ? 4 ? 0 与 x ? y ? 16 的交点坐标为 A(4,0), B(0, 4) ,
2 2

所以 | AB |?

42 ? 42 ? 4 2

考点:求动点的轨迹方程,直线和圆的位置关系,两个圆的公共弦长问题.

-8-


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