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专题分类与整合思想


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专题
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高中数学 苏教版

分类与整合思想
适用年级 课时时长(分钟)
高中三年级 120

由数学概念而引起的分类讨论 由数学运算要求而引起的分类讨论 由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 由图形的不确定性而引起的分类讨论 由参数的变化

而引起的分类讨论

教学目标 教学重点 教学难点

掌握分类与整合思想,学会应用 利用分类与整合思想求解问题 利用分类与整合思想求解问题

教学过程
一、复习预习
在解答某些数学问题时,有时需要对各种情况进行分类,并逐类求解,然后综合得解,这就 是分类与整合的思想.分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.

二、知识讲解
考点 1 考点 2 考点 3 由数学概念、运算引起的分类讨论 由图形或图象引起的分类讨论 由参数引起的分类讨论

三、例题精析
【例题 1】
?sin?πx2?,-1<x<0, ? 【 题 干 】 函 数 f(x) = ? x-1 ?e ,x≥0, ?

若 f(1) + f(a) = 2 , 则 a 的 所 有 可 能 值 为

________

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【例题 2】 x2 y2 【题干】 设 F1、F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆上一点,已知 P、F1、F2 是一 9 4 个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|.求

|PF1| 的值. |PF2|

【例题 3】 【题干】 已知函数 f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.讨论函数 f(x)的单调性.

四、课堂运用
【基础】 1. 【题干】已知数列{an}的前 n 项和 Sn=pn-1(p 是常数),则数列{an}是 A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对 2. 【题干】若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的值的集合是 __________ ( )

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3. 【题干】 已知 m∈R,求函数 f(x)=(4-3m)x2-2x+m 在区间[0,1]上的最大值.

4. 3 【题干】 是否存在非零实数 a,使函数 f(x)=ax2+(a-2)x+1 在[-2,3]上的最大值为 ?若 4 存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.

5. 【题干】 (2013· 安徽)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0, +∞)内单调递增”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

【巩固】 1. 【题干】(2011· 课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直 线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于 ________

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2. 1 【题干】(2012· 四川)函数 y=ax- (a>0,且 a≠1)的图象可能是 a ( )

3. 【题干】(2013· 天津)已知函数 f(x)=x(1+a|x|).设关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解集为 A 若 1 1 ?- , ??A,则实数 a 的取值范围是_________ ? 2 2?

【拔高】 1. 【题干】(2012· 北京)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.

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2. 【题干】函数 f(x)= mx2+mx+1的定义域为一切实数,则实数 m 的取值范围是 A.[0,1] C.[4,+∞) 3. 【题干】 中心在原点, 对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 都相切, 则双曲线 C 的离心率是 6 A. 3或 2 2 3 C. 或2 3 ( B.2 或 3 2 3 6 D. 或 3 2 ) B.(0,4) D.[0,4 ( )

课程小结
1. 分类的原则是:(1)分类的对象确定,标准统一;(2)不重复,不遗漏;(3)分层次,不越 级讨论. 2. 中学数学中可能引起分类讨论的因素: (1)由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、 直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负数, 对数运算中真数与底数的要求, 指数运算中底数的要求, 不等式中两边同乘以一个正数、 负数,三角函数的定义域,等比数列{an}的前 n 项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论:如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论:如二次函数图象、指数函数图象、对数函数 图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题,由于参数的取值不同会 导致所得的结果不同,或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 总之,分类讨论要明确讨论的原因和对象,确定讨论标准,最后要对讨论进行总结;可以不 分类的就不要分类讨论.

课后作业
【基础】 1. 【题干】 直线 l1: kx+(1-k)y-3=0 和 l2: (k-1)x+(2k+3)y-2=0 互相垂直, 则 k=________.

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2. 【题干】若数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-1,则它的通项公式 an=________ 3. 【题干】 若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞)上为增函数,则实数 a、b 的取值范围为

________________. 4. 【题干】 若 A={x|x2+(p+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0},且 A∩B=?,则实数 p 的取 值范围是 ( A.p>-4 C.p≥0 【巩固】 1. 【题干】抛物线 y2=4px (p>0)的焦点为 F,P 为其上的一点,O 为坐标原点,若△OPF 为等 腰三角形,则这样的点 P 的个数为 A.2 2. B.3 C.4 D.6 ( ) B.-4<p<0 D.R )

【题干】(2012· 湖北)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 3. B.5 C.6 D.7

(

)

【题干】若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,2] C.(-2,2] B.[-2,2] D.(-∞,-2)

)

4. 【题干】正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形,则它的体积为 8 2 8 A. 3 B.4 3 C. 3 D.4 3或 3 9 9 3 5. 3 【题干】已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率为 4 5 5 A. B. 3 2 5 15 5 5 C. 或 D. 或 2 3 3 4 ( ) ( )

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6. 【题干】函数 f(x)的图象如图所示,f(x)为奇函数,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则不 等式 x[f(x)-f(-x)]<0 的解集为 ( )

A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞)

【拔高】 1. 【题干】(2012· 山东)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且 函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=________. 2. a ? ? 2n,当an为偶数时, 【题干】 已知数列{an}满足: a1=m(m 为正整数), an+1=? 若 a6=1, ? ?3an+1,当an为奇数时. 则 m 所有可能的取值为________. 3. 【题干】有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条,使这六根铁条端点处相 连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是____________.

. 4. 【题干】已知 a>0,命题 p:函数 y=ax (a≠1)在 R 上单调递减,命题 q:不等式|x-2a|+x>1 的解集为 R,若 p 和 q 有且只有一个是真命题,则 a 的取值范围是________.

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5. 2a2 【题干】已知函数 f(x)=-aln x+ +x(a≠0). x (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x-2y=0 垂直,求实数 a 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性.

6. 【题干】已知函数 f(x)=2asin2x-2 π 0, ?, 3asin xcos x+a+b(a≠0)的定义域是? ? 2?

值域是[-5,1],求常数 a,b 的值.


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