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2015届高考一轮复习课时提升作业(人教A版数学理):5.1 数列的概念与简单表示法]


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课时提升作业(三十)
一、选择题 1.已知数列 是( (A)
1 35

1 1 1 1 下面各数中是此数列中的项的 , , , ?, , ?, 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n

? n ? 1?

) (B)
1 42

(C)
1 a n ?1 ?

1 48

(D)

1 54

2.已知数列{an}中,a1=1, (A)28 (B)33

1 * ? 3 (n∈N ),则 a10=( an
1 33

)

(C)

(D)

1 28

3.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是( (A)103 (B) 108
1 8

)

(C) 103

1 8

(D)108

4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-3n+1,则 a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10 的值 为( ) (B)161 (C)160 (D)171

(A)150

5.(2013·宁德模拟)在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*), 则
a3 的值是( a5
15 16

) (B)
15 8

(A)

(C)

3 4 1 n

(D)

3 8

6.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ),则 an=( (A)2+ln n (C)2+nln n (B)2+(n-1)ln n (D)1+n+ln n

)

7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 等于( (A)9 (B)8 (C)7 (D)6

)

8.(能力挑战题)定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足: an=
F ? n, 2 ? F ? 2, n ?

(n∈N*), 若对任意正整数 n, 都有 an≥ak(k∈N*)成立, 则 ak 的值为( (A)
8 9

)

(B)2

(C)3

(D)4

二、填空题
? , ,… 的一个通项公式可以是_________. 9. 数列 ? , , 1 3 2 4 7 15 8 16

10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*), 则数列{an} 的通项公式是__________. 11.设 a1=2, a n ?1 ? bn=________. 12.(能力挑战题)已知数列{an}满足:a1=m(m 为正整数),
?an ? ,当a n 为偶数时, 若 a6=1,则 m 所有可能的值为_________. a n ?1 ? ? 2 ? ?3a n ? 1,当a n 为奇数时.
a ?2 2 则数列{bn}的通项公式 ,bn ?| n |,n ? N*, an ?1 a n ?1

三、解答题 13.已知:数列{an}满足 a1 ? 式. 14.(2013· 三明模拟)已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足
bn ? 2 , 且前 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. an ?1
a2 a3 a ? ? … ? n ? a 2n ? 1, 求数列{an}的通项公 2 3 n

(1)求数列{bn}的通项公式.

(2)判断数列{cn}的增减性. 15.(2012·广东高考)设数列{an}前 n 项和为 Sn,数列{Sn}的前 n 项和 为 Tn,满足 Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求 a1 的值. (2)求数列{an}的通项公式.

答案解析
1.【解析】选 B.∵42=6×7,故选 B. 2.【解析】选 D. 由题意得 ∴
1 1 1 1 ? ? 3, ? ? 3, a 2 a1 a3 a 2 1 a n ?1 ? 1 ? 3. an

1 1 1 1 ? ? 3, ? ? 3, a 4 a3 a5 a 4


1 1 ? ? 3, a10 a 9

对递推式叠加得

1 1 1 故 a10 ? . ? ? 27, 28 a10 a1

3.【解析】选 D.根据题意结合二次函数的性质可得: an=-2n2+29n+3= ?2(n 2 ? = ?2(n ?
29 n) ? 3 2

29 2 29 ? 29 ) ?3? . 4 8

∴n=7 时,a7=108 为最大值. 4.【解析】选 B.S10-S3=(2×102-3×10+1)-(2×32-3×3+1)=161. 5.【解析】选 C.当 n=2 时,a2·a1=a1+(-1)2,∴a2=2.

当 n=3 时,a3a2=a2+(-1)3,∴a3= . 当 n=4 时,a4a3=a3+(-1)4,∴a4=3. 当 n=5 时,a5a4=a4+(-1)5,∴a5= , ?
2 3 a3 3 ? . a5 4

1 2

6.【思路点拨】根据递推式采用“叠加”方法求解. 【解析】选 A.∵an+1=an+ln(1+ )= a n ? ln
1 n

n ?1 ? a n ? ln ? n ? 1? ? ln n, n

∴a2=a1+ln 2,a3=a2+ln 3-ln 2,…,an=an-1+ln n-ln(n-1), 将上面 n-1 个式子左右两边分别相加得 an=a1+ln 2+(ln 3-ln 2)+(ln 4-ln 3)+…+ [ln n-ln(n-1)] =a1+ln n=2+ln n. 7.【解析】选 B. a n ? ? 即 an ? ?
??8, n ? 1, ??10 ? 2n, n ? 2.

?S1 , n ? 1, ?Sn ? Sn ?1 , n ? 2,

∵n=1 时也适合 an=2n-10,∴an=2n-10. ∵5<ak<8,∴5<2k-10<8, ∴
15 <k<9.又∵k∈N*,∴k=8. 2

8.【解析】选 A. a n ?

2n a n ?1 , n2 an

2n ?1 2n 2 (n ? 1) 2 2 2 2 ? ? , 2n -(n+1) =n -2n-1,只 n 2 2 (n ? 1) 2 n

有当 n=1,2 时,2n2<(n+1)2,当 n≥3 时,2n2>(n+1)2,即当 n≥3 时, an+1>an, 故数列{an}中的最小项是 a1,a2, a3 中的较小者, a1=2,a2=1,a3= , 故 ak 的值为 . 9.【解析】正负相间使用(-1)n,观察可知第 n 项的分母是 2n,分子比
8 9 8 9

分母的值少 1,故 a n ? (?1)n 答案: a n ? (?1)n
2n ? 1 2n

2n ? 1 . 2n

10.【思路点拨】根据 an 和 Sn 的关系转换 an+1=2Sn+1(n≥1)为 an+1 与 an 的关系或者 Sn+1 与 Sn 的关系. 【解析】方法一:由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得 an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2). 又 a2=2S1+1=3, ∴a2=3a1,故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴an=3n-1. 方法二:由于 an+1=Sn+1-Sn, an+1=2Sn+1, 所以 Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,
1 2 1 1 即得数列{Sn+ }为首项是 S1 ? ? 2 2 1 公比是 3 的等比数列,故 Sn ? ? 2 1 n 1 故 Sn ? ? 3 ? . 2 2

把这个关系化为 Sn ?1 ? ? 3(Sn ? ) ,
3 , 2 3 n ?1 1 n ?3 ? ?3 , 2 2

1 2

所以,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-1, 由 n=1 时 a1=1 也适合这个公式, 知所求的数列{an}的通项公式是 an=3n-1. 答案:an=3n-1 【方法技巧】an 和 Sn 关系的应用技巧 在根据数列的通项 an 与前 n 项和的关系求解数列的通项公式时,要考

虑两个方面, 一个是根据 Sn+1-Sn=an+1 把数列中的和转化为数列的通项之 间的关系; 一个是根据 an+1=Sn+1-Sn 把数列中的通项转化为前 n 项和的关 系,先求 Sn 再求 an.
2 ?2 a n ?1 ? 2 a n ? 1 a ?2 |?| |? 2 | n |? 2b n 且 b1=4,所 11.【解析】由条件得 bn ?1 ?| 2 a n ?1 ? 1 a ? 1 n ?1 an ?1

以数列{bn}是首项为 4,公比为 2 的等比数列,则 bn=4×2n-1=2n+1. 答案:2n+1 12.【解析】根据递推式以及 a1=m(m 为正整数)可知数列{an}中的项都 是正整数.
a5 ,则 a5=2,若 a6=3a5+1,则 a5=0,故只能是 a5=2. 2 a 1 若 a5= 4 ,则 a4=4,若 a5=3a4+1,则 a4= ,故只能是 a 4 ? 4 . 3 2 a 若 a 4 ? 3 , 则 a3=8,若 a4=3a3+1,则 a3=1. 2 a 7 (1)当 a3=8 时, 若 a3= 2 ,则 a2=16,若 a3=3a2+1,则 a2= ,故只能是 a2=16, 3 2 a 若 a2= 1 ,则 a1=32,若 a2=3a1+1,则 a1=5. 2 a (2)当 a3=1 时,若 a3= 2 ,则 a2=2,若 a3=3a2+1,则 a2=0,故只能是 a2=2. 2 a1 1 若 a 2 ? , 则 a1=4,若 a2=3a1+1,则 a1= ,故只能是 a1=4. 3 2

a6=1,若 a6=

综上所述:a1 的值,即 m 的值只能是 4 或 5 或 32. 答案:4 或 5 或 32 【变式备选】已知数列{an}中, a1 ? ,a n ?1 ? 1 ? 【解析】由题可知 a 2 ? 1 ?
1 2 1 (n ? 2), 则 a16=_______. an

1 1 1 1 ? ?1,a 3 ? 1 ? ? 2,a 4 ? 1 ? ? , ∴此数列为 a1 a2 a3 2

循环数列, a1 ? a 4 ? a 7 ? a10 ? a13 ? a16 ? . 答案:
1 2
a2 a +…+ n ?1 =a2n-2-1, 2 n ?1

1 2

13.【解析】n=1 时,a1=a2-1. n≥2 时,a1+
an 1 ? a 2n ? a 2n ?2 ? a 2n (1 ? 2 ), n a 1 ∴ a n ? n a 2n (1 ? 2 ) , a



∴n=1 也适合上式,∴an=na2n(1-

1 ). a2

【变式备选】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1=1,S2=2,且 Sn+1-3Sn+2Sn-1=0 (n∈N*且 n≥2),求该数列的通项公式. 【解析】由 S1=1 得 a1=1,又由 S2=2 可知 a2=1. ∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*且 n≥2), ∴Sn+1-Sn-2Sn+2Sn-1=0(n∈N*且 n≥2), 即(Sn+1-Sn)-2(Sn-Sn-1)=0(n∈N*且 n≥2), ∴an+1=2an(n∈N*且 n≥2) , 故数列{an}从第 2 项起是以 2 为公比的等比 数列. ∴数列{an}的通项公式为
?1,n ? 1, a n ? ? n ?2 * ?2 ,n ? 1, n ? N .

14.【解析】(1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).
?1 , n ? 2, n ? N* , ? ? ∴ bn ? ? n ? 2 , n ? 1. ? ?3

(2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1

1 1 1 ? ?…? , n ?1 n ? 2 2n ? 1 1 1 1 ? ? ∴ cn ?1 ? cn ? 2n ? 2 2n ? 3 n ? 1

=

=

?n ? 1 ?0, ? 2n ? 2?? 2n ? 3?? n ? 1?

∴{cn}是递减数列. 15.【解析】(1)当 n=1 时,T1=2S1-1. 因为 T1=S1=a1,所以 a1=2a1-1,求得 a1=1. (2)当 n≥2 时,Sn=Tn-Tn-1 =2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2] =2Sn-2Sn-1-2n+1,所以 Sn=2Sn-1+2n-1 所以 Sn+1=2Sn+2n+1 ②-①得 an+1=2an+2, 所以 an+1+2=2 (an+2),即 求得 a1+2=3,a2+2=6,则
a n ?1 ? 2 =2(n≥2), an ? 2 a2 ? 2 =2. a1 ? 2

①,

②,

所以{an+2}是以 3 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an+2=3·2n-1, 所以 an=3·2n-1-2,n∈N*.

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