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09 级高三数学总复习讲义——解三角形

编辑:尹凤林

09 级高三数学总复习讲义——解三角形 级高三数学总复习讲义—— ——解三角形
知识清单 常用的主要结论有: (1)A+B+C=1800 ⑵任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. ⑶等边对等角: a = b A = B ; 大边对大角: a > b A > B . ⑷S

△ABC = 2 底×高= 2 r (a + b + c) (其中 r 是内切圆半径)
=

1

1

1 ab sin C = 2 a b c ⑸ = = = 2 R (正弦定理) sin A sin B sin C
⑹ a2 = b2 + c2 2bc cos A, 课前预习 1.已知 ABC三边长分别为a, b, c且a 2 + b 2 c 2 =

b2 = (余弦定理)

3ab ,求 ∠C _____


2.在 ABC 中,如果 sin A ∶ sin B ∶ sin C =5∶6∶8,那么此三角形最大角的余弦值是

3.在 ABC 中, a 、 b 分别为角 A 、 B 的对边,若 B = 60° , C = 75° , a = 8 ,则边 b 的长 等于 4. ABC 中, ∠A = A. .

π
3

, BC = 3 , AB =

6 ,则 ∠C =

π
6

B. .

π
4

C. .

3π 4

D. .

π
4



3π 4

5.已知:在⊿ABC 中, A. 直角三角形 B.

c cos C = ,则此三角形为 b cos B
等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 ) .

6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c, A = A. 1 B. 2 C.

π
3

, a = 3, b = 1, 则 c = (
D.

3 —1

3

7.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 测 点

C



D

. 测 得

∠BCD = 150,∠BDC = 300,CD = 30 米, 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为

600 , 则 BC=

米, 塔高 AB=

米。
2 2 2

8.在△ ABC 中,a , b , c 分别是 ∠A ,∠B ,∠C 的对边,且 b + c + 3bc = a 则 ∠A 等于 ( )

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A.

π
6

B.

π
3

C.

2π 3
)

D.

5π 6

9.在 VA B C 中, B = 45 (A) 5

, c = 5 2, b = 5 ,则 a 等于(
(C) 5 (D) 10

2

(B) 5 3

10.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 300,600,则塔高为( ) (A)

400 米 3

(B)

400 3 米 3

(C)

200 3 米 3

(D) 200 米 A 3

11.在 ABC中, a = x,b =2, , B



= 45

,若这个三角形有两解,则 x 的取值范围是( )

( A) x > 2

( B) x < 2
π
3

(C)2 < x < 2 2

(D)2 < x < 2 3

12.在 ABC 中,已知内角 A =

,边 BC = 2 3 .设内角 B = x ,面积为 y .

(1) 求函数 y = f ( x) 的解析式和定义域; (2) 求 y 的最大值. 典型例题 EG1.正弦定理与余弦定理 . 在 ABC 中,若 A.

( a + b + c )( c + b a ) = 3bc ,则 A = ( ) .
B. 120 C.

150

60

D.

30

变式 1:在 ABC 中,若 a = 13 , c = 4 , A = 60 ,则 b = __________. : 在 若 变式 2: ABC 中, b = :

2 ,A = 30 ,C = 105 , 则此三角形的周长为__________.

变式 3:已知 a、b、c 是△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边,S 是△ABC 的面积.若 a=4,b=5, : S=5

3 ,求 c 的长度.

EG2.三角形中的几何计算 三角形中的几何计算 在 ABC 中, AB = AC = 3 , BC = 2 , ∠B 的平分线交过点 A 且与 BC 平行的线于点 D .求 ABD 的面积. 变式 1:已知 △ ABC 的周长为 2 + 1 ,且 sin A + sin B = : (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 变式 2:△ABC 中, A = : A. 4 3 sin( B +

2 sin C .

π
3

1 6

, BC = 3, 则△ABC 的周长为(
B. 4 3 sin( B +

) .

π
3

)+3

π
6

)+3

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C. 6sin( B +

π
3

)+3

D. 6sin( B +

π
6

)+3

变式 3:在 ABC中,∠B = 45°, AC = 10, cos C = :

2 5 ,求(1) BC = ? (2)若点 5

D是AB的中点,求中线CD的长度。
EG3.解三角形的实际应用 . 某观察站 B 在城 A 的南偏西 20 的方向,由 A 出发的一条公路走向是南偏东 40 ,在 B 处 测得公路上距 B31km 的 C 处有一人正沿公路向 A 城走去,走了 20km 之后到达 D 处,此时 B,D 间的距离为 21km。这个人要走多少路才能到达 A 城? 变式 1:如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向 : 相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船 立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 , 相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少 度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1 )? 变式 2:如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水 : 平 面 内 的 两 个 测 点 10 C A 20 B 北

C



D . 现 测 得

∠BCD = α,∠BDC = β,CD = s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔高 AB .


120 A 2

B2 B1


105 A 1


变式 3:如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航 : 行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相 距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

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实战训练 1. (2007 年重庆卷理 5)在 ABC 中, AB = A. 3 3 B. 2 C.2

3 , A = 45 0 , C = 75 0 , 则 BC =( )
D. 3 + 3

2. (2007 年北京卷理 11) .在 △ ABC 中,若 tan A =

1 , C = 150 , BC = 1 ,则 AB = 3

3. (2007 年重庆卷文 13)在△ABC 中,AB=1,BC=2,B=60°,则 AC= 。 4. (2007 年湖南卷理 12) 在 △ ABC 中, A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , a = 1 , . 角 若 b= 7 , c =

π ,则 B = . 3 5. (2007 年湖南卷文 12) 在 △ ABC 中, A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , a = 1 , . 角 若 π c = 3 , C = ,则 A = . 3 6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c = 7 ,且
3 ,C =
4 sin 2 A+ B 7 cos 2C = . 2 2
(2)求△ABC 的面积.

(1) 求角 C 的大小;

7.在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 tan A = (1)求 tanC 的值;

1 3 10 , cos B = 2 10 1 . 4

(2)若⊿ABC 最长的边为 1,求 b。

8.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a = 2 , c = 3 , cos B = (2)求 sin C 的值. (1)求 b 的值; 9.在△ABC 中,已知角 A 为锐角,且

f ( A) =

[cos(π 2 A) 1] sin(π +

π A A ) sin( ) 2 2 2 + cos 2 A . A π A sin 2 ( ) sin 2 (π ) 2 2 2

(I)求 f (A)的最大值; (II)若 A + B =

7π , f ( A) = 1, BC = 2 ,求△ABC 的三个内角和 AC 边的长. 12

10.如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A、 B,观察对岸的点 C,测得 ∠CAB = 75 , ∠CBA = 45 ,且 AB = 100 米。 (1)求 sin 75 ; (2)求该河段的宽度。 11.在 ABC 中,已知 AC = 3 , sin A + cos A = 2 .

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(Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 ABC 的面积 S = 3 ,求 BC 的值. 12.已知 △ ABC 的周长为 2 + 1 ,且 sin A + sin B =

2 sin C .

(I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数.

1 6

( AC + BC ) 2 2 AC i BC AB 2 1 = ,所以 C = 60 . 2 AC i BC 2 13 . 08 全 国 一 17 ) 设 △ ABC 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 长 分 别 为 a,b,c , 且 ( . 3 a cos B b cos A = c . 5 =
(Ⅱ)求 tan( A B ) 的最大值. (Ⅰ)求 tan A cot B 的值; 14. (08 全国二 17) .在 △ ABC 中, cos B = (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC =

5 4 , cos C = . 13 5

33 ,求 BC 的长. 2

16. (08 重庆卷 17)设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求:

a 的值; (Ⅱ)cotB +cot C 的值. c 17. 辽宁卷 17) 在 △ ABC 中, (08 . 内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c , 已知 c = 2 , π C= . 3
(Ⅰ) (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin C + sin( B A) = 2 sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.


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