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高考数学新题型


这类题目的特点是给出了题目的 结论,但没有给出满足结论的条件, 并且这类条件常常是不唯一的,需要 解题者从结论出发,通过逆向思维去 判断能够追溯出产生结论的条件,并 通过推理予以确认.这种条件探究性 问题实质上是寻找使命题为真的充分 条件和充要条件.

例1、(1998年全国高考试题)

如图,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,


当底面四边形满足条件__________时, 有A1C⊥B1D1. (填上你认为正确的一个条件即可, 不必考虑所有可能的情形)
B A
B1

A1

D1

C1 D

C

例2、(2002年全国高考文史类试题) 对于顶点在原点 的抛物线,给出下列条件: ① ② ③ ④ ⑤ 焦点在 y 轴上; 焦点在 x 轴上; 抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于6; 抛物线的通径的长为5; 由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足的坐标为 (2,1). 能使这抛物线方程为 y 2 = 10x 的条件是____________ .

这类题目的特点是给出一定的条 件,要求从条件出发去探索结论,而结 论往往是不唯一的,甚至是不确定的, 需要解题者从已知条件出发,运用所学 过的知识进行推理、探究或实验得出结 论.

例3、(1998年全国高考试题)关于函数 π f (x) = 4sin (2x+ 3 ) (x ∈ R)有下列命题: ① 由 f (x1 )=f (x2 )=0可得 x1 - x2 必是π的整数倍; ② y=f (x) 的表达式可改写为 y = 4cos(2x- π ); 6 π ③ y=f (x)的图像关于点(- 6 ,0 )π 对称; ④ y=f (x)的图像关于直线 x = - 6 对称. 其中正确命题的序号是____________. (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

例4、(2001年上海市高考试题) 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,对用一定量的水清洗 一次的效果作如下假定:用一个单位量的水可洗掉蔬菜上残 留量的 1 ,用水越多,洗掉的农药量也越多,但总还有农 2 药残留在蔬菜上.设用x单位量的水清洗一次以后,蔬菜上 残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为 f(x). (1)试规定f(0)的值,并解释其实际意义. (2)试根据假定写出函数 f(x)应该满足的条件和具有的 性质. 1 (3)设 f(x)= 1+x2 ,现有a(a>0)单位量的水可以清 洗一次,也可以把水平均分成 2份后清洗两次.试问用哪种 方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少?说明理由.

有些题目条件和结论都是不确定 的,但是给出了一定量的信息和情景, 要求解题者在题目给出的情景中,自行 设定条件,自己寻找结论,自己构建命 题并进行演绎推理.

例5、(1999年全国高考试题) α,β是两个不同的平面,m , n是平面α,β之外的两条不同 直线,给出四个论断: ① m ⊥ n ,② α ⊥ β ,③ n ⊥ β ,④ m ⊥ α . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写 出你认为正确的一个命题.

例6、(1999年上海市高考试题) 若四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体,则 其体积的值是_____________.(只需写出一个可能的值))

这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出 了中学数学内容中没有遇到过的新知识,这些新知识 可以是新概念,新定义,新定理和新规则,新情境, 并且这些解题的信息有可能不是直接给出的,要求解 题者通过观察,阅读,归纳,探索进行迁移,即读懂 新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然后运用 这些有用的信息进一步演算和推理,从而考察在新的 信息,新的情景下,独立获取和运用新信息的能力, 综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力. 信息迁移题,由于信息呈现的方式不同,又可分为 定义信息型,图表信息型,图像图形信息型等.

D1.定义信息型
例7、( 1994年全国高考试题)在测量某物理量的过 程中,因仪器和观察的误差,使得 n 次测量分别得到 a1 ,a2 ,…an共n个数据.我们规定所测量的物理量的“最 佳近似值” a 是这样一个量:与其它近似值比较, a与 各数据的差的平方和最小,依此规定,从a1 ,a2 ,…an 推 出的a = _____________.

D1.定义信息型
输入

例8、(2001年上海市高考试题)对任意函数f(x),x∈D, 可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下: f ①输入数据 x0 ,经数列发生器输出x1 = f(x0 ) ; 输出 ②若x1 ∈D ,则数列发生器结束工作,若x1 ∈D , 则将反馈回输入器,再输出x2 = f(x1 ) , 打印 并依此规律继续下去. xi ∈D yes 4x-2 现定义. f(x)= x+1 no (Ⅰ)若输入x0 = 49 ,则由数列发生器产生数列{xn},请写出数列{xn} 65 的所有项. (Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列,试求输入的初始数据 x0 的值. (Ⅲ)若输入x0时,产生的无穷数列{xn}满足:对任意正整数n,均有 xn < xn+1 ,求x0的取值范围.

D2.图表信息型
例 9 、( 2000年全国高考试题)《中华人民共和国个人所得税法》规定, 公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为 全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累进计算: 全月应纳税所得额 不超过500元的部分 税率 5%

超过500元至2000元的部分
超过2000元至5000元的部分

10%
15%

某人一月份应交纳此项税款 26.78 元,则他的当月工资、薪金所得介于 ( )元. (A)800~900 (B)900~1200 (C)1200~1500 (D)1500~2800

D2.图表信息型
例10、(2000年上海市高考试题)据报道,我国目前已成为世界上受荒漠 化危害最严重的国家之一,下左图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六 十年代,七八十年代,九十年代的变化情况.由图中的相关信息,可将上述 有关年代中,我国年平均土地沙化面积在下右图图示为
土地沙化总面积(万平方公里) 年平均土地沙化面积(百平方公里)

260 257.5

26 22 18

253.3 250 1950 1960 1970 1980 1990 2000

14 1950 1960 1970 1980 1990 2000

D3.图形、图像信息型
例11、(2000年全国高考试题)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情 知,从一月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一 条折线表示,西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线线段表 示. Q
p
250

300 200

200 150 100

100

50 0 50 150 300

0

100

200

300

t

t

图1

图2

(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P =f(t); 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g(t). (Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收 益 最 大 ? ( 注 : 市 场 售 价 和 种 植 成 本 的 单 位 : 元 /102kg , 时 间 单 位 : 天) .

D3.图形、图像信息型
例 12 、(1998年全国高考试题)向高为 H的 水瓶中注水,注满为止,如果注水量与水深的 函数关系的图像如图所示,那么水瓶的形状是 ( ).

V

H

h

(A)

(B)

(C)

(D)

这种题目的特点是给出一个数学情境或一 个数学命题,要求解题者发散思维去联想,类 比,推广,转化,找出类似的命题,推广的命 题,深入的命题,或者根据一些特殊的数据, 特殊的情况去归纳出一般的规律.

例13、(2002年上海市春季高考试题)如下图,若从点O所 做的两条射线OM ,ON 分别有点M1 ,M2与点N1 ,N2 ,则 OM1 . OM2 S △OM1N1 三角形面积之比 , = ON1 ON2 S△OM2N2

若从点O 所做的不在同一平面内的三条射线,OP ,OQ 和 OR上,分别有点P1 ,P2 ,点Q1,Q2 和点R1,R2 ,则类似的结 论为__________. O
M M1 M2

P1 P2

Q1

R1 R2

O N1 N2 N

Q2 P Q R

例 14 、( 2000 年上海市高考试题)在等差数列 {an} 中,若 a10= 0 ,则有等式a1 + a2 + … + an = a1 + a2 + … + a19-n (n<19 , n ∈N +)成立.类比上述性质,相应地,在等比数 列{bn}中,若b9= 1 ,则有等式__________________成立.

这种题型是题目给出一定的条件,让解题 者去证明在给定条件下,一些给定的结论一 定存在或一定不存在,或者要求解题者去判 断在给定的条件下的结论是否存在.

例15、(1995年全国高考试题)设{an}是由正数组成的等比 数列, Sn是其前n项和. (Ⅰ)证明 lgSn+lgSn+2 2 < lgSn+1 ;

(Ⅱ)是否存在常数 c>0,使得 lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c) 2 并证明你的结论. = lg(Sn+1-c) 成立?

例 16、(2000 年上海高考试题)已知复数 z0=1-mi(m> 0) , ω =x+yi 和ω=x’+y’i,其中x,y,x’,y’均为实数,i为虚数单位, . ,|ω| =2| z| , 且对于任意复数z ,又ω = z0 z (Ⅰ)试求m的值,并分别写出x’和y’用x,y表示的关系式; (Ⅱ)将(x,y)作为点P的坐标,(x’,y’)作为点Q的坐标,上述 关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换,它将平面上 的点P变到这一平面上的点 ,当点P在直线y=x+1上移动时, 试求点P经变换后得到的点Q的轨迹方程. (Ⅲ)是否存在这样的直线,它上面的任一点经上述变换 后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线, 若不存在,则说明理由.

一般的题目,题型与方法相对是固定的, 所以解题者可以根据题目的条件和结论,根 据固有的解题模式确定解题策略,但有些题 目,并不是按照“题型加方法”的思维定势 编拟的,题目的背景比较新颖,解题的要求 比较开放,有时需要实际操作和巧妙设计, 这就要求解题者具有灵活的思维和应变能力, 能根据题目的条件和结论进行观察、分析、 探索、决策,这是一种解题策略开放与发散 的题型.

例17、(2002年全国高考(文史类)试题) (Ⅰ)给出两块相同的正三角形纸片(如图 1 ,如图 2 ),要求用其 中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型, 使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法, 分别用虚线标示在图1,图2中,并作简要说明. (Ⅱ)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小. (Ⅲ)如果给出的一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一 个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设 计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明.

图1

图2

图3

例 18 、( 2002 年北京市高考试题)在研究并行计算的基本算法时, 有以下简单的模型问题: n 用计算机求n个不同的数v1, v2 ,…, vn的和∑vi = v1 + v2 +… +vn ,
i=1

计算开始前, n个数存贮在n台由网络连接的计算机中,每台机器 有一个数,计算开始后,在一个单位时间内,每台机器至多到一台 其它机器中读数据,并与自己原有数据相加得到新数据,各台机器 可同时完成上述工作. 为了用尽可能少的单位时间,使各台机器都得到这 n 个数的和,需 要设计一种读和加的方法,比如 n=2,一个单位时间即可完成计算, 方法可用下表表示:
机器号 1 2 初始时 v1 v2 第一单位时间 被读机号 2 1 结果 v1 +v2 v2+v1 第二单位时间 被读机号 结果 第三单位时间 被读机号 结果

(Ⅰ)当 n=4 时,至少需要多少单位时间可完成计算? 把你设计的方法填入下表
机器号 初始时 第一单位时间 被读机号 结果 第二单位时间 被读机号 结果 第三单位时间 被读机号 结果

1
2

v1
v2

3
4

v3
v4 n

(Ⅱ)当 n=128 时,要使所有机器都得到∑vi ,至少需要多 i=1 少单位时间可完成计算?(结果不要求证明)


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