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2011高考全国卷2数学(理科)试题及答案


2011 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 2)
理科数学(必修+选修)
一、 选择题
(1) (2)
zz ? z ? 1 ?

A.-2i 函数 y A. y ? (3) (4)
x
? 2
2

复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则 B.-i C.i
x ( x ? 0 ) 的反函数为
2

D.2i

(x ? R )

B. y ?

x

( x ? 0)

C. y ? 4 x 2 ( x ? R )

D. y

? 4x

2

4

4

? x ? 0?

下面四个条件中,使得 a ? b 成立的充分不必要条件是 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. a 2 ? b 2

D. a 3 ? b 3

设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , S k ? 2 – S k ? 2 4 ,则 k ? A.8 B.7 C.6 D.5
?
3

(5)

设函数 f ? x ? ?

co s ? x ( ? ? 0 ) ,将 y ? f

? x ? 的图像向右平移

个单位长度后,所得到的图像与

原图像重合,则 ? 的最小值等于 A. (6)
1 3

B.3

C.6

D.9

l 已知直二面角 ? ? l ? ? ,点 A ? ? , AC ? ,C 为垂足,点 B ? ? , B D ? l ,D 为垂足。若 A B ? 2 ,
A C ? B D ? 1 ,则

D 到平面 ABC 的距离为 B.
3 3

A. (7)

2 3

C.

6 3

D. 1

某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法有 A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 曲线 y ? e ? 2 x ? 1 ,在点 (0, 2 ) 处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为 A.
1 3

(8)

B.

1 2

C.

2 3

D. 1
? 5? 2 x ? 1 ? x ? ,则 f ? ? ? ? ? 2?

(9)

设 f ? x ? 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? A. ?
1 2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2

(10) 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交与 A,B 两点,则 cos ? A F B ? A.
4 5

B.

3 5

C. ?

3 5
1

D. ?

4 5

(11) 已知平面 ? 截球面得圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 6 0 ? 二面角的平面 ? 截该球面的半径为 4,圆 M 面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为 A. 7 ? B. 9 ? (12)
? ? ? 设向量 a , b , c

满足

C. 1 1? D. 1 3? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? a ? b ? 1, a ?b ? ? , a ? c , b ? c ? 6 0 ? ,则 | c | 的最大值为 2

?

?

A.2

B. 3

C. 2

D.1

二、 填空题
(13) ? 1 ?
x

?

20

的二项展开式中,x 的系数与 x 9 的系数之差为__________。 , sin ? ?
5 5

(14)已知 ? ? ?

??

? ,? ? ? 2 ?

,则 tan 2? =__________。

(15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C :

x

2

?

y

2

? 1 的左右焦点,点 A ? C

9

27

,点 M 的坐标为(2,0), A M 为

? F1 A F2 的平分线,则 A F 2 ? _________。

(16)已知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 B B1、 C C 1 上,且 B1 E ? 2 E B , C F ? 2 F C 1 ,则面 AEF 与 ABC 所成的二面角的正切值等于__________。

三、解答题
(17) ? A B C 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 A ? C
? 9 0 ?, a ? c ? 2b

,求 C。

(18)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立。 (I) 求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率。 (II)X 表示该地的 100 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求 X 的期望。

2

C (19) 如图, 四棱锥 S ? A B C D 中,A B ∥ C D , B C ? C D , 侧面 S A B 为等边 ? ,A B ? B C ? 2 , D ? SD ? 1 .

(I) 证明: SD ? 平 面 SA B ; (II)求 A B 与平面 SB C 所成角的大小。

S

D

C

A

B

(20)设数列 { a n } 满足 a 1 ? 0 且

1 1 ? a n ?1

?

1 1 ? an

? 1.

(I) 求 { a n } 的通项公式; (II)设 b n ?
1? a n ?1 n

,记 S n ?

? b ,证明: S
k k ?1

n

n

? 1.

3

(21)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x 2 ? 线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 (I) 证明:点 P 在 C 上;

y

2

?1在

y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 ? 2 的直
y A F O x B

2

??? ??? ??? ? ? ? OA ? OB ? OP ? 0 .

(II)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明 A、 P、 B、 Q 四点在同一圆

上。

l

(22)设函数 f ? x ? ? ln ? 1 ? x ? ?

2x x?2



(I) 证明:当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ; (II)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次, 设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p。证明:
? 9 ? p ?? ? ? 10 ?
19

?

1 e
2



4

参考答案
一、 选择题
1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 C 7 B 8 A 9 A 10 D 11 D 12 A

二、填空题
4 3

13、0. 14、 ?

15、6 16、

2 3

三、解答题
(17)(10 分) 由 a ? c ? 2 b 及正弦定理可得(3 分)
sin A ? sin C ? 2 sin B
? 1 8 0 ? ? ? A ? C ? 所以

又由于 A ? C ? 90 ? , B

co s C ? sin C ? ? ?

2 sin ( A ? C ) 2 sin (9 0 ? 2 C ) 2 sin 2 C
?

??7 分
2 2 co s C ? 2 2 co s( 4 5 ? C ) ? co s 2 C .
?

sin C ? co s 2 C

? 0 ? ? C ? 90 ? , 2C ? 45 ? ? C ,

C ? 15 ?

??10 分 (18)(12 分) 解:记 A“有一位车主购买甲种保险”,B“车主买乙种保险但不购买甲种保险”,C“至少购买一 种保险”,D“两种保险都不购买” (I)
P ? A ? ? 0 .5, P ? B ? ? 0 .3, P ? C ? ? P ? A ? ? P ? B ? ? 0 .8 ??6



5

(II)

D ?C

所以 P ? D ? ?

0 .2

??10 分

因为 X ~ B (100, 0.2) 所以 E X ? 100 ? 0.2 ? 20 ??12 分 (19)(12 分) 解法一: (I) AB 中点 E,连结 SE,则 S E
? AB , SE ? 3

. S H D F A B G C

又 D E ? 1 ,故 D E 2 ? S E 2 ? S D 2 , 所以 ? D SE 是直角 ??3 分 由 A B ? 平 面 SD E ,所以 A B ? S D SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直 所以 SD ? 平 面 SA B ??6 分 由 A B ? 平 面 SD E 知,平面
A B C D ? 平 面 SD E

(II)

作 SF ? D E ,垂足为 F,则
SF ? 平 面 A B C D

, SF ?

SD ? SE DE

?

3 2

.

作 F H ? SG ,G 为垂足,则 F G ? D C ? 1 . 连结 SG 则 SG ? B C . 又 B C ? F G , SG ? F G ? G ,故 B C ? 平 面 A B C D , SB C ? SF G ??9 分 作 F H ? SG ,H 为垂足,则 F H ? SB C 又 FH ?
SF ? FG SG ? 3 7

,F 到平面 SBC 的距离为

21 7

.

由于 E D ? B C 所以 E D ? S B C ,E 到平面 SBC 的距离 d 为

21 7



设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?

d EB

?

21 7

, ? ? arcsin

21 7

??12 分

解法二: (I) 以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz。 设 D(1,0,0),则 A(2,2,0)、B(0,2,0). 又设 S ( x , y , z ) ,则 x ? 0, y ? 0, z ? 0 . 易得 A S
??? ?
??? ? ??? ? ??? ? ? ? x ? 2, y ? 2, z ? , B S ? ? x , y ? 2, z ? , D S ? ( x ? 1, y , z )

由 A S ?| B S | 得 故x ?1.

??? ?

? x ? 2?

2

? ? y ? 2? ? z
2

2

?

x ? ? y ? 2? ? z
2 2

2

,

6

由 DS ? 1 得 y2 ? z2 ? 1. 又 BS ? 2 得 x2
??? ?
? ? y ? 2? ? z ? 4
2 2

??? ?

即 y 2 ? z 2 ? 4 y ? 1 ? 0 ,所以 y ?
? ?

1 2

,z ?

3 2

.

??3 分

所以 S ? 1 , ? ? 则

1 2

,

? ? ? ? 1 3 ? ??? ? 3 3 ? ??? ? 3 3 ? ??? 3 ? ? . ? , A S ? ? -1 , , ? , B S ? ? 1, ? , ? , D S ? ? 0, , ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? ? ? ? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? D S ? A S ? 0, D S ? B S ? 0

.

所以 D S ? A S , D S ? B S ,又 A S ? B S ? S , 所以 SD ? 平 面 SA B 。 ??6 分 (II) 设平面 SB C 的法向量为 n 则 n ? BS
? ? ??? ? ? ??? ? 0, n ? C B ? 0

z S

?

? ? m , n, p ? ,

x

? 3 3 p ?0 ?m ? n ? ? 2 2 ?2n ? 0 ?
?

D y B

C

??9 分
??? ? A B ? ? ? 2, 0, 0 ?

A

取 p ? 2 得 n ? ? ? 3 , 0, 2 ? ,又
??? ? ? 得 co s A B , n ? ??? ? ? AB ? n ? ? AB ? n 21 7



AB 与平面 SBC 所成的角大小为 a rc sin

21 7

??12 分

(20)(12 分) 解: (I) 由题设
1 1 ? a n ?1 ? 1 1 ? an ? 1,

即?

?

? ? 是公差为 ?1 ? an ? 1
1 ? 1故 1 1 ? an

1 的等差数列。



1 ? a1

? n

得 an ? 1 ?

1 n

.

??5 分
7

(II)

由(I)中结论
bn ? ? ? Sn ? 1? a n ?1 n n ?1 ? n

n ? 1· n 1 n ? 1 n ?1 , ? ? ? ? 1? k ?1 ? 1 1 n ?1 ?1

??8 分

? bk ?
k ?1

n

??
k ?1

n

? 1 ? k

??12 分 (21)(12 分) 解: (I) F (0,1) ,l 的方程为 y
4x ? 2 2 ?1 ? 0
2

? ?

2 x ? 1 ,代入 x ?
2

y

2

? 1 并化简得

??2 分

2

设 A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? , P ( x 3 , y 3 ) , 则 x1 ?
2 ? 4 2 2 6 , x2 ? 2 ? 4 6



得 x1 ? x 2 ?

, y1 ? y 2 ? ?

2 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ? 1

得 x 3 ? ? ? x1 ? x 2 ? ? ?
? ?

2 2

, y 3 ? ? ? y1 ? y 2 ? ? ? 1

所以点 P 的坐标为 ? ? ?
? ? ? , ?1? ? 2 ? 2
2 2

? , ? 1 ? ,验证得 ? 2 ? 2 ? ? ,1 ? , P Q ? ? 2 ? 2

P 在椭圆上。??6 分

(II)

由P?? ?

,知 Q ? ?

的垂直平分线 l1 的方程为

y ? ?

x.

设 AB 的中点为 M,则 M ? ?

?

2 1 , 4 2 ?

? ? ,AB ? ?

的垂直平分线 l 2 的方程为

8

y ?

2 2

x?

1 4

? ? 9分

联立 ? 1 ,得 N ? ?
? l2
2

?l

?

2 1 , ? 8 8

? ?, ? ?

??9 分

| N P |?

? 2 2 ? 1? 3 11 ? ? , ?? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 8 ? 8? 8 ? ?
2

| A B |? | A M |?

1 ? ( ? 2 ) · x 2 ? x1 | ? |
2

3 2 2

,

3 2 4

,
2 2

| M N |?

? 2 2 ? 3 3 ?1 1? ? ? ? ?? ? ? ? ? 4 ? 8 ? 8 ?2 8? ? | AM | ? | M N | ?
2 2

| N A |?

3 11 8

,

故 | N P | ? | N A |, 又 | N P | ? | N Q |, | N A | ? | N B |, 所 以 | N A | ? | N P | ? | N B | ? | N Q |, 由 此 可 知 A、 P 、 B 、 Q 四 点 在 以 N 为 圆 心 , N A 为 半 径 的 圆 上

??12 分

(22) 解: (I)
f ?? x? ? x
2 2

? x ? 1? ? x ? 2 ?

.

??2 分 , f ?x? ?
f ?0? ? 0

当 x ? 0 时, (II)
p ?

? f ? ? x ? ? 0 ,所以当 x ? R

??5 分

100 ? 99 ? 98 ? ? ? 81 100
20

.

又 99 ? 81 ? 90 2 , 98 ? 82 ? 90 2 , ? , 91 ? 89 ? 90 2 , 所以 p ? ?
? 9 ? ? ? 10 ?
19

??9 分
2x x?2

由(I)知:当 x ? 0 , ln ? 1 ? x ? ? 所以 ? 1 ?
? ? 2? ? ln ? 1 ? x ? ? 2 . x?



令x ?

1 9

则 1 9 ln

10 9

? 2

,

9

? 10 ? 所以 ? ? ? 9 ?

19

? e

2

综上:

? 9 ? p ?? ? ? 10 ?

19

?

1 e
2

??12 分

10


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