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等差数列(2)课件


等差数列(2)

等差数列
定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

an ? an ?1 ? d(n ? 2,n ? N )

?

an ?1 ? an ? d(n ? N ) d 等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)
a n=

?

等差数列的递增(d>0)、递减(d<0)取决于公差d

an ? am am+(n - m) d ,d= n?m

an ? dn ? a1 ? d 一次函数

数列? an ?是等差数列,m ,n , p ,q ? N ? ,若m ? n ? p ? q , 求证:a m ? an ? a p ? aq .

证明:设?an ? 的首项是a1 ,公差是d ,
则am ? a1 ? (m ? 1)d ,
an ? a1 ? (n ? 1)d ,

a p ? a1 ? ( p ? 1)d ,

aq ? a1 ? (q ? 1)d ,

? am ? an ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d ,

a p ? aq ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d , ? m ? n ? p ? q,? am ? an ? a p ? aq .

等 差 数 列 的 性 质

特别地,若n+m=2p,则an +a m =2a p

例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20
分析:由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12

及 a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10 (2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8

分析: a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又已知 a3+a11=10,
3 ∴ a6+a7+a8= (a3+a11)=15 2

例2:在等差数列{ an }中,若 a1 + a6 =9,

a4 =7,

求 a3 ,a9 .

变式练习: 1. 在等差数列 ?an ? 中,
(1)已知a5 ? 10,a10 ? 5,求a15 (2)已知a1 -a5 +a9 -a13 +a17 =10,求a3 +a15 (3)已知a1 +a4 +a7 =39,a,2 +a5 +a8 =33,求a3 +a6 +a9
2.已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求公差d. 3.三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数 的积为12,求此三数.

对称项设法: 当等差数列{an}的项数为奇数时,可设 中间一项为a,再以公差为d向两边分别设项为: …, a-d,a,a+d,… 当等差数列{an}的项数为偶数时,可设中间两项分别 为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项为, …,a-3d,a-d,a+d,a+3d,… 对称项设法的优点:若有n个数构成等差数列.利用对 称项设出这个数列,则其各项和为na.

思考
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会 成为一个等差数列: (1)2 ,( 3 ) , 4 (2)-12,( -6 ) ,0

( 3 ) a, ( a?b ) , b 2 如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, 那么A叫做a与b的等差中项。

a?b A? 2

an ?1

an ? an ? 2 ? 2

例3 已知数列?an ?的通项公式为an ? pn ? q 其中 p, q 为常数,那么这个数列一定是等差 数列吗?若是,首项与公差分别是什么?
1 1 1 例4:已知 , , 成等差数列,证明:

a b c b ?c ?a a ?c ?b a ?b ?c , , 成等差数列。 a b c

思考:在等差数列{an}中,已知项数m,n,p成等差数列, 试问:am,an,ap是否也组成等差数列?
1.

2. 3.

构造数列

?an ?中,a1 ? 3, 已知数列

1

an

?

1

an ?1

? 5 (n ? 2),求an .

复习巩固 1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,-3a-5,-10a-1, 则 a 等于( ) A. 1 B. -1

提示: (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 ) 提示: d=an+1- an=-4

1 C.3

5 D. 11

2. 在数列{an}中a1=1,an= an+1+4,则a10= -35 . 3. 在等差数列{an}中a1=83,a4=98,则这个数列有 多少项在300到500之间? 40

2 2 提示: 300< 83+5×(n-1)<500? 44 ? n ? 84 5 5
n=45,46,…,84

1.已知a、b、c的倒数成等差数列,如果a、b、c 4. 互不相等,则 a ? b 为 ( C) b?c a c a b A. a B. b C. c D. c 5.已知等差数列{an}的公差d=1,且a1+a2+a3+· · · +a98=137 ,那么a2+a4+a6+· · · +a98的值等于 (C ) A.97 B.95 C.93 D.91

自我反馈: (1)在?ABC中,A、B、C成等差数列,求 tan(A ? C ) 的值 (2)在 ? 1与7之间依次插入三个数,使这五个数 成等差数列,求此数列。 (3)在等差数列中a3 ? 5,a5 ? 9,求a10的值 (4)在等差数列中,a15 ? 33,a25 ? 66,求a35的值

( 5 ) 等差数列 {an} 中, a1=5 , a9=107 , a27+a34+a64+a71 =______
(6) 若 lg 2、 lg(2x ? 1) 、 lg(2x ? 3) 成等差数列,求x

(7)若a ? b ,且a ,x 1 ,x 2 ,? ,x m ,b和a ,y 1 ,y 2 ,? ,y n ,b都是

(8)已知等差数列 ?an ? ,满足a3 ? a7 ? ?12,a4 ? a6 ? ?4 求数列 ?an ? 的通项公式. (9) 四个数成等差数列,其中四个数的平方和为94, 第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数 的积少18,求这四个数。

x 2 ? x1 等差数列,试用m、n的值表示 之值。 y 2 ? y1

4 某市出租车的计价标准为1.2元/千米,起步价为10 元,即最初的4千米(不含4千米)计费10元。如果某 人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地,且一路 畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?
解: 根据题意,当该市的出租车的行程大于或等 于4千米时,每增加1千米,乘客需要支付1.2元。所 以,我们可以建立一个等差数列 {an }来计算车费。

令 a1 ? 11.2,表示4千米处的车费,公差d=1.2,那 么,当出租车行至14千米处时,n=11,此时需要支付 车费

a11 ? 11.2 ? (11? 1) ?1.2 ? 23.2(元)
答:需要支付车费23.2元。

小结:
1. 通过本节学习,首先要理解与掌握等 差数列的定义 2.要会推导等差数列的通项公式,并掌握 其基本应用.
已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,求a5;

当p不为零时,等差数列的图象是直线y=px+q 上的均匀排开的一群孤立的点。
当p是零时,等差数列的图象是平行于x轴的直 线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点。

结论:如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次函数, 那么这个数列一定是等差数列 an=pn+q的图像其实就是一次函数y=3x-5当x在正整数范围 内取值时相应的点的集合,斜率p是等差数列的公差

等差数列的性质1
1. {an}为等差数列 ? ? an= a1+(n-1) d an+1- an=d ? an+1=an+d

? an= kn + b (k、b为常数)
b为a、c 的等差中项AA

2. a、b、c成等差数列 ? ?
a?c b? 2

?

2b= a+c
an ? am n?m

【说明】 3.更一般的情形,an=

am+(n - m) d ,d= am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中,由 m+n=p+q
上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项,如a1+a2=a3 成立吗?

1.成等差数列的四个数之和为26,第二数 和第三数之积为40,求这四个数
解:设四个数为

a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d

? ? 3d ) ? (a ? d ) ? (a ? d ) ? (a ? 3d ) ? 26 ( a 则: ? ? (a ? d )(a ? d ) ? 40

13 由①: a ? 代入②得: 2

3 d ?± 2

∴ 四个数为2,5,8,11 或 11,8,5,2.


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