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高中数学必修四导学案:2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【学习目标】 1.掌握平面向量数量积运算规律; 能利用数量积的性质解决有关问题; 2.掌握向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,能解决一些简单问题. 【知识梳理】 知识回顾: 1.两个向量的数量积的性质: 设 a 与 b 为两个非零向量. (1)、 a ? b ? a ? b = (2)、 当 a 与 b 同向时, a ? b = 当 a 与 b 反向时, a ? b = 特别的: a ? a =_____或 | a | ? a ? a , | a ? b | ≤ | a || b |, cos? =________ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 新知探究: 已知非零向量 a ? ( x1, y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,怎样用 a 和 b 的坐标表示 a ? b ? 1、 平面两向量数量积的坐标表示: ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b= 即 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2. 平面内两点间的距离公式 (1)设 a ? ( x, y) , ? -1- 则 | a |2 ? ? 或 | a |? ? . (2) 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) , 那么 ? ? | a |? (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定:设 a ? ( x1, y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? ? ? ? ? 4.两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) ? ? a ?b cos? = ? ? = | a || b | 思考感悟: 向量不能比较大小,也不能与数 0 比较大小,但能否有 a ? b >0(<0)? ? ? 对点练习: -2- → → → → 1.已知 a =(—3,4), b =(5,2), 则 a · b 等于( A. —14 C. 7 B. —7 D. 8 ) → → → → → → 2.已知 a =(—3,4), b =(5,2), c =(1,—1), 则( a · b )· c 等于 ( A. —14 C. (7,—7) B. —7 D. (—7,7) ) → 3.已知 A(—1,1),B(1,2), 则|AB|等于 A. 5 B. ( ) 5 C. —1 D. 7 → → → → 4. 已知 a =(3,4), b =(5,12), 则 a , b 夹角的余弦为( A. C. 63 65 13 5 B. D. 65 13 ) 【合作探究】 典例精析: 例 1.已知向量 a ? (4,3) , b ? (?2,1) ; (1)求 | a | , | b | ; -3- (2)求 a ? b 的值; (3)求 (a ? 2b) ? (a ? b) 的值; 变式 1:已知向量 a ? (4,3) , b ? (?2,1) ; (1)求向量 a ? b 与 a ? b 的夹角 ? ; (2)若向量 a ? ? b 与 2a ? b 垂直,求 ? 的值; -4- 例 2.设 a = (5,?7), b = (?6,?4),求 a · b 及 a 、 b 间的夹角 θ 的余弦值。 ? ? ? ? ? ? -5- 变式 2

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