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湖南省益阳市箴言中学2015-2016学年高二上学期期中考试 数学(文)


益阳市箴言中学 2015—2016 学年高二期中考试

文科数学试题
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 若 a、b、c ? R, a ? b ,则下列不等式成立的是( ) A、 ?
1 a 1 b

B、 a 2 ? b 2

C、 )

a b ? 2 c ?1 c ?1
2

D、 a | c |? b | c | .

π 1 2. “α=6”是“cos2α=2”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3. 已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , 则它的前 10 项的和 S10 ? ( a3 ? a5 ? 10 , A. 138 B. 135 C. 95 ) D. 23
x2 y2 4. 双曲线 2 ? ? 1 的焦距是( m ? 12 4 ? m2

A.8

D.与 m 有关 31 5. 在 ?ABC 中,若 a ? 10,b ? 8且cos( A ? B) ? , 则 ?ABC 的面积是( 32 A.
5

B.4

C. 2 2


13 7 4

B.

41

C.

15 7 4

D. )

6. 焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线的标准方程为( A. y 2 ? 16x 或 x2 ? ?12 y B. y 2 ? 16x 或 x2 ? 16 y C. y 2 ? 16x 或 x2 ? 12 y D. y2 ? ?12x 或 x2 ? 16 y

7.在△ A B C 中,若 sin C ? sin( B ? A) ? sin 2 A ,则△ A B C 的形状为( A. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 B. 直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 )



8.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 3n ? 2n ? 1 ,则 an =(

n ?1 ?6, A. an ? ? n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2
C. an ? 2 ? 3n?1 ? 2

B. an ? 2 ? 3n?1

n ?1 ?6, D. an ? ? [来] n ?1 ?2 ? 3 ? 2, n ? 2

9. 在下列函数中,最小值等于 2 的函数是( ) π? 1 1 ? A.y=x+ x B.y=cosx+cosx?0<x<2? ? ?

x2+3 C.y= 2 x +2

D.y=ex+4e x-2


?y+x-1≤0, 10.已知变量 x,y 满足约束条件?y-3x-1≤0, ?y-x+1≥0,

则 z=2x+y 的最大值为(

)

A.4 B.2 C.1 D.-4 2 11. 已知命题 p:关于 x 的函数 y=x -3ax+4 在[1,+∞)上是增函数,命题 q: 函数 y=(2a-1)x 为减函数,若“p 且 q”为真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A. (-∞, ] 1) 12. 已知实数 x、y 满足 x2+y2=4,则 A. 2 ? 2 2 B. 2 2 ? 2
2 xy 的最小值为( x? y?2

B. (0, )

C. (

, ]

D. (



) D. ? 2 ? 2 2

C. 2 ? 2 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 13. 14. 已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 连线的夹角为直角,则 49 24

PF1· PF2 ?



x2 y2 15. 过椭圆 2+ 2=1(0<b<a)中心的直线与椭圆交于 A、 B 两点, 右焦点为 F2(c,0), a b
则△ABF2 的最大面积是______. 16. 已知数列{an}满足 a1=2,an+1=3an+2(n∈N*),bn=nan,则数列{bn}的前 n 项和 Tn 为 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤) 17 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且

a1a2 ? 2, a3a4 ? 32, 求数列 ?an ? 的通项公式.

18. (本小题满分 10 分)如果不等式 数 m 的取值范围。

2x2+2mx+m <1 对一切实数 x 均成立,求实 4x2+6x+3

19. (本小题满分 12 分)直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标等于 2,求弦 AB 的长.

20.(本小题满分 12 分)已知命题 p:lg(x2-2x-2)≥0;命题 q:0<x<4.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求实数 x 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 1 b 、 c ,若 cos B cos C ? sin B sin C ? . 2 (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

22. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一 1 2 5 个顶点恰好是抛物线 y=4x2 的焦点,离心率为 5 . (1)求椭圆 C 的标准方程; → (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M,若MA → ,MB → =nFB → ,求 m+n 的值. =mFA

数学(文科)参考答案 题号 答案 一、 1 C 2 A 3 C 4 A 5 C 6 A 7 D 8 D 9 D 10 B 11 C 12 A

选择题:

二、填空题: 13. 15. bc 14.48 16.
( 2n ? 1 n ?1 3 n(n ? 1) )?3 ? ? 4 4 2

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤) 17 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且

a1a2 ? 2, a3a4 ? 32,
求数列 ?an ? 的通项公式.
2 ? ?a q ? 2 解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,由已知得 ? 12 5 ? ?a1 q ? 32

?a ? 1 又? a1 ? 0, q ? 0 ,解得 ? 1 ?q ? 2

? an ? 2n?1 ;

3? 3 ? 18. (本小题满分 12 分)∵4x2+6x+3=?2x+2?2+4>0,∴原不等式?2x2+2mx ? ? +m<4x2+6x+3?2x2+(6-2m)x+(3-m)>0,x∈R 恒成立?Δ=(6-2m)2-8(3 -m)<0,∴1<m<3.

即 m 的取值范围是(1,3)
19. (本小题满分 12 分)解: 将 y=kx-2 代入 y2=8x 中变形整理得:k2x2-(4k +8)x+4=0, ?k≠0? 由? ,得 k>-1 且 k≠0. 2 2 ??4k+8? -16k >0 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4k+8 由题意得:x1+x2= k2 =4?k2=k+2?k2-k-2=0.

解得:k=2 或 k=-1(舍去) 由弦长公式得: |AB|= 1+k2· 64k+64 192 = 5× 4 =2 15 k2

20. (本小题满分 12 分)由 lg(x2-2x-2)≥0,得 x2-2x-2≥1, ∴x≥3,或 x≤-1.即 p:x≥3,或 x≤-1. Com] 由 p 且 q 为假,p 或 q 为真知 p,q 一真一假, ?x≥3,或x≤-1, 当 p 真 q 假时,由? ?x≥4,或x≤0, 得 x≥4,或 x≤-1; ?-1<x<3, 当 p 假 q 真时,由? 得 0<x<3, ?0<x<4, ∴实数 x 的取值范围是{x|x≤-1,或 0<x<3,或 x≥4}. 21.解(Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?
1 1 ? cos( B ? C ) ? 2 2

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?

3

? A ? B ? C ? ? ,? A ?

2? . 3

(Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) 2 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? cos
2? 3

1 即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4 2 1 1 3 ? S ?ABC ? bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

x2 y2 22. (本小题满分 12 分)解 (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1 (a>b>0). 抛物线方程可化为 x2=4y,其焦点为(0,1), 则椭圆 C 的一个顶点为(0,1),即 b=1. a2-b2 2 5 c 由 e=a= a2 = 5 . x2 2 2 得 a =5,所以椭圆 C 的标准方程为 5 +y =1. (2)易求出椭圆 C 的右焦点 F(2,0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程

为 x2 y=k(x-2),代入方程 5 +y2=1, 得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0. 20k2-5 20k2 ∴x1+x2= ,x x = . 1+5k2 1 2 1+5k2 → =(x ,y -y ),MB → =(x ,y -y ), 又 MA 1 1 0 2 2 0 → =(x -2,y ),FB → =(x -2,y ). FA
1 1 2 2

→ =mFA → =m, MB → =nFB →, ∵ MA x1 x2 ∴m= ,n= , x1-2 x2-2 2x1x2-2?x1+x2? ∴m+n= , 4-2?x1+x2?+x1x2 40k2-10-40k2 又 2x1x2-2(x1+x2)= 1+5k2 10 =- , 1+5k2 4-2(x1+x2)+x1x2 20k2-5 -1 40k2 =4- , 2+ 2= 1+5k 1+5k 1+5k2 ∴m+n=10.


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