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几何中的最值问题


几何中的最值问题(讲义) 一、知识点睛 几何中最值问题包括: “面积最值”及“线段(和、差)最值”. 求面积的最值,需要将面积表达成函数,借助函数性质结合取值范围求解; 求线段及线段和、差的最值,需要借助“垂线段最短”“两点之间线段最短”及“三角 、 形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法:

线段和(周长)最小 平移 对称 旋转 使点在线异侧

/>(如下图)

线段差最大 平移 对称 旋转 使点在线同侧
(如下图)

线段最大(小)值 转化 构造三角形

使目标线段与定长 线段构成三角形

两点之间,线段最短 垂线段最短
常用定理:

三角形三边关系定理 三点共线时取得最值

两点之间,线段最短(已知两个定点时) 垂线段最短(已知一个定点、一条定直线时) 三角形三边关系(已知两边长固定或其和、差固定时)

B A P B' l

A B' P B l

PA+PB 最小, 需转化,使点在线异侧
二、精讲精练 1.

|PA-PB|最大, 需转化, 使点在线同侧

如图,圆柱形玻璃杯,高为 12cm,底面周长为 18cm,在杯内离杯底 4cm 的点 C 处有一 滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达 蜂蜜的最短距离为______cm.

1

A

蚂蚁 A C 蜂蜜
O

M

P

N

B

第 1 题图 2. 3. 则△PMN 周长的最小值为 .

第 2 题图

如图,点 P 是∠AOB 内一定点, M、 分别在边 OA、 上运动, 点 N OB 若∠AOB=45°, =3 2 , OP 如图,正方形 ABCD 的边长是 4,∠DAC 的平分线交 DC 于点 E,若点 P,Q 分别是 AD 和

AE 上的动点,则 DQ+PQ 的最小值为

.

A

P Q

D E

A K Q

D

B
第 3 题图 4.

C

B

P
第 4 题图

C

如图,在菱形 ABCD 中,AB=2,∠A=120°,点 P、Q、K 分别为线段 BC、CD、BD 上的任 意一点,则 PK+QK 的最小值为 .

5.

如图,当四边形 PABN 的周长最小时,a=



y
y

B
P(a,0) N(a+2,0) O B(4,-1) x

C

D

A(1,-3)
第 5 题图

O

E

F A

x

第 6 题图
2

6.

在平面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的 正半轴上,OA=3,OB=4,D 为边 OB 的中点. 若 E、F 为边 OA 上的两个动点,且 EF=2, 当四边形 CDEF 的周长最小时,则点 F 的坐标为 . 如图, 两点 A、 在直线 MN 外的同侧,A 到 MN 的距离 AC=8,B 到 MN 的距离 BD=5,CD=4, B

7.

P 在直线 MN 上运动,则 PA ? PB 的最大值等于



A B

y A

O
M D
第 7 题图 8.

P

C

N
第 8 题图

B

x

点 A、B 均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图 所示.若 P 是 x 轴上使得 PA ? PB 的值最大的点,Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的 点,则 OP ? OQ = .

9.

如图,在△ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,P 为边 BC 上一动点,PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于

F,M 为 EF 中点,则 AM 的最小值为_________.

C

A F E B M P
第 9 题图

D

C

A
第 10 题图

P

B

10. 如图,已知 AB=10,P 是线段 AB 上任意一点,在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边 △APC 和等边△BPD,则 CD 长度的最小值为 . 11. 如图,点 P 在第一象限,△ABP 是边长为 2 的等边三角形,当点 A 在 x 轴的正半轴上运 动时, B 随之在 y 轴的正半轴上运动, 点 运动过程中, P 到原点的最大距离是________. 点 若将△ABP 中边 PA 的长度改为 2 2 ,另两边长度不变,则点 P 到原点的最大距离变为 _________.

3

y B P
B P A' C

O

A
第 11 题图

x

A
第 12 题图

Q

D

12. 动手操作:在矩形纸片 ABCD 中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点 A 落在 BC 边 上的 A′处,折痕为 PQ,当点 A′在 BC 边上移动时,折痕的端点 P、Q 也随之移动.若 限定点 P、 分别在 AB、 边上移动, Q AD 则点 A′在 BC 边上可移动的最大距离为 .

13. 如图,直角梯形纸片 ABCD,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,点 E、F 分别在线段 AB、AD 上, 将△AEF 沿 EF 翻折,点 A 的落点记为 P. (1)当 P 落在线段 CD 上时,PD 的取值范围为 (2)当 P 落在直角梯形 ABCD 内部时,PD 的最小值等于 ; .

D F

P

C

A

E

B
D C

D F P

C

A

E

B

A

B

14. 在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC=4,M、N 两点分别是边 AB、AC 上的动点,将△AMN 沿 MN 翻折,A 点的对应点为 A′,连接 BA′,则 BA′的最小值是_________.

4

A M A' B C
几何中的最值问题(作业) 1. 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=6,对角线 AC 平分∠BAD,点 E 在 AB 上,且 AE=2(AE<AD) ,点 P 是 AC 上的动点,则 PE+PB 的最小值是__________.

N

D P

C

A P

D

A

E

B

B

Q

C

第 1 题图 第 2 题图 2. 在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中,点 Q 为 BC 边的中点,点 P 为对角线 AC 上一动点,连接

PB、PQ,则△PBQ 周长的最小值为____________cm(结果不取近似值). 3. 如图,一副三角板拼在一起,O 为 AD 的中点,AB=a.将 △ABO 沿 BO 对折于△A′BO,点 M 为 BC 上一动点,则 A′M 的最小值为



A
60°

C
O
45°

B A' M C
第 3 题图

D

M A N

D

B

第 4 题图

4. 如图,在锐角△ABC 中, AB ? 4 2 ,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,点 M,

N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值为___________.

5. 在 Rt△ACB 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,P、Q 两点分别是边 AC、BC 上的动点,将△

PCQ 沿 PQ 翻折,C 点的对应点为 C' ,连接 A C' ,则 A C' 的最小值是_________.

5

y

A C' P C Q B
O C

B

A

x

第 5 题图 第 6 题图 6. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2,点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上,当点 A 在 x 轴上运动时, C 随之在 y 轴上运动, 点 在运动过程中, B 到原点的最大距离是 点 7. 一次函数 y1=kx-2 与反比例函数 y2= 点,其中点 A 的坐标为(-6,2) (1)求 m,k 的值; (2)点 P 为 y 轴上的一个动点,当点 P 在什么位置时|PA-PB| 的值最大?并求出最大值. .

m x

错误!未找到引用源。 m<0)的图象交于 A,B 两 (

y

A O B x

8. 已知点 A(3,4) ,点 B 为直线 x=-1 上的动点,设 B(-1,y) . (1)如图 1,若点 C(x,0)且-1<x<3,BC⊥AC,求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如图 2,当点 B 的坐标为(-1,1)时,在 x 轴上另取两点 E,F,且 EF=1.线段 EF 在 x 轴上平移, 线段 EF 平移至何处时, 四边形 ABEF 的周长最小?求出此时点 E 的坐标.

6

y A

y A

B D O x=-1
图1

B(-1,1)
C x

D O x=-1
图2

E

F

x

9. 如图,已知平面直角坐标系中 A,B 两点的坐标分别为 A(2,-3) B(4,-1). , (1)若 P(p,0)是 x 轴上的一个动点,则当 p=________时,△PAB 的周长最短; (2)若 C(a,0) D(a+3,0)是 x 轴上的两个动点,则当 a=________时,四边形 ABDC , 的周长最短; (3)设 M,N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点,请问:是否存在这样的点 M(m,0) N(0,n) , , 使四边形 ABMN 的周长最短?若存在,请写出 m 和 n 的值;若不存在,请说明理由.

7

y

y

y

O A (1)

x B

O A (2)

x B

O A (3)

x B

中考数学几何中的最值问题综合测试卷 一、单选题(共 7 道,每道 10 分) 1.如图,圆柱形玻璃杯,高为 12cm,底面周长为 18cm,在杯内离杯底 5cm 的点 C 处有一滴蜂蜜, 此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿 5cm 与蜂蜜相对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离

为()cm A. B.15 C. D.12

2.如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,E 为 CD 边的中点,P 为 BC 边上的任一点,那么,AP+EP 的

最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6

8

3.如图,在锐角△ABC 中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,点 M,N 分别是 AD 和 AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值为( ) A. B. C.6 D.3

4.如图,当四边形 PABN 的周长最小时,a=().

A.

B.

C.

D.

5.如图所示,已知 A(

,y1),B(2,y2)为反比例函数 y=

图象上的两点,动点 P(x,0)在 x 轴正

半 轴 上 运 动 , 当 线 段 AP 与 线 段 BP 之 差 达 到 最 大 时 , 点 P 的 坐 标 是

(

)

9

A.

B.(1,0)

C.

D.

6.如图,△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P 为边 AB 上一动点,且 PE⊥AC 于点

E,PF⊥BC 于点 F,则线段 EF 长度的最小值是()

A.

B.

C.

D.

7.如图,正方形 ABCD 边长为 2,当点 A 在 x 轴上运动时,点 D 随之在 y 轴上运动,在运动过程

中,点 B 到原点 O 的最大距离为() A. B. C. D.

10


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