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分式不等式的解法


第一轮复习:不等式
—— 解分 式 不等式

秭归县屈原高中 张鸿斌

复 习 指 导 解分式不等式的关键就 是如何等价转化(化归) 所给不等式!

例1:解不等式

x ?1 ?1 2x ?1

x ?1 ? x?2 x?2 x ?1 ?1 ? 0 ? ?0? ?0

解: ?1 ? 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2x ?1
? ? ?? x ?2 ? 0 ?? x ?2 ? 0 ?? 或? 1 >0 ?0 2x ?1< 0 ?2x ?1<0 ?

?( x ? 2)( 2 x ? 1) ? 0 ?? ?2 x ? 1 ? 0

所以原不等式的解集为:

1 {x | x ? ? 或x ? ?2} 2

例1 :解不等式

1 解:当2 x ? 1 ? 0,即x ? ? 时 2 原不等式可化为x ? 1 ? 2 x ? 1 1 则x ? ?2 ? x ? ? 2 此时, 1 当2 x ? 1 < 0,即x < ? 时 x>-1/2与 X≥-2与X>-1/2 2 x≤-2是什 是什么关系呢? 么关系呢? 原不等式可化为x ? 1 ? 2 x ? 1 则x ? ?2
所以原不等式的解集为 1 {x | x ? ? 或x ? ?2} 2

x ?1 ?1 2x ?1

?x ? ?2

Ⅰ. 解分式不等式重要的是等价转化,尤其是含“≥”或“≤”转换。

? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ?0?? ?? 或? g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) < 0 ? g ( x) ? 0
? f ( x) ? 0 ? f ( x) < 0 f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? ? 或? g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) < 0

求解分式不等式时每一步的变换必须都是等价变

换!

练一练:
1.

7x ? 3 ?5 2 x ?1

2.

x?3 ?0 3 ? 2x

例2:解不等式 解:
2
2

x ? 3x ? 2 <0 2 x ? 2x ? 3
2
(1) 2 ( 2)

? x ? 3x ? 2 < 0 ? x ? 3x ? 2 ? 0 x ? 3x ? 2 ? ? 或? 2 <0 ? 2 ? 2 ?x ? 2x ? 3 ? 0 ?x ? 2x ? 3 < 0 x ? 2x ? 3 ? ?

{x | ?1 < x < 1或2 < x < 3}
由此可知,原不等式的解集是

不等式组(1)的解集是 不等式组(2)的解集是

?

原不等式的解 以下过程同 集就是上面的 学来完成 两个不等式组 的解集的并集

{x | ?1 < x < 1或2 < x < 3}

例2:解不等式
2

x ? 3x ? 2 <0 2 x ? 2x ? 3
2

( x ? 1)( x ? 2) x ? 3x ? 2 <0 解: 2 < 0? ( x ? 1)( x ? 3) x ? 2x ? 3
? ( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) < 0
+
-1
o

-

1

o

+

o

2

-

o

3

+

由序轴标根法可得原不等式的解集为:

{x | ?1 < x < 1或2 < x < 3}

Ⅱ.分式不等式等价变形后,如果是高次不等式,应结合序轴标 根法求解!注意点: (1)x的系数必须是正数; (2)分清空实点; (3)奇穿偶不穿。

(? x ? 1)( x ? 2) (1) : <0 2x ?1 ( x ? 1)( x ? 2) (2) : ?0 2x ?1
( x ? 1) ( x ? 2) (3) : 2x ?1
2 3

?0

3x ? 5 练一练: 2 ?2 x ? 2x ? 3 3x ? 5 3x ? 5 解: ?2 ? 2 ?2?0 2 x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3

( 2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x2 ? x ?1 ?0 ? 2 ?0 ? ( x ? 3)( x ? 1) x ? 2x ? 3

?( 2 x ? 1)( x ? 1)( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ?? ?( x ? 3)( x ? 1) ? 0
+
-3
o

-

-1

+

1/2

-

1

o

+

1 所以原不等式的解集为: x | ?3 < x ? ?1或 ? x < 1 { } 2

x?a <0 例3:解关于x的不等式: 2 x?a
解:原不等式可变为:(x-a)(x-a2)<0

( a ? R)

(1)当a2>a,即:a>1或a<0时,解集为:{x|a<x<a2} (2)当a2=a即:a=0或a=1时,解集为:x∈φ (3)当a2<a即:0<a<1时,解集为:{x|a2<x<a} 综上:(1) 当a>1或a<0时, 原不等式解集为:{x|a<x<a2}} (2)当a=0或a=1时,原不等式解集为:x∈φ (3)当0<a<1时, 原不等式解集为:{x|a2<x<a}

练一练:

a?x ?0 1? x

a ( x ? 1) 例4:解关于x的不等式: ? 1( a ? 1) x?2
移项 通分 解不等式 解: a ( x ? 1) ? 1 ? ( a ? 1) x ? ( 2 ? a ) ? 0 x?2 x?2 ? ( x ? 2)[( a ? 1) x ? 2 ? a ] ? 0

a?2 当a ? 1时有( x ? 2)( x ? )?0 a ?1 a?2 1 此时 ? 1? <2 a ?1 a ?1 a?2 } ∴原不等式解集为:{x | x ? 2或x <
1o

a ?1

a ( x ? 1) ? 1( a ? 1) 例4:解关于x的不等式: x?2
解: ( x ? 2)[( a ? 1) x ? 2 ? a] ? 0 a?2 o 当a < 1 时有( x ? 2)( x ? )<0 2 a ?1 a?2 a?2 若 ? 2, 即0 < a < 1时, 解集为: {x | 2 < x < } a ?1
a?2 若 ? 2, 即a ? 0时, 解集为: a ?1

?

a ?1

a?2 a?2 < x < 2} 若 < 2, 即a < 0时, 解集为: {x | a ?1 a ?1

a?2 { } 综上:(1)当a>1时,原不等式的解集为: x | x ? 2或x < a ?1
a?2 { } (2)当0<a<1时,原不等式的解集为: x | 2 < x < a ?1

(3)当a=0时,原不等式的解集为:

?

小结:

a?2 < x < 2} (4)当a<0时,原不等式解集为: {x | a ?1

1.本题对 a实施了两次讨论,第一次就“a>1,a<1” 分类 讨论,第二次在“a<1”的前提下,又就与2的关系进行分 类讨论。 2.解含字母的分式不等式:
①必须分清对字母分类讨论的依据

②字母取不同范围的数得到不同的解集都必须全部写出来。

练一练:

ax ?1 x?2

课堂小结
1、主要的数学思想:等价转化、分类讨论 2、分式不等式的主要类型及其等价转化:
? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ?0?? ?? 或? g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) < 0 ? g ( x) ? 0
? f ( x) ? 0 ? f ( x) < 0 f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? ? 或? g ( x) ? g ( x) ? 0 ? g ( x) < 0

3、运用“序轴标根法”解分式不等式时的注意点: (1)x的系数必须是正数(2)分清空 实点(3)奇穿偶不穿。

4、解含有字母的分式不等式必须分清:
必须分清对字母分类讨论的依据;最后要下结论。

再 见

作 业:
1、解关于x的不等式: 3x ? 5 3x x ?3 ⑴ ?2 ?1 ⑶ 2 ?3 ⑵ x ? 2x ? 3 2? x x2 ?1 x 1 ?a ⑷ 0 < x ? <1 ⑸ x?2 x

( x ? a )( x ? b) 2、已知关于x的不等式 ?0 x?c 的解为 ? 1 ? x < 2或x ? 3, 求不等式 x?c ? 0的解集。 ( x ? a )( x ? b)


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