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函数与导数的综合问题测试题


函数与导数的综合问题测试题 A组
一.选择题 1.设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? A. e2 B. ln 2 C.

ln 2 2

D.

e

2.下列同时满足条件①是奇函数;②在 ?0,1? 上是增函数;③在 ?0,1? 上

最小值为 0 的函数是 A. y ? x5 ? 5x B. y ? sin x ? 2 x
3

C. y ?

1 ? 2x 1 ? 2x

D. y ?

x ?1

3. 设点 P 是曲线 y ? x ? 3 x ? 围是 A. [ ? , ? )

2 上的任意一点, P 点处的切线的倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范 3
C. [0,

2 3

B. (

? 5

, ?] 2 6

?

5 ) [ ? ,? ) 2 6

D. [0,

?

2 ) [ ? ,? ) 2 3

4.已知 f(x)=ax-2, g ( x) ? loga | x | (a>0 且 a≠1),若 f(4)·g(-4)<0,则 y=f(x),y=g(x)在同一坐标系 内的大致图象是

5.若 a ?

? ? sin xdx , b ? ?
2

2

1 0

cos xdx ,则 a 与 b 的关系是
C. a ? b 为增函数,且函数 D. a ? b ? 0

A. a ? b

B. a ? b

6.已知定义域为 R 的函数 成立的是 (A)

f ? x ? 在? 2, ??? f ? 0? ? f ? 2?

y ? f ? x ? 2?

为偶函数,则下列结论不

f ? 0? ? f ?1?

(B)

(C)

f ?1? ? f ?3?

(D)

f ?1? ? f ? 2?

二.填空题 7 . 设函数 f ?x ? ? 是 .

3 sin ? 3 cos? 2 ? 5? ? x ? x ? 4 x ? 1 ,其中 ? ? ?0, ? ,则导数 f ??? 1? 的取值范围 3 2 ? 6?

?log2 x ( x ? 0) 8. 已知函数 f ( x) ? ? x , 且关于 x 的方程 f ( x) ? x ? a ? 0 有且只有一个实根, 则实数 a 的 ( x ? 0) ?3

范围是 三.解答题



1

9.已知函数 f ( x) ? m ln(1 ? x) ?

1 2 x (m ? R) ,满足 f ?(0) ? 1. 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若关于 x 的方程 f ( x ) ? ?

3 2 x ? x ? c 在[0,2]恰有两个不同的实根,求实数 c 的取值范围。 4

10.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x(a, b ? R) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y ? 2 ? 0 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若对于区间 [?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ≤ c ,求实数 c 的 最小值。 (3)如果点 M (2, m) ( m ≠2)可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围。

B组
1.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? c ,其导函数图象如图所示,则函数 f ( x) 的极小值是 A. a ? b ? c B. 8a ? 4b ? c C. 3a ? 2b D. c 2.已知函数 f ? x ? ? ? A. ?1, 2 ?

? ?? a ? 2 ? x ? 1, x≤1, 若 f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递增,则实数 a 的取值范围为 log x , x ? 1. ? ? a
B.

? 2,3?

C.

? 2,3?

D.

? 2, ???

3.由曲线 y ? 3 ? x 2 和直线 y ? 2 x 所围成的面积为 A.

86 3

B.
x

32 3

C.

16 3

D.

14 3

4.已知函数 f ( x) ? 2 ?1 ,对于满足 0 ? x1 ? x2 ? 2 的任意 x1 , x2 ,给出下列结论: ( 1 ) ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 )? ? 0 ; ( 2 ) x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; ( 3 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; ( 4)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) ,其中正确结论的序号是 2 2
A. (1)(2) B. (1)(3) C. (2)(4) D. (3)(4) 5.已知函数 f ( x ) ? sin( (A)向左平移 (C)向左平移

?
3

? x) ,则要得到其导函数 y ? f ' ( x) 的图象,只需将函数 y ? f ( x) 的图象
(B)向右平移 (D)向右平移
x

? 个单位 2

2? 个单位 3

? 个单位 2

2? 个单位 3

6.过原点的直线与函数 y ? 2 的图像交于 A, B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交于函数 y ? 4 的图像于
x

2

点 C ,若直线 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是 C. ( , 2 )

A. (1,2) 二.填空题

B. ( 2,4)

1 2

D. (0,1)

7.若函数 f ( x) ? 2 x2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则实数 k 的 取值范围是 8.已知 f ( x) ? 1 ? log2 x (1 ? x ? 4) . 则 g ( x) ? f ( x 2 ) 的最大值为 三.解答题 9. 已知函数 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? bx ? c 在 ? ??,0? 上是减函数, 在 ? 0,1? 上是增函数, 函数 f ? x ? 在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点. (1)求 b 的值; (2)求 f ? 2 ? 的取值范围; (3)试探究直线 y ? x ? 1 与函数 y ? f ? x ? 的图像交点个数的情况,并说明理由. 10.已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

a ? ln x ? 1 , g( x) ? ? ln x ?1? ex ? x (其中 e 为自然对数的底数) . x

(1)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0, e? 上的最小值; (2)是否存在实数 x0 ? ? 0, e? ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直? 若存在,求出

x0 的值;若不存在,请说明理由.

C组
1.要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐(如图) ,设计要求:圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面 半径相等,都为 r 米. 市场上,圆柱侧面用料单价为每平方米 a 元,圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧 面用料单价和圆柱底面用料单价的 4 倍和 2 倍.设圆锥母线和底面所成角为 ?(弧度) , 总费用为 y(元) . (1)写出 ? 的取值范围; (2)将 y 表示成 ? 的函数关系式; (3)当 ? 为何值时,总费用 y 最小?

2. 如图为函数 f ( x) ? x (0 ? x ? 1)的图象, 其在点M (t, f (t ))处的切线为l, l与y 轴和直线 y ? 1 分别交于点 P、Q,点 N(0,1) ,设△ PQN 的面积为 S ? g (t ).

3

(Ⅰ )求 g (t ) 的表达式; (Ⅱ )若 g (t ) 在区间 (m, n) 上单调递增,求 n 的最大值; (Ⅲ )若△ PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个,求 b 的取值范围.

答案 A 组答案
一.选择题 1.D; 点拨: f '( x0 ) ? ln x0 ? 1 ? 2 ,解得: x0 ? e 。 2.B; 点拨:D 不是奇函数,淘汰;C 中函数可化为 y ?

2 ? 1 显然是减函数,不满足②,淘汰; 1 ? 2x

对于 A 中的函数当 x ? 1 时, y ? x5 ? 5x ? 0 ,显然不满足③,淘汰。 3.D; 点拨: P 点处的切线的斜率 k ? 3x ? 3 ? ? 3 且存在,即 tan ? ? ? 3 且存在,结合正切
2

函数的图象可知: ? ? [0,

?

2 ) [ ? ,? ) 。 2 3

4.B; 点拨: g ? x ? 是偶函数,故 f(4)·g(4)<0,即两个函数图象上当 x ? 4 时的函数值是异号的, 淘汰 C、D;当 a ? 1 时, f ? x ? 是增函数,这时 g ? x ? 在 y 轴右侧也应该是增函数,淘汰 A。选 B。 5.A;点拨: a ? ? cos x
2

?
2

? cos

?

? 2? ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? ? cos , ? cos 2 2 3 ?

? ? 1? ? ? ? 0, ? , ? ? 2?

b ? sin x

1 0

? ? ? 2 3? ? ? a ?b。 ? sin1 ? sin 0 ? sin1 ? ? sin ,sin ? ? ? , ? ?, 4 3? ? 2 2 ? ? ?

6.C; 点拨:由 y ? f ? x ? 2? 为偶函数可知其对称轴是 y 轴可知: y ? f ? x ? 的对称轴是 x ? 2 。又

f ? x ? 在 ? 2, ??? 上为增函数,画出草图如右图,易知 A、B、D 都正确, f ?1? ? f ? 3? ,故 C 不正确。
选 C。 二.填空题

, 6?;点拨: f ? ? x ? ? 3 sin ? ? x2 ? cos ? ? x ? 4 , 7. ?3

?? ? 5? ? ? ? f ? ? ?1? ? 3 sin ? ? cos ? ? 4 ? 2sin ?? ? ? ? 4 ,又 ? ? ?0, ? 6? ? ? 6?
?? ?

?

?? ? 1 ? ? ? 2? ? ? 6? ? ? ? , ? , ? sin ? ? ? ? ? ? ? ,1? ,故 f ??? 1? 的取值范围是 ?3, 6 ? 6 3 ? 6? ? 2 ? ?

( 1, ? ?) 8. ;点拨:数形结合。画出函数 f ? x ? 的图象,把关于 x 的方程 f ( x) ? x ? a ? 0 有且只有

4

一个实根,等价转化为函数 f ? x ? 和 y ? ? x ? a 的图象有且只有一个公共点易求。 三.解答题 9.解: (1) f ?( x) ?

m ? x ,∵ f ?(0) ? 1 ,∴ m ? 1 . 1? x

∴ f ?( x) ?

1 ? x ? x2 , x ?1

令 f ?( x) ? 0得x ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 (舍去) 。 或x ? 2 2
∴ f ( x) 在 (-1,

当x? (-1,

?1 ? 5 时, f ?( x) ? 0 , ) 2

?1 ? 5 上是增函数; ) 2

当x? (

?1 ? 5 时, f ?( x) ? 0 , ,+?) 2

∴ f ( x) 在 (

?1 ? 5 上是减函数. ,+?) 2

3 2 1 3 x ? x ? c 即为方程 ln(1 ? x) ? x 2 ? ? x 2 ? x ? c 4 2 4 1 2 即为方程 ln(1 ? x) ? x ? x ? c ? 0 , 4
(2)方程 f ( x) ? ?

1 2 1 1 x2 ? x ? ? x ?1 ? 设 ? ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x ? c , ? ( x) ? 4 1? x 2 2(1 ? x)
当 x ? (?1, 0) 时, ? ?( x) ? 0 ,则 ? ( x) 在 (?1, 0) 上单调递增;

(0,1 ) 当 x? 时, ? ?( x) ? 0 ,则 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减;
当 x ? (1, ??) 时, ? ?( x) ? 0 ,则 ? ( x) 在 (1, ??) 上单调递增; 而 ? (0) ? ?c , ? (1) ? ln 2 ?

3 ? c , ? (2) ? ln 3 ?1 ? c 4

?? (0) ? ?c ? 0, ? 3 3 ? f ( x) ? ? x 2 ? x ? c 在 [0, 2] 恰有两个不同的实根等价于 ?? (1) ? ln 2 ? ? c ? 0, 4 4 ? ? ?? (2) ? ln 3 ? 1 ? c ? 0.
∴实数 c 的取值范围 ln 2 ?
2

3 ?c?0. 4

10.解:⑴ f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 3 . 根据题意,得 ?
3

? ?a ? 1 ? f ?1? ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, 即? 解得 ? ?b ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0, ?3a ? 2b ? 3 ? 0,

所以 f ? x ? ? x ? 3x .

5

⑵令 f ? ? x ? ? 0 ,即 3x2 ? 3 ? 0 .得 x ? ?1 .

x
f '( x)

?2

( ? 2 , ?1 ) +

-1

(-1,1) -

1

(1,2) +

2

f ( x)

-2



极大值



极小值



2

因为 f ? ?1? ? 2 , f ?1? ? ?2 ,所以当 x ? ?2, 2 时, f ? x ?max ? 2 , f ? x ?min ? ?2 . 则对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

?

?

f ? x 1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 4 ,所以 c ? 4 .
所以 c 的最小值为 4. ⑶因为点 M ? 2, m?? m ? 2? 不在曲线 y ? f ? x ? 上,所以可设切点为 ? x0 , y0 ? .
3 则 y0 ? x0 ? 3x0 .

3 x0 ? 3x0 ? m 因为 f ? ? x0 ? ? 3x ? 3 ,所以切线的斜率为 3x ? 3 .则 3x ? 3 = , x0 ? 2

2 0

2 0

2 0

3 2 即 2x0 ? 6x0 ?6?m ? 0.

因为 M ? 2, m?? m ? 2? 过点可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,
3 2 所以方程 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解.

所以函数 g ? x ? ? 2x ? 6x ? 6 ? m 有三个不同的零点.
3 2 2 则 g ? ? x ? ? 6x ? 12x .令 g ? ? x ? ? 0 ,则 x ? 0 或 x ? 2 .

x
g '( x )

(-∞,0) + 增

0

(0,2) -

2

(2,+∞) -

g ( x)
则?

极大值



极小值



? ?6 ? m ? 0 ? g ?0? ? 0 ,即 ? ,解得 ?6 ? m ? 2 . ? 2 ? m ? 0 g 2 ? 2 ? ? ? ? ?

B 组答案
一.选择题答案 1.D;点拨:由图可知函数 f ? x ? 在 ? ??,0? 上单调递减,在 ? 0, 2 ? 上单调递增,在 ? 2, ??? 上单调递

6

减,所以函数的极小值为 f ? 0? ? c 。

?a ? 2 ? 0 ? ?2?a?3 2.C; 点拨: ?a ? 1 ? a ? 2 ?1 ? 1 ? log 1 ? a ??
3 . B ; 点 拨 : 易 求 两 条 曲 线 的 交 点 为 ( 1 , 2 ) 和 ( -3 , -6 ) ,如图,阴影部分的面积是
1

S??

?3

?3 ? x

2

? 1 ? ? 2 x ? dx ? ? ? x3 ? x 2 ? 3x ? ? 3 ?

1 ?3

1 32 ? 2? ?9 ? 3 3

4.C;点拨:画出函数 f ( x) ? 2x ?1 在 ? 0, 2? 上的图象,对照图象

结合 4 个

结论判断:在 ? 0, 2? 上, ( 1 )是说明函数是增函数,正确; ( 4 )是说明函数是上凹的,正确;当 、 (3)都不成立,故(2) 、 (3)不正确。 x1 ? 0, x2 ? 1 时(2) 5.C; 点拨: f ( x) ? sin(

?

?? ? ? x) ? ? sin ? x ? ? , 3 3? ?

? ? ?? ?? ? ?? f ?( x) ? ? cos( ? x) ? ? cos ? x ? ? ? ? sin ? ? x ? ? ,故向左平移 个单位得到的。 2 3 3? 3? ? ?2
6.A; 点拨:由题意设 A x1 , 2 1 , B x2 , 2

?

x

?

?

x2

? ,则 C ? x , 2 ? ,又 C 在函数 y ? 4
1 x2

x

的图像上,故

C ? x1 , 4 x1 ? ,所以 2 x2 ? 4 x1 ,解得: x2 ? 2 x1 ;
设直线方程为 y ? kx ,则 ? A (1,2) 。 二.填空题 7. [1 ,
x ? x2 ?2 1 ? kx1 x2 ? x1 ? 2 ? ? 2 ,即 x2 ? x1 ? 1 ,二式结合可知: x1 ? 1 ,故 x2 x 2 ? kx ? 1 ? 2

3 1 1 ) ;点拨:因为 f ( x) 定义域为 (0, ??) ,又 f ?( x) ? 4 x ? ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . 2 x 2 1 ? 3 ?k ? 1 ? ? k ? 1 据题意, ? ,解得 1 ? k ? . 2 2 ? ?k ? 1 ? 0
2

8.3;点拨: g ( x) ? f ( x2 ) ? 1 ? log2 x2 ,且 1 ? x ? 4 ,

?log2 1 ? log2 x2 ? log2 4 ,即 1 ? 1 ? log2 x2 ? 3 ,即 1 ? g ? x ? ? 3 ,故 g ( x) 的最大值是 3。
三.解答题
7

9. (1)解:∵ f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? bx ? c ,∴ f ? ? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? b . ∵ f ? x ? 在 ? ??,0? 上是减函数,在 ? 0,1? 上是增函数, ∴当 x ? 0 时, f ? x ? 取到极小值,即 f ? ? 0? ? 0 . ∴ b ? 0 . (2)解:由(1)知, f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? c , ∵1 是函数 f ? x ? 的一个零点,即 f ?1? ? 0 ,∴ c ? 1 ? a . ∵ f ? ? x ? ? ?3x2 ? 2ax ? 0 的两个根分别为 x1 ? 0 , x2 ?

2a . 3 2a 3 ? 1 ,即 a ? . 3 2

∵ f ? x ? 在 ? 0,1? 上是增函数,且函数 f ? x ? 在 R 上有三个零点,∴ x2 ? ∴ f ? 2 ? ? ?8 ? 4a ? ?1 ? a ? ? 3a ? 7 ? ?

5 ? 5 ? . 故 f ? 2 ? 的取值范围为 ? ? , ?? ? . 2 ? 2 ? 3 . 2

(3)解:由(2)知 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? 1 ? a ,且 a ?

要讨论直线 y ? x ? 1 与函数 y ? f ? x ? 图像的交点个数情况, 即求方程组 ?

? y ? x ? 1,
3 2 ? y ? ? x ? ax ? 1 ? a

解的个数情况.

3 2 3 2 由 ? x ? ax ? 1 ? a ? x ? 1 ,得 x ? 1 ? a x ? 1 ? ? x ? 1? ? 0 . 2 即 ? x ? 1? x ? x ? 1 ? a ? x ? 1?? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 0 . 2 即 ? x ? 1? ? ? x ? ?1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? ??0.

?

? ?

?

?

?

∴ x ? 1 或 x ? ?1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? 0 .
2

由方程 x ? ?1 ? a ? x ? ? 2 ? a ? ? 0 ,
2
2 得 ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? 2 ? a ? ? a ? 2a ? 7 .∵ a ? 2

(*)

3 , 2

2 若 ? ? 0 ,即 a ? 2a ? 7 ? 0 ,解得

3 ? a ? 2 2 ? 1 .此时方程(*)无实数解. 2

2 若 ? ? 0 ,即 a ? 2a ? 7 ? 0 ,解得 a ? 2 2 ? 1 .此时方程(*)有一个实数解 x ?

2 ?1.

2 若 ? ? 0 , 即 a ? 2a ? 7 ? 0, 解 得 a ? 2 2 ? 1 . 此 时 方 程 ( * ) 有 两 个 实 数 解 , 分 别 为

a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 7 a ? 1 ? a 2 ? 2a ? 7 , x2 ? . x1 ? 2 2
8

且当 a ? 2 时, x1 ? 0 , x2 ? 1 . 综上所述,当

3 ? a ? 2 2 ? 1 时,直线 y ? x ? 1 与函数 y ? f ? x ? 的图像有一个交点. 2

当 a ? 2 2 ? 1 或 a ? 2 时,直线 y ? x ? 1 与函数 y ? f ? x ? 的图像有二个交点. 当 a ? 2 2 ? 1 且 a ? 2 时,直线 y ? x ? 1 与函数 y ? f ? x ? 的图像有三个交点. 10. (1)解:∵ f ( x) ?

a a 1 x?a ? ln x ? 1 ,∴ f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 . x x x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a . ①若 a≤0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递增,此时函数 f ( x ) 无最小值. ②若 0 ? a ? e ,当 x ? ? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上单调递减, 当 x ? ? a, e? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a, e? 上单调递增, 所以当 x ? a 时,函数 f ( x ) 取得最小值 ln a . ③若 a≥e ,则 f ?( x)≤0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递减, 所以当 x ? e 时,函数 f ( x ) 取得最小值

a . e

综上可知,当 a≤0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上无最小值; 当 0 ? a ? e 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 ln a ; 当 a≥e 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 (2)解:∵ g ( x) ? ? ln x ?1? e ? x , x ? ? 0, e? ,
x

a . e

∴ g ?( x) ? ? ln x ? 1?? e x ? ? ln x ? 1? e x

? ?? ?1

?

ex ?1 ? ? ? ln x ? 1? e x ? 1 ? ? ? ln x ? 1? e x ? 1 . x ?x ?
1 ? ln x ? 1 . x 1 ? ln x ? 1≥0 . x

由(1)可知,当 a ? 1 时, f ( x) ?

此时 f ( x ) 在区间 ? 0, e? 上的最小值为 ln1 ? 0 ,即 当 x0 ? ? 0, e? , e
x0

? 0,

1 ? ln x0 ? 1≥0 , x0

9

∴ g ?( x0 ) ? ?

?1 ? ? ln x0 ? 1? e x0 ? 1≥1 ? 0 . ? x0 ?

曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直等价于方程 g ?( x0 ) ? 0 有实数解. 而 g ? ? x0 ? ? 0 ,即方程 g ?( x0 ) ? 0 无实数解. 故不存在 x0 ? ? 0, e? ,使曲线 y ? g ( x) 在点 x ? x0 处的切线与 y 轴垂直.

C 组答案
1.解:设圆锥的高为 h1 米,母线长为 l 米,圆柱的高为 h2 米;圆柱的侧面用料单价为每平方米 2 a 元, 圆锥的侧面用料单价为每平方米 4 a 元. (1) ? ? (0, ).

?

4

(2)圆锥的侧面用料费用为 4a? rl ,圆柱的侧面费用为 2a? rh2 ,圆柱的地面费用为 2a? r 2 , 则 y ? 4a? rl ? 2a? rh2 ? 2a? r 2 = 2a? r (2l ? h2 ? r ) = 2a? r[ = 2a? r[

2r ? 2(r ? h1 ) ? r ] , cos?

2r ? 2(r ? r tan ? ) ? r ] cos? 2 = 2a? r 2 [( ? tan ? ) ? 3] . cos? 2 ? 2sin? ? 1 (3)设 f (? ) ? , ? tan ? ,其中 ? ? (0, ). 则 f ?(? ) ? cos? 4 cos2 ? ? 2sin ? ? 1 当 ? ? 时, f ?(? ) ? ? 0; 6 cos2 ? 2sin ? ? 1 2sin ? ? 1 ? ? ? 当 ? ? (0, ) 时, f ?(? ) ? ? 0; 当 ? ? ( , ) 时, f ?(? ) ? ? 0; 2 cos ? cos2 ? 6 6 4
则当 ? ? 则当 ? ?

?
6

时, f (? ) 取得最小值, 时,费用 y 最小.
1 ?2 1 x ? , M (t , t ), 2 2 x
1

?
6

2.解: (Ⅰ ) f ?( x) ?

∴ 点 M 处的切线方程为 y ? t ?

1 2 t

( x ? t ), ? P(0,

t ), Q(2 t ? t ,1) 2

10

1 1 t t t S?PQN ? ? | PN | ? | QN |? (1 ? )(2 t ? t ) ? t ? ?t 2 2 2 4 t t ? g (t ) ? t ? ? t, 0 ? t ? 1 4 又
(Ⅱ ) g (t ) ? t ?
t t 3 1 ? t ,0 ? t ? 1则g ?(t ) ? t? ?1 , 4 8 2 t

2 由g ?(t ) ? 0得3t ? 8 t ? 4 ? 0, 即 t ? 或 t ? 2(舍) 3 4 ? ? 0 ? t ? 时 g (t )单调递增, ? n的最大值为 9 9
(Ⅲ ) g (t ) ? t ? 则 g ?(t ) ?
t t ? t ,0 ? t ? 1(图像大致如右) 4

3 1 3t ? 8 t ? 4 (3 t ? 2)( t ? 2) t? ?1 ? ? 8 2 t 8 t 8 t
t
g ?(t ) g (t )

4 (0, ) 9

4 9

4 ( ,1) 9

+ 递增

0
4 极大值 f ( ) 9

— 递减

4 8 1 g (0) ? 0, g ( ) ? , g (1) ? 9 27 4

1 8 又 有且仅有两个t , 使得g (t ) ? b(0 ? t ? 1)成立, ? b ? ( , ) 4 27

11


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