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2013年数学国家集训队试题第一天(sxjs2013JXD1)


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第 54 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试一第一天 本资料库内容为对收集自互联网的试题整理,如果侵犯了您的权益,请与整理者或吧务联系。 资料库编号:SXJS2013JXD1 整理者:lylcx__2007 页数:1

1、如图,设四边形 ABCD 内接于圆 ω , AC , BD 交于 点 F ,延长线段 BA, CD

交于点 E ,设 F 在 AB, CD 上 的射影分别为点 G , H ,点 M , N 分别为线段 BC , EF 的 中点,设△ MNG 的外接圆与线段 BF 有唯一交点 P , △ MNH 的外接圆与线段 BF 有唯一交点 P ,△ MNH 的外接圆与线段 CF 有唯一交点 Q . 求证: PQ ⊥ BC .

2、对正整数 n ,定义 f (n ) = min
m∈Z

2?

m ( Z 为整数集) 。设 {ni }是一个严格递增的正整数 n

数列, C 是常数,满足 f (ni ) <

C , i = 1,2,? ni2

证明:存在一个实数 q > 1 ,使得 n ≥ q i ?1对i = 1,2? 成立 .

3、有编号为 1,2, …, n( n ≥ 3) 的小球,用下述染色方式将每个小球染上红、黄、蓝、绿四种 颜色之一:先将 n 个小球任意排列在圆周上,对顺时针方向的任意连续三个小球,设它们的编 号为 i, j , k ,若 i > j > k ,则将 j 号球染为红色;若 i < j < k ,则将 j 号球染为黄色;若

i < j , k < j ,则将 j 号球染为蓝色,若 i > j , k > j ,则将 j 号球染为绿色。 n 个小球的两个
染色方式称为不同的,若至少有一个小球,它在两个染色方式中被染上不同的颜色。 求所有不同的染色方式数.


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