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2015全国卷2数学试卷及答案(理科)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国卷Ⅱ) 绝密★启封并使用完毕前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国卷Ⅱ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 (1

) 已知集合 A ? ?? 2, ?1 , 0, 2? , B ? ?x ( x ?1)(x ? 2) ? 0?,则 A∩B= (A){--1,0} (B){0,1} (C){-1,0,1} (D){,0,,1,2}

(2)若 a 为实数且 (2 ? ai) (a ? 2i) ? ?4i ,则 a= (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以 下结论不正确的是

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 = (A)21 (B)42 (C)63 (D)84

?1 ? log2 (2 ? x), x ? 1 (5)设函数 f ( x) ? ? x ?1 ,则 f (?2) ? f (log2 12) ? x ?1 ?2 , (A)3 (B)6 (C)9 (D)12
(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积 与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 8 5 7 6 (7)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,则 MN =

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(A)2 6

(B)8

(C)4 6

(D)10

(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。 执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a= A.0 B.2 C.4 D.14 (9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π (10)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,∠BOP=x。将动点 P 到 AB 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 f(x) 的图像大致为

(11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为等腰三角形,且顶 角为 120° ,则 E 的离心率为 (A) 5 (B)2 (C) 3 (D) 2

(12)设函数 f’(x)是奇函数 f ( x)(x ? R) 的导函数, f (-1) =0, 当 x>0 时,xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是 (? ?,?1 ) ? (0,1) (B)(?1,0) ? (1,??) (C) (? ?,?1 ) ? (?1,0) (D) (0,1 ) ? (1,??) (A)

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个试题考生都必 须作答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。
二、填空题 (13)设向量 a,b 不平行,向量 ? a ? b a ? 2 b 与 a ? 2 b ,则实数 ? ?
? ?? ?
? ?

?x ? y ? 1 ? 0 ? (14)若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为____________. ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
(15) (a ? x)(1 ? x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 α=__________.
4

(16)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 α1=-1,αn+1=SnSn+1,则 Sn=___________________________.

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三.解答题 (17)?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠ BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。 (Ⅰ )求

sin B 2 ;(Ⅱ ) 若AD ? 1 ,DC ? ,求BD和AC的长。 sin C 2

(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产 品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平 均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); (Ⅱ )根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相 互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国卷Ⅱ) 19.(12 分) 如图, 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 AB=16, BC=10, AA1=8, 点 E, F 分别在 A1B1 , C1 D1 上, A1E ? D1F 。 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ )在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ )求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值

20. 已知椭圆 C: 9 x 2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) 错误!未找到引用源。,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标 轴, l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ )证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

( (Ⅱ )若 l 过点

m , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否平行四边行?若能,求此 3

时 l 的斜率,若不能,说明理由.

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国卷Ⅱ) 21.设函数 f(x)=emx+x2-mx. (Ⅰ )证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ )若对于任意 x 1, x2∈ [-1,1],都有|f(x1)- f(x2)|≤e-1,求 m 的取值范围

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与 ABC 的底边 BC 交于 M、N 两点与底边上的高 AD 交 于点 G,且与 AB、AC 分别相切于 E、F 两点. (1)证明:EF 平行于 BC (2)若 AG 等于圆 O 的半径,且 AE=MN= ,求四边形 EBCF 的面积。

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2015 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国卷Ⅱ) (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 (23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ?

? x ? t cos? ,在以 O 为极点, (t为参数,t ? 0), 其中0 ? ? ? ?, ? y ? t sin ?

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2 sin ? ,曲线 C3:? ? 2 3 cos? , (1)求 C2 与 C1 交点的直角坐标 (2)若 C2 与 C1 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 的最大值

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设 a、b、c、d 均为正数,且 a+b=c+d,证明: (1) 若ab ? cd, 则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d .

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