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立体几何练习题及答案


数学立体几何练习题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上 的点,A1M=AN= A.相交 2a ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( 3 C.垂直 D.不能确定 )

B.平行

2. 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 使平面 ABD⊥平面 CBD, 是 CD 中点, ? A E D E 则 的大小为( ) A. 45 ? B. 30 ? C. 60 ? D. 90 ?

3.PA,PB,PC 是从 P 引出的三条射线,每两条的夹角都是 60? ,则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值为( ) A.
1 2

B。

3 2

C。

3 3

D。

6 3

4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1 与 CC1 的中点,则直线 ED 与 D1F 所成 角的余弦值是 A.
1 5

B。

1 3

C。

1 2

D。

3 2

5. 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC 1 、 AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于( A.
10 5


15 5

B.

2 3

C.

5 5

D.

6.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,A A1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为( A.
3 4



B.

3 2

C.

3 3 4

D. 3

7.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= 2BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为 ( ) A.60? B. 90? C.105? D. 75? 8.设 E,F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点,在正方体的 12 条面对角线中,与截面 A1ECF 成 60° 角的对角线的数目是( ) A.0 B.2 C.4 D.6 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 ???? ????? sin〈 C M , D 1 N 〉的值为_________. D 10.如图,正方体的棱长为 1,C、D 分别是两条棱的中点, A、B、M 是顶点, 那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 . A

C

M B

11.正四棱锥 P-ABCD 的所有棱长都相等,E 为 PC 中点,则直线 AC 与截面 BDE 所成的角 为 . 12.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的中点,则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 . 13.已知边长为 4 2 的正三角形 ABC 中,E、F 分别为 BC 和 AC 的中点,PA⊥面 ABC, 且 PA=2,设平面 ? 过 PF 且与 AE 平行,则 AE 与平面 ? 间的距离为 . 14.棱长都为 2 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠BAD=60° ,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的余弦值为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步 骤. 15.如图,直三棱柱 ABC
? A1 B1 C 1 ,底面 ? ABC

中,CA=CB=1, ?BCA

? 90

?

,棱 AA1 z C1

?2

,M、

N 分别 A1B1、A1A 是的中点. (1) 求 BM 的长; (2) 求 cos ? BA 1 , CB 1 ? 的值; (3) 求证: A1 B ? C 1 N . A1 M

B1 N

C B A

y

x 16.如图,三棱锥 P—ABC 中, PC ? 平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点, 且 CD ? 平面 PAB. (1) 求证:AB ? 平面 PCB; P (2) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; (3)求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值.
D

B

C

A

17.如图所示,已知在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a>0) ,PA⊥平面 AC,且 PA=1. P (1)试建立适当的坐标系,并写出点 P、B、D 的坐标; (2)问当实数 a 在什么范围时,BC 边上能存在点 Q, 使得 PQ⊥QD? (3)当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQ⊥QD 时, 求二面角 Q-PD-A 的余弦值大小. A D B Q C

18. 如图,在底面是棱形的四棱锥 P ? ABCD 中, ? ABC

? 60 , PA ? AC ? a , PB ? PD ?

?

2a

,点 E

P 在 PD 上,且 PE : ED =2:1. (1) 证明 PA ? 平面 ABCD ; (2) 求以 AC 为棱, EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小; (3) 在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF ∥平面 AEC ?证明你的结论. B E A D C

19. 如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G 在 AD 上,且 PG=4, AG ?
1 3 GD ,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点.

(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; PF (3)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求 的值. FC

P

F A G D

20.已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,E 是 SC 上的任意一点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 SAC; (2)设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; SA (3)当 的值为多少时,二面角 B-SC-D 的大小为 120° ? AB

B

E

C

理科立体几何训练题(B)答案 一、选择题 题号 答案 二、 9. 4 5 9 填空题 10. 2 3 11. 45° 12.
4 5

1 B

2 D

3 D

4 A

5 D

6 B

7 B

8 C

13.

2 3 3

14

3 4

三、解答题 15 解析:以 C 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz . (1) 依题意得 B(0,1,0) ,M(1,0,1) ? .
BM ? (1 ? 0 ) ? ( 0 ? 1) ? (1 ? 0 )
2 2 2

?

3

. z C1 A1 M C B N B1

y

(2) 依题意得 A1(1,0,2) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) 1(0,1,2). ,B
? BA 1 ? (1, ? 1, 2 ), CB 1 ? ( 0 ,1, 2 ), BA 1 ? CB 1 ? 3 , BA 1 ? 6 , CB 1 ? 5

? cos ? BA 1 , CB 1 ??

BA 1 ? CB 1 BA 1 ? CB 1

?

30 10

.

(3) 证明:依题意得 C1(0,0,2) ( ,N
? A1 B ? C 1 N ? ? 1 2 ? 1 2 ? 0 ? 0 ,? A1 B ? C 1 N

1 1 1 1 , , 2 ),? A1 B ? ( ? 1,1, ? 2 ), C 1 N ? ( , , 0 ) 2 2 2 2

.

16.解析: (1) ∵PC⊥平面 ABC, AB ? 平面 ABC, ∴PC ? AB.∵CD ? 平面 PAB, AB ? 平面 PAB, ∴CD ? AB.又 PC ? CD ? C ,∴AB ? 平面 PCB. (2 由(I) AB ? 平面 PCB,∵PC=AC=2, 又∵AB=BC,可求得 BC= 2 .以 B 为原点, 如图建立坐标系.则A(0, 2,0) ,B(0,0,0) ,C( 2,0,0) ,P( 2,0,2) .
??? ? ??? ? A P =( 2,- 2,2), BC =( 2,0,0). ??? ??? ? ? 则 AP ? BC = 2× 2+0+0=2. ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2 AP ? BC cos ? A P , B C ? = ??? ??? = ? ? AP ? BC 2 2?
P z

=
2

1 2


D

∴异面直线 AP 与 BC 所成的角为

?
3


B

??? ? ??? ? (3)设平面 PAB 的法向量为 m= (x,y,z). A B =(0, - 2,0), A P =( 2, x

C

A y

- 2,2),

??? ? ? A B ? m ? 0, ? ? 2 y ? 0, ? y ? 0, ? ? ? 则 ? ??? 即? 解得 ? 令 z= -1,得 m= ( ? ?x ? ? 2z ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ? A P ? m ? 0. ? ? ?

2 ,0,-1).
?

由 PC ? 平面 ABC 易知:平面 PAC ? 平面 ABC,取 AC 的中点 E,连接 BE,则 BE 为
?

平面 PAC 的一个法向量, BE ? ( 为 n= (1,1,0).
cos ? m , n ?? m ?n m n

2 2

,

2 2

,0 ) ?

2 2

(1,1, 0 ) ,故平面 PAC 的法向量也可取

=

2 3? 2

?

3 3

. ∴二面角 C-PA-B 的大小的余弦值为

3 3



17.解析: (1)以 A 为坐标原点,AB、AD、AP 分 别为 x、y、z 轴建立坐标系如图所示. ∵PA=AB=1,BC=a, ∴P(0,0,1) ,B(1,0,0) ,

z P

N A M B Q C D y

D(0,a,0) . (2)设点 Q(1,x,0) ,则
???? ??? ? D Q ? (1, x ? a , 0), Q P ? ( ? 1, ? x ,1) .

由 D Q ? Q P ? 0 ,得 x2-ax+1=0. 显然当该方程有非负实数解时,BC 边上才存在点 Q,使得 PQ⊥QD,故只须⊿=a2-4≥0. 因 a>0,故 a 的取值范围为 a≥2. (3)易见,当 a=2 时,BC 上仅有一点满足题意,此时 x=1,即 Q 为 BC 的中点. 取 AD 的中点 M,过 M 作 MN⊥PD,垂足为 N,连结 QM、QN.则 M(0,1,0) ,P(0, 0,1) ,D(0,2,0) .∵D、N、P 三点共线,
???? ? ???? ???? ? M D ? ? M P (0,1, 0) ? ? (0, ? 1,1) (0,1 ? ? , ? ) ∴ MN ? . ? ? 1? ? 1? ? 1? ? ???? ???? ???? ? 又 PD ? (0, 2, ? 1) ,且 M N ? PD ? 0 ,

????

??? ?



(0,1 ? ? , ? ) 1? ?

? (0, 2, ? 1) ?

2 ? 3? 1? ?

?0? ??

2 3



2 2 ???? ? (0,1 ? , ) 3 3 ? (0, 1 , 2 ) 于是 M N ? . 2 5 5 1? 3 ???? ???? ???? ? ? ???? ??? ? ? 1 2 故 N Q ? N M ? M Q ? ? M N ? AB ? (1, ? , ? ) . 5 5 ???? ???? 1 2 ∵ PD ? N Q ? 0 ? 2 ? ( ? ) ? ( ? 1) ? ( ? ) ? 0 , 5 5 ???? ???? ∴ PD ? N Q . (资料来源:www.maths168.com)

∴∠MNQ 为所求二面角的平面角.
???? ???? ? NM ? NQ 6 ∵ co s ? M N Q ? ????? ???? ? , 6 | N M |?| N Q |

注:该题还有很多方法解决各个小问,以上方法并非最简.

18 解析: (1)传统方法易得证明(略) (2)传统方法或向量法均易解得 ? ? 30 ? ; (3)解 以 A 为坐标原点,直线 AD , AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直于平面 PAD 的直线 为 x 轴,建立空间直角坐标系(如图) .由题设条件,相关各点的坐标为
A ( 0 , 0 , 0 ), B ( 3 2 a ,? 1 2 a , 0 ), C ( 3 2 a, 1 2 a ,0 )

z P

D ( 0 , a , 0 ), P ( 0 , 0 , a ), E ( 0 ,

2 3

a,

1 3

a)

所以 AE

? (0,

2 3

a,

1 3

a ) , AC ? (

3 2

a,

1 2

a ,0 )


A B x

F

E D C y

AP ? ( 0 , 0 , a ), PC ? (

3 2

a,

1 2

a ,? a )

BP ? ( ?

3 2

a,

1 2

a, a)

,设点 F 是棱 PC 上的点, PF

? ? PC ? (

3 2

?a,

1 2

? a ,? ? a )

,其中 0 ? ? ? 1 ,则

? 3 3 a (1 ? ? ) ? a ?1 ? 2 2 ? 3 1 1 2 ?1 BF ? BP ? PF ? ( a ( ? ? 1), a (1 ? ? ), a (1 ? ? )) .令 BF ? ?1 AC ? ? 2 AE 得 ? a (1 ? ? ) ? a ?1 ? a ? 2 2 2 2 2 3 ? 1 ? a (1 ? ? ) ? a ? 2 ? 3 ?

解得 ?

?

1 2

, ?1 ? ?
?

1 2

, ?2 ?

3 2

, ? 即

?

1 2

时,BF

??

1 2

AC ?

3 2

AE

. 亦即, 是 PC 的中点时,BF , AC , AE F

共面,又 BF

平面 AEC ,所以当 F 是 PC 的中点时, BF ∥平面 AEC .

GP 为 x 轴、y 轴、 19 解析:(1)以 G 点为原点, GB 、GC 、

z 轴建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(0,2,0), P(0,0,4),故 E(1,1,0), GE =(1,1,0), PC =(0,2,4)。
GE ? PC | GE | ? | PC | 2 2 ? 20 10 10

P

cos ? GE ,PC ??

?

?

, A G

F D

∴GE 与 PC 所成的余弦值为

10 10

. B E C

(2)平面 PBG 的单位法向量 n=(0,± 1,0) ∵ GD ?
3 4 AD ? 3 4 BC ? ( ? 3 2 , 3 2 3 2 ,0 ) ,

∴点 D 到平面 PBG 的距离为 | GD ? n |=

.
3 3 3 3 , , ) ? ( ,y ? , ) 。 0 z 2 2 2 2

(3)设 F(0,y,z),则 DF ? ( 0 ,y ,z ) ? ( ?

∵ DF ? GC ,∴ DF ? GC ? 0 , (资料来源:www.maths168.com) 即( ,y ?
2 3 3 2 3 2 , ) ? ( 0 ,2 , ) ? 2 y ? 3 ? 0 , z 0 3 2
3 5

∴y?

, 又 PF ? ? PC ,即(0,

,z-4)=λ(0,2,-4), ∴z=1,

故 F(0,

3 2

,1)

PF 3 1 PF , PF ? ( 0 , , 3) , ? FC ? ( 0 , , 1) ,∴ ? ? PC 2 2 FC

2 5 2

?3。

20 解析:(1)∵SA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴SA⊥BD, ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD,∴BD⊥ 平面 SAC, ∵BD?平面 EBD,∴平面 EBD⊥平面 SAC.

(2)设 AC∩BD=F,连结 SF,则 SF⊥BD, ∵AB=2,SA=4,∴BD=2 2, SF= SA2+AF2= 42+( 2)2=3 2, 1 1 ∴S△SBD= BD· SF= · 2· 2=6, 2 3 2 2 设点 A 到平面 SBD 的距离为 h, 1 1 1 4 ∵SA⊥平面 ABCD,∴ ·△SBD· ·△ABD· S h= S SA,∴6· · 2· h= 2· 4,∴h= , 3 3 2 3 4 即点 A 到平面 SBD 的距离为 . 3 (3)设 SA=a,以 A 为原点,AB、AD、AS 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐 标系,为计算方便,不妨设 AB=1,则 C(1,1,0),S(0,0,a),B(1,0,0),D(0,1,0), ∴ S C =(1,1,-a), S B =(1,0,-a), S D =(0,1,-a), 再设平面 SBC、平面 SCD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),
??? ? ? n SC ? x ? y ? az ? 0 ? 1 1 1 1 则 ? ??? ? ? n1 S B ? x 1 ? a z 1 ? 0 ?

??? ?

??? ?

??? ?

∴y1=0,从而可取 x1=a,则 z1=1,∴n1=(a,0,1),
??? ? ? n SC ? x ? y ? az ? 0 ? 2 2 2 2 ? ? ??? ? n2 S B ? x 2 ? az2 ? 0 ?

∴x2=0,从而可取 y2=a,则 z2=1,∴n2=(0,a,1), 1 ∴cos〈n1,n2〉= 2 , a +1 1 1 要使二面角 B-SC-D 的大小为 120° ,则 2 = ,从而 a=1, a +1 2 SA a 即当 = =1 时,二面角 B-SC-D 的大小为 120° . AB 1


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