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(第16讲)三角函数式的化简与求值


题目 高中数学复习专题讲座 三角函数式的化简与求值 高考要求 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学 习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径, 特别是要掌握化简和求值 的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍 重难点归纳 1 求值问题的基本类型 ①给角求值,②给值求值,③给式求值,④ 求函数式的最值或值域,⑤化简求值 2 技巧与方法 ①要寻求角

与角关系的特殊性,化非特角为特殊角, 熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的 变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的 关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法 ④求最值问 题,常用配方法、换元法来解决 典型题例示范讲解
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例 1 不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值
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命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对 计算能力的要求较高 知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟,计算易出错 技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数 问题,使解法更简单更精妙,需认真体会
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解法一 =

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sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80°

1 1 (1-cos40°)+ (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80° 2 2 1 1 =1- cos40°+ cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) 2 2 1 1 =1- cos40°+ (cos120°cos40°-sin120°sin40°) 2 2
+ 3 sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)

3 3 1 1 3 cos40°- cos40°- sin40°+ sin40°- sin220° 4 4 2 4 2 3 3 1 =1- cos40°- (1-cos40°)= 4 4 4
=1- 解法二
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设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°

y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则 x+y=1+1- 3 sin60°=

1 , 2

x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° =-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y=

1 , 4 1 4
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即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°=

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例 2 设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a), 试确定 满足 f(a)=

1 的 a 值,并对此时的 a 值求 y 的最大值 2
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命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以 及较强的逻辑思维能力 知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题 错解分析 考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错 技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配 方法、数形结合、分类讲座等
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由 y=2(cosx-

a 2 a 2 ? 4a ? 2 )- 及 cosx∈[-1,1]得 2 2

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( a ? ?2) ?1 ? 2 ? a f(a)= ?? ? 2a ? 1 ( ?2 ? a ? 2) ? 2 1 ? 4a ( a ? 2) ? ?
∵f(a)=

1 , 2

1 1 ? a= ?[2,+∞ ) 2 8 2 a 1 或 - -2a-1= ,解得 a=-1 ? (?2, 2) , 2 2 1 2 1 此时,y=2(cosx+ ) + , 2 2
∴1-4a= 当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5
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例 3 已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

?
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3)若当 x∈[
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?
12



7? - - ]时,f(x)的反函数为 f 1(x),求 f- 1(1)的值 12
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命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还 考查计算变形能力,综合运用知识的能力 知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识 - 错解分析 在求 f- 1(1)的值时易走弯路 技巧与方法 等价转化,逆向思维
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(1)f(x)=2cosxsin(x+

?
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

=2cosx(sinxcos

?
3

+cosxsin

?
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+ ∴f(x)的最小正周期 T=π (2)当 2x+

?
3

)

?
3

=2kπ -

?
2

,即 x=kπ -

5? (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2 12

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], , 2 2 ? ? 3? ? 5? ∴2x+ ∈[ , ],∴2x+ = , 3 3 2 3 6 (3)令 2sin(2x+

?

3

)=1,又 x∈[

? 7?

则 x= 例4

?
4

,故 f- 1(1)=


?
4

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已知

?
2
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<β <α <

3? 12 3 ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 sin2 4 5 13
π <α +β <

α 的值_________ 解法一
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? 3? ? <β <α < ,∴0<α -β < 2 4 4

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3? , 4

2 ∴ sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ?

5 4 ,cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? . 13 5

∴sin2α =sin[(α -β )+(α +β )] =sin(α -β )cos(α +β )+cos(α -β )sin(α +β )

?

5 4 12 3 56 ? (? ) ? ? (? ) ? ? . 13 5 13 5 65

5 4 ,cos(α +β )=- , 13 5 72 ∴sin2α +sin2β =2sin(α +β )cos(α -β )=- 65 40 sin2α -sin2β =2cos(α +β )sin(α -β )=- 65 1 72 40 56 ∴sin2α = (? ? )?? 2 65 65 65
解法二
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∵sin(α -β )=

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学生巩固练习 1 已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、tanβ ,且α ,β ∈
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(-

? ?
2 2
A 2
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,

),则 tan

???
2

的值是(
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) C
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1 2
已知 sin α =
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B

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-2

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4 3

D

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1 或-2 2

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3 ? 1 , α ∈ ( , π ) , tan( π - β )= ,则 tan(α - 2 5 2 2
),β ∈(0,
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β )=______ 3
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设α ∈(

? 3?
4 4 ,

?
4

),cos(α -

?
4

)=

3 3? 5 ,sin( +β )= , 5 4 13

则 sin(α +β )=_________ 4
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不查表求值:

2 sin130? ? sin100?(1 ? 3 tan 370?) 1 ? cos10?

.

sin 2 x ? 2 sin2 x 3 17? 7? ,( <x< ),求 的值 1 ? tan x 5 4 4 12 8 6 已 知 α - β = π , 且 α ≠ k π (k ∈ Z) 求 3 1 ? cos(? ? ? ) ? ? ? 4 sin2 ( ? ) 的最大值及最大值时的条件 ? ? 4 4 csc ? sin 2 2
5
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已知 cos(

?

+x)=

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7 如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边 形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位 置,并求此最大面积
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B Q P

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已知 cosα +sinβ = 3 ,sinα +cosβ 的取值范围是

O

R

S

A

D,x∈D,求函数 y= log 1
2

2x ? 3 的最小值,并求取得最小 4 x ? 10

值时 x 的值 参考答案 1 解析 ∵a>1,tanα +tanβ =-4a<0
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tanα +tanβ =3a+1>0,

又α 、β ∈(-

??? ? ? ? ? , )∴α 、β ∈(- ,θ ),则 ∈(- ,0), 2 2 2 2 2

??? 2 tan tan ? ? tan ? ? 4a 4 4 2 ? ? , 又 tan(? ? ?) ? ? , 又 tan(α +β )= ? ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? (3a ? 1) 3 3 1 ? tan 2 2 ??? ??? ??? 整理得 2tan2 2 ? 3 tan 2 ? 2 =0 解得 tan =-2 2
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B
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3 4 ? ,α ∈( ,π ),∴cosα =- 5 5 2 3 1 1 则 tanα =- ,又 tan(π -β )= 可得 tanβ =- , 4 2 2
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解析

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∵sinα =

1 2 ? (? ) 2 tan ? 2 ? ? 4. tan 2? ? ? 2 1 1 ? tan ? 1 ? (? )2 3 2 3 4 ? ? (? ) tan ? ? tan 2 ? 7 4 3 tan(? ? 2? ) ? ? ? 1 ? tan ? ? tan 2? 1 ? (? 3 ) ? (? 4 ) 24 4 3
答案 3
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α ∈(

? 3? ? ? ? 3 ),又 cos(α - )= , ),α - ∈(0, 4 4 4 2 4 5

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? 4 ? 3? 3? 3? 5 3? 12 ? sin(? ? ) ? , ? ? (0, ).? ? ? ? ( , ?). sin( ? ?) ? ,? cos( ? ?) ? ? . 4 5 4 4 4 4 13 4 13 ? 3? ? ? sin(? ? ?) ? sin[(? ? ) ? ( ? ?) ? ] 4 4 2 ? 3? ? ? cos[(? ? ) ? ( ? ?)] 4 4 ? 3? ? 3? 3 12 4 5 56 ? ? cos(? ? ) ? cos( ? ?) ? sin(? ? ) ? sin( ? ?) ? ? ? (? ) ? ? ? . 4 4 4 4 5 13 5 13 65 56 即sin(? ? ?) ? 65

答案 4
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答案

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2

3 ? 7 ? x ) ? ,? sin 2 x ? ? cos 2( ? x ) ? . 4 5 4 25 17? 7 5? ? ? 4 又 ? x ? ? ,? ? x ? ? 2? ,? sin(x ? ) ? ? 12 4 3 4 4 5 sin 2 x ? 2 sin2 x 2 sin x cos x ? 2 sin2 x 2 sin x (sin x ? cos x ) cos x ? ? sin x 1 ? tan x cos x ? sin x 1? cos x 7 4 ? ? (? ) sin 2 x sin( ? x ) 5 ? 28 4 ? ? 25 ? 3 75 cos( ? x ) 4 5 5.解 :? cos(
1 ? cos(? ? ?) ? ? ? 4 sin 2 ( ? ) ? ? 4 4 csc ? sin 2 2 ? ? ? ? ? sin (1 ? cos ?) 1 ? cos( ? ) sin ? 2 cos 2 2 2 2 ? 2 2 ? 4( 1 ? 1 sin ? ) ? ?4 ? ? 2 2 2 2 1 ? sin 2 cos 2 2 2 ? ? ??? ? ?? ? 2(sin ? sin ) ? 2 ? 4 sin cos ?2 2 2 2 2 8 2? ? ? 8 ? ?? 3 ? ? ? 2? . ? ? ? ? ? ?,? ? 3 4 4 2 3 ? 2 1 ? 2? ? t ? 4 sin( ? ?) ? (? ) ? 2 ? ?2 sin( ? ) ? 2 2 3 2 2 3 6.解 : 令t ?

?

? 2 k? 2? (k∈Z) ? ?? ? 2 3 2 3 ? 2? ? ? 2 ? ∴当 ? ? 2k? ? , 即 ? ? 4k? ? (k∈Z)时, sin( ? ?) 的最小值为-1 2 3 2 2 3 3
? ? ? k? (k∈Z),?
7 解 以 OA 为 x 轴 O 为原点,建立平面直角坐标系, 并设 P 的坐标为(cosθ ,sinθ ),则
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|PS|=sinθ 立解之得 Q(

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直线 OB 的方程为 y= 3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ
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3 3 sinθ ;sinθ ),所以|PQ|=cosθ - sinθ 3 3

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于是 SPQRS=sinθ (cosθ - =

3 sinθ ) 3

3 3 3 1 ? cos 2? ( 3 sinθ cosθ -sin2θ )= ( sin2θ - ) 3 3 2 2 3 3 3 3 1 1 ? = ( sin2θ + cos2θ - )= sin(2θ + )- 3 2 3 6 2 2 6 1 ? ? ? 5 ? ∵0<θ < ,∴ <2θ + < π ∴ <sin(2θ + )≤1 6 2 3 6 6 6 3 ? ∴sin(2θ + )=1 时,PQRS 面积最大,且最大面积是 , 6 6 3 1 ? 此时,θ = ,点 P 为 ? AB 的中点,P( , ) 2 2 6
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设 u=sinα +cosβ

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则 u2+( 3 )2
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=(sinα +cosβ )2+(cosα +sinβ )2=2+2sin(α +β )≤4 ∴u2≤1,-1≤u≤1 即 D=[-1,1],
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设 t= 2 x ? 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5

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x=

t2 ? 3 2

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2x ? 3 t 1 1 2 ? 2 ? ? ? . 4 x ? 10 2t ? 4 2t ? 4 4 2 8 t 4 2 当且仅当2t ? , 即t ? 2时, M max ? . t 8 ? y ? log 0.5 M 在M ? 0时是减函数, ?M ? ? ymin ? log 0.5 2 5 ? log 0.5 2 ? log 0.5 8 ? 时, 8 2 1 此时t ? 2, 2 x ? 3 ? 2, x ? ? . 2
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课前后备注

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