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2017优化方案高考总复习·数学理(江苏专用)第二章第10讲知能训练轻松闯关


1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为________. 解析:f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2). 答案:3(x2-a2) a 2. (2016· 唐山摸底改编)若函数 f(x)= 2在(2, f(2))处的切线过点(1, 2), 则 a=________. x a 2- 4 2a a a a 解析:因为 f′(x)=- 3 ,所以 f′(2)=- .因为 f(2)= ,所以- = ,解得 a=4. x 4 4 4 1-2 答案:4 3.已知 f(x)=x(2 015+ln x),f′(x0)=2 016,则 x0=________. 1 解析:由题意可知 f′(x)=2 015+ln x+x· =2 016+ln x.由 f′(x0)=2 016,得 ln x0=0, x 解得 x0=1. 答案:1 4.(2016· 惠州一调)已知函数 f(x)=ax+1-ex(a∈R,e 为自然对数的底数),若函数 f(x) 在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,则 a=________. 解析:直线平行于 x 轴时斜率 k=0,由 f′(x)=a-ex 得 k=f′(1)=a-e=0,即 a=e. 答案:e 5.已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=________. 解析:因为 f′(x)=2x+2f′(1), 所以 f′(1)=2+2f′(1),即 f′(1)=-2. 所以 f′(x)=2x-4.所以 f′(0)=-4. 答案:-4 6.已知函数 y=f(x)及其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则曲线 y=f(x)在点 P 处的切线 方程是________. 解析: 根据导数的几何意义及图象可知, 曲线 y=f(x)在点 P 处的切线的斜率 k=f′(2)=1, 又过点 P(2,0), 所以切线方程为 x-y-2=0. 答案:x-y-2=0 1 7. 若以曲线 y= x3+bx2+4x+c(c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数, 3 则实数 b 的取值范围为________. 解析:y′=x2+2bx+4,因为 y′≥0 恒成立,所以 Δ=4b2-16≤0,所以-2≤b≤2. 答案:[-2,2] π π 8.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′? ?sin x+cos x,则 f′? ?=________. ?2? ?4? π 解析:因为 f(x)=f′? ?sin x+cos x, ?2? π 所以 f′(x)=f′? ?cos x-sin x, ?2? π π π π π 所以 f′? ?=f′? ?cos -sin ,即 f′? ?=-1, 2 ?2? ?2? 2 ?2? 所以 f′(x)=-sin x-cos x, π π π 故 f′? ?=-cos -sin =- 2. 4 4 ?4? 答案:- 2 f(x)+2 9. 已知函数 f(x), g(x)满足 f(5)=5, f′(5)=3, g(5)=4, g′(5)=1, 则函数 y= g(x) 的图象在 x=5 处的切线方程为________. f(x)+2 解析:由 y= =h(x),知 g(x) f′(x)g(x)-(f(x)+2)g′(x) y′=h′(x)= , g2(x) 得 h′(5)= = f′(5)g(5)-(f(5)+2)g′(5) g2(5) 3×4-(5+2)×1 5 = . 42 16 f(5)+2 5+2 7 又 h(5)= = = ,

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